1、以四边形ABCD 的边AB 、AD 为边分别向外侧作等边三角形ABF 和ADE ，连接EB 、FD ，交点为G ．
（1）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），EB 和FD 的数量关系是_____________； （2）当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系?请加以证明； （3）四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD 的度数．
难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。） 解 （1）EB=FD 。（2）EB=FD 。
证：∵△AFB 为等边三角形,∴AF=AB ，∠FAB=60°
∵△ADE 为等边三角形，∴AD=AE ，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD
即∠FAD=∠BAE,∴△FAD ≌△BAE,∴EB=FD
（3）解：∵△ADE 为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60° ∵△FAD ≌△BAE ，∴∠AEB=∠ADF 设∠AEB 为x °，则∠ADF 也为x °
于是有∠BED 为（60-x ）°，∠EDF 为（60+x ）° ∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF =180°-（60-x ）°-（60+x ）°=60°
2、已知：如图，在□ABCD 中，点E 是BC 的中点， 连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ．
（1）求证：△ABE ≌△FCE ；
（2）若AF =AD ，求证：四边形ABFC 是矩形．
简单题
F
A B
C D
E
证明：（1）如图1．
在△ABE 和△FCE 中，∠1=∠2， ∠3=∠4，BE =CE ，
∴△ABE ≌△FCE ． （2）∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =FC ．
∵AB ∥FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ． ∵AF =AD ，∴AF =BC ．∴四边形ABFC 是矩形．
3、已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．
（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S ，则1S =___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），
得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和．记为3S ；按照同样的方法继续操作下去……，第n 次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．n S =______________．
（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。）
本题相当于中考12题的简单题
解：（1）如图2； -------------1分
（2）14，18，12n -，11
2
n +． ----------6分
4、已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边长为4，它的顶点A 在x 轴的正半轴上运动，顶点D 在y 轴的正半轴上运动（点A ，D 都不与原点重合），顶点B ，C 都在第一象限，且对角线AC ，BD 相交于点P ，连接OP ．
（1）当OA =OD 时，点D 的坐标为______________， ∠POA =__________°；
图1
E
F
A B
C
D 图2
A
B C
图3
C
B
A
F
E
D 图4
A B
C
F
E
D 图2
C
B A
图1
4
3
21
E D C B A F
（2）当OA （3）设点P 到y 轴的距离为d ，则在点A ，D 运动的 过程中，d 的取值范围是________________．
（第二问：如果点P 到OP “所平分的角”的两边的距离相等，即可。）（第二问的题外题：当OA ＞OD 时，求证：OP 平分∠DOA ；） 解：（1）(0,22)，45；
证明：（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ．（如图3） ∵四边形ABCD 是正方形， ∴PD =PA ，∠DPA =90°． ∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，
∴∠PMO =∠PNO =∠PND =90°．
∵∠NOM =90°，∴四边形NOMP 中，∠NPM =90°．∴∠DPA =∠NPM ． ∵∠1=∠DPA －∠NPA ，∠2=∠NPM －∠NPA ，∴∠1=∠2． 在△DPN 和△APM 中， ∠PND =∠PMA ，∠1=∠2，PD =PA ， ∴△DPN ≌△APM ． ∴PN =PM ． ∴OP 平分∠DOA ．
（3）2d <≤22． -
5、已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的 顶点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA 沿直线CA 翻折，得到△DCA ，且DA 交CB 于点E ． （1）求证：EC =EA ； （2）求点E 的坐标； （3）连接DB ，请直接写出．．．．
四边形DCAB 的周长和面积．
（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE 的长）
（第三问的证明：过D 做DM ⊥AC 于M ，过B 做BN ⊥CA 于N ，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN （具体数）还看得DB=MN （具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。） 证明：（1）如图1．∵△OCA 沿直线CA 翻折得到△DCA ， ∴△OCA ≌△DCA ． ∴∠1=∠2． ∵四边形OABC 是矩形，∴OA ∥CB ． ∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC =EA ． 解：（2）设CE = AE =x ． ∵点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3），∴OA =4，OC =3． ∵四边形OABC 是矩形，∴CB =OA =4，AB =OC =3，∠B =90°． 在Rt △EBA 中，222EA EB BA =+，
图3
1
2
M
N
y
x
O
P
D
C
B
A E
B
A
D C
y
x
O
