文科数学数列二轮复习 经典的

1 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n a S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=+n n nS b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111n nn c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n求证：123n T n >-．解：（Ⅰ）11(1),1－=- a S a a ∴1,=a a当2n ≥时，11,11n n n n n a a a S S a a a a --=-=---1n n a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n nn a a aa -=⋅=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)(31)211(1)nnn n naa a a a ab aa a ⋅----=+=-，若{}n b 为等比数列，则有2213,b b b =而21232323223,,,a a a b b b aa+++===故22232322()3a a a aa+++=⋅，解得13a =，再将13a =代入得3n n b =成立， 所以13a =．（III ）证明：由（Ⅱ）知1()3nn a =，所以11111331131311()1()33nn n nn nn c +++=+=++-+-111311311111131313131nn nn nn ++++--+=+=-+++-+-1112()3131+=--+-nn ， 由111111,313313nnn n ++<>+-得111111,313133nn nn ++-<-+-所以1113112()2()313133＋++=-->---n nn nn c ， 从而122231111111[2()][2()][2()]333333n n nn T c c c +=+++>--+--+--22311111112[()()()]333333nn n +=--+-++-11112()2333n n n +=-->-．即123n T n >-．2 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。

2
(2)f′(x)=2xln 2,f′(a2)= 2a2 ln 2,故函数f(x)=2x
在(a2,b2)处的切线方程为y- 2a2 = 2a2 ·ln 2·(x-a2),
它在x轴上的截距为a2-
1.
ln 2
由题意,得a2-
1 ln 2
=2- 1 ,解得a2=2.
ln 2
所以d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n.
考向二 数列与函数的综合
【例2】(2019·武汉一模)设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线①与x轴交点的横坐标.
(1)求数列{xn}的通项公式.
(2)记Tn=
x12
x 32
x
2 2n1
,证明:
Tn
1 4n
.②
【题眼直击】
题眼 ① ②
思维导引 想到导数的几何意义
适当放缩进行求解
【解析】(1)由题意,y′=(2n+2)x2n+1,
曲线在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.
所以切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).
当y=0时,xn= n ,所以数列{xn}的通项公式为xn= n .
n 1
n 1
(2)由题设和(1)中的计算结果知,
Tn=
x12
x 32
x
2 2n1
(1)2 ( 3)2 gg( 2n 1)2.
第2课时 数列的综合应用
考向一 等差数列与等比数列的综合问题 【例1】(2019·塘沽一模)已知{an}的各项均为正数的 等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2 =7①. (1)求{an}和{bn}的通项公式. (2)设cn=anbn, n N *② ,求数列{cn}的前n项和.

P2
P1
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，
求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1
所围成的区域的面积Tn．
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1

，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝
xn＋1所围成的区域的面积Tn．
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2：数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1

