利用最小二乘法求解拟合曲线

利用最小二乘法求解拟

合曲线

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

实验三函数逼近

一、 实验目标

1.掌握数据多项式拟合的最小二乘法。

2.会求函数的插值三角多项式。

二、实验问题

（

（2）求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的插值三角多项式。

三、 实验要求

1.利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。

2.求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的16次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与()f x 的图形比较。

3.对函数()2cos f x x x =，在区间[,]ππ-上的取若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。

《数值分析》实验报告

项式，画出拟合曲线 【实验目标】

（1）加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解 （2）学会编写最小二乘法的数值计算的程序；

【理论概述与算法描述】

在函数的最佳平方逼近中()[,]f x C a b ∈,如果()f x 只在一组离散点集{,0,1,,}i x i m =⋅⋅⋅上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅的曲线拟合，这里

(),0,1,,i i y f x i m ==⋅⋅⋅，要求一个函数*()y S x =与所给数据{(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅拟合，若

记误差*()(0,1,,)i i i S x y i m δ=-=⋅⋅⋅,()01,,,T

m δδδδ=⋅⋅⋅,设01(),(),,()n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅是[,]C a b 上的线性无关函数族，在01{(),(),,()}n span x x x ϕϕϕϕ=⋅⋅⋅中找一个函数*()S x ，使误差平方和

|2

2

22*

2

()0

|||[()][()]min m

m

m

i

i i i i S x i i i S x y S x y ϕδδ∈=====-=-∑∑∑

这里

这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。 通常在最小二乘法中考虑加权平方和有

0(,)()()()m

j k i j k i x x x ϕϕωϕϕ==∑，

上式可改写为

(,),0,1,,m

k

j

j

k j a

d k n ϕϕ===⋅⋅⋅∑。

这个线性方程组称为法方程，可将其写成矩阵形式 其中0,10,1(,,),(,,)T T n n a a a a d d d d =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 求出0,1,,n a a a ⋅⋅⋅

则拟合函数*2012()n n S x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+ a=inv(G)*d

【实验问题】

利用最小二乘法求所给数据的2次、3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。

【实验过程与结果】 【结果分析、讨论与结论】

(1)n=2时

y=['

n=2

p=leastsq(x,y,n)

I=lsp(p,t)

回车得到结果

p=

所以拟合多项式为I=t*((18733*t)/5982-74179/59820)+73337/99700 (2)n=3时

x=['

y=['

n=3

Apleastsq(x,y,n)

I=lsp(p,t)

回车得到结果

所以拟合多项式为I=

+

t^2+^3;

(3)n=4时

x=['

y=['

n=4

p=leastsg(x,y,n)

I=lsq(p,t)

回车得到结果

A=

附程序

y=['

symst

n=2

p=leastsq(x,y,n)

c=lsp(p,t)

plot(x,y,'*')

2.

functionp=leastsq(x,y,n)

m=length(x);

G=zeros(n+1,n+1);

b=zeros(n+1,1);

fori=0:n

forj=0:n

G(i+1,j+1)=(x.^i)'*(x.^j); end

end

fork=0:n

b(k+1,1)=(x.^k)'*y;

end

p=inv(G)*b;

3.

functionI=lsp(p,t)

m=length(p)-1;

I=p(m+1);

forj=m:-1:1

I=I.*t+p(j);

end