，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，

1312*第06课时 数列之数阵问题【考点点悟】传道解惑，高屋建瓴数列之数阵是将一些数据按照一定的规律以图表或图阵的方式呈现出来的特殊数列. 数阵问题是能够检查学生数学直觉思维能力，它多是要求学生能够从已给的一些数据中，来观察数的变化规律,其特点是直观新颖，能较好地考察学生的观察与分析能力，以及归纳与想象能力等．是近几年高考中倍受青睐的一种新题型．探求数表型数列问题，关键是要能充分挖掘所给数表所提供的信息特征，把握数表所隐含的规律性，综合运用观察、分析、归纳和猜想的思想方法，发现和破译问题的知求关系，使问题顺利获解.【小题热身】明确考点，自省反思 1.能够在如右表所示的33⨯正方形的9个空格中填入正整数，使得每一行都成等差数列，每 一列都成等比数列，问必须填进标有*号的空格 的数是 .2.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ． 3.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”（如图所示），该“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是4.用n 个不同的实数1a ，2a ，…，n a 可得到个!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵．对第i 行1i a ，2i a ，…，in a ，记12323(1)ni i i i i n b a a a na =-+-++- ，1,2,3,,!i n = ．例如：用1，2，3可得数阵如图所示，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，1261221231224b b b ++=-+⨯-⨯=- ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12120b b b ++= ___________．【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例 1. 在如表所示的55⨯正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成思路透析:（设出通项ij a 为从下到下第i 行，从左到右第j 列的空格中所填的数，根据其特征规律及等差数列的性质，将未知数据的关系式列出，求得方程组的解．设ij a 为从上到下第i 行，从左到右第j 列的空格中所填的数，则52a x =，41a y =．由第3行得3321862y a +=，由第3列得3321032a x =⨯-，所以2113x y +=．① 由第2行得232743a y =⨯-，由第3列得2333210331034a a x =-=⨯-， 所以148331034y x -=⨯-，整理得43161x y -=．②联立①②解得50x =，13y =．所以1555218621864172a a x =⨯-=⨯-=，1333532112a a a =-=，故1315141422a a a +==，故标有*号的空格应填142． 点评：高中新课标非常重视学生的探究能力，用数据阵形式给出的行列均成等差数列的“数据”表，其表格中的数据编制时关系不是非常明显，这也正是高考考查探究能力的重要形式．以数据表格、杨辉三角或数矩阵为载体的探究性试题已经成为高考的命题趋势．例2. 在一个有限的实数列中，任意七个连续项之和都是负数，而任意十一个连续项之和都是正数．试问：此数列最多能包含多少项？思路透析:（根据题目所给已知条件，可构造一个每横行七个数，每纵列十一个数的数阵如下：1714131211965438543274321 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 考虑到每一横行为连续七项，其和小于0，每一纵列为连续十一项，其和大于0．于是得到矛盾，所以17<n ．另一方面有可以构造一个连续十六项的数列满足题目要求：6，6，-15，6，6，6，-16，6，6，-16，6，6，6，-15，6，6，故符合条件的数列最多有十六项．点评：对于这一类问题的设计，可使学生心态开放、主体性凸现，个性张扬，创造性得到释放．例3. 定义如下运算：11121311112131111213121222322122232212223231323333132333313233312312312n k k n k k n k k m m m mn n n n nk m m m x x x x y y y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y y y z z z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3mk z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其中112233.(1,1,,ij i j i j i j in nj z x y x y x y x y i m j n i j =++++∈ ≤≤≤≤N *）． 现有2n 个正数的数表A 排成行列如下：（这里用ij a 表示位于第i 行第j 列的一个正数，,i j ∈N *）111213121222323132333123n nn n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，且各个等比数列的公比相同，若241a =，4218a =，43316a =． （1）求ij a 的表达式（用i ，j 表示）；（2）若11121311112221222322122331323333132123121323333n n n n n n n nn n n a a a a b b a a a a b b a a a a b b a a a a b b n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，求1i b ，2i b （1i n ≤≤，用i ，n 表示）． 思路透析: （1）每一行的数成等差数列，∴42a ，43a ，44a 成等差数列．∴4342442a a a =+，∴4414a =，又每一列的数成等比数列， 故24424a a q = ，∵241a =，∴214q =，且0n a >，∴12q =．∴44243421(2)(2)()816j j a a j d j a a =+-=+--=，∴441()22i ij j i ja a -==．（2）11231232222i i i i i nb n =⨯+⨯+⨯++⨯222211(21)(1)(123)232i i n n n n +++=++++=⨯ ，23212333332222n i i i i i n b =⨯+⨯+⨯++⨯ ，① ∴2312121333332222n n i i i i i n n b +-=⨯+⨯++⨯+⨯ ，②②－①得2312112(333)33222n n i i i i n b +=-++++⨯-⨯21113313321322n n i i i n ++-=-⨯+⨯-⨯-111[(21)33]2n i n ++=-+∴1211[(21)33]2n i i b n ++=-+． 点评:新背景等比数列题型往往利用新定义或新概念将等比数列的知识点交汇于其中，该类题型是新高考命题的新动向．本题是等比数列与“行列式”相交汇的新背景题型，由于新型的定义式的出现，导致该题型又多了几分神秘的色彩，为我们接受新型问题开阔了眼界．例4. 64个正数排成8行8列，如下所示181211a a a 282221a a a…… ……888281a a a在符号ij a (1≤i ≤8，1≤j ≤8)中，i 表示该数所在的行数，j 表示该数所在的列数．已知每一行中的数依次都成等差数列，而每一列中的数依次都成等比数列（每列公比q 都相等），且.41,1,21322411===a a a （1）若131221,41a a a 和求=的值；（2）求ij a 的通项公式（注：用j i ,表示）；（3）记第n 行各项之和为n A (1≤n ≤8)数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足)(2,361n n n n n mb a mb A a +==+（m 为非零常数），n n nb c a =．求证{}n c 为等差数列． 思路透析: （1）41,212111==a a ，每一列成公比相等的等比数列， ∴其公比22132121111.,24a q a a q a ==== 又∴12 1.a =又每一行成等差数列，∴在第一行中有131112,2a a a +=∴133.2a = （2）设第一行的公差为d ，.41)(,1)3(21121232111424=+===+==q d a q a a q d a q a a 两式联立解得.21,21==q d 从而111111[(1)]().2i i i ij j a a q a j d q j --=⋅=+-=⋅∴1().2iij a j =⋅（3）181312111a a a a A ++++= 1187187188182222a d ⨯⨯=+⨯=⨯+⨯= ∴111128111218n n n n n n n A a a a a q a q a q ---=++=+++11111218136()()1822n n n q a a a --=+++=⨯=∴362.n n na A == 由12()n n n mb a mb +=+得，11222n n n n mb mb a ++-==． 两边同除以12n +得， .1)22(11=-++n n n n b b m 即为.1)22(11=-++nn n n b b m ∴11n n c c m +-=（常数）∴数列{}n c 成等差数列．点评:此题以数阵为载体，一改数列知识的单调、呆板的引入形式，使高考数学题充满活力和魅力！例5. 下表给出一个“三角形数阵”：14 12，14 34，38，316， …已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i 行第j 列的数为(,,ij a i j i j ∈≥N *）．（1）求83a ；（2）试写出ij a 关于i ，j 的表达式；（3）记第n 行的和为n A ，求数列{}n A 的前m 项和m B 的表达式． 思路透析: （1）由题知，1{}i a 为等差数列，因为，1114a =，2112a =，所以公差14d =，8111(81)244a =+-⨯=． 又各行成等比数列，公比都相等，3134a =，3238a =，所以每行的公比是12q =，所以283112()22a =⨯=．（2）由（1）知，111(1)444i i a i =+-= ，所以1111111()()()2422j j j ij i i a a i --+===． （3）211111[1()()]222n n n A a -=++++ 1111[2()]()4222n n n n n -+=-=-．11123(12)()222482m m m B m =+++-++++设1232482m m mT =++++ ． ①则11123248162m m mT +=++++ ． ② 由①－②，得1111111121122422222m m m m m m m m m T ++++=+++-=--=- ．所以，111(1)2(1)2(1)122242m m m m m m m m m B ++++++=--=+-． 点评：解决数阵问题的关键是抓住题目中所给出的各行与各列所构成数列的类型，再根据所给出的特殊项推出各行、各列的前几项，进而求出通项．例 6. 设｛a n ｝是集合{}Z t s t s st ∈<≤+，且,022中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，……将数列｛a n ｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图11所示的三角形数表： （Ⅰ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数; （Ⅱ）求a 100．思路透析: 容易看出，按照如图所示的排法，第4行有4个数字，第5行有5个数字……。