《数学分析》第七章 无穷级数

n →∞
D 上点点收敛于函数 f ( x) ，记为
lim f n ( x) = f ( x), x ∈ D.
n →∞
或
f n ( x) → f ( x)
(n → ∞), x ∈ D.
n →∞
② 函数列极限的 ε − N 定义： lim f n ( x) = f ( x), x ∈ D ⇔ 对每一固定的 x ∈ D ，
∑b
n
收敛，则
∑a b
n n
也收敛.
（4）(狄利克雷判别法) 若数列 {a n } 单调递减，且 lim a n = 0 ，又级数
n →∞
∑b
n
的部分和
数列有界，则
∑a b
n n
收敛.
（二）函数列与函数项级数
1.函数列及其一致收敛性 （1）函数列的收敛域及极限函数 ① 设有一定义于同一数集 E 上的函数列 { f n ( x )} ，若对 x0 ∈ E ，数列 { f n ( x0 )} 收 敛 ， 则称 x0 为函数列 { f n ( x )} 的收敛点，若数列 { f n ( x0 )} 发散，则称 x0 为函数列 { f n ( x )} 的发散 点， 函数列 { f n ( x )} 的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若 ∀x ∈ D ⊂ E ，数列 { f n ( x )} 收 敛，设 lim f n ( x) = f ( x) ，则称 f ( x) 为函数列 { f n ( x )} 的极限函数或称函数列 { f n ( x )} 在
（2）函数项级数一致收敛的定义 设 {S n ( x )}是函数项级数
∑u
n
( x) 的部分和数列，若 {S n ( x )}在 D 上一致收敛于函数
S ( x) ，则称函数项级数 ∑ un ( x) 在 D 上一致收敛于函数 S ( x) ，或称 ∑ un ( x) 在 D 上一致
收敛，即
∀ε > 0 ， ∃N ∈ R+ ， ∀n > N ， ∀x ∈ D ，有 S n ( x) − S ( x) < ε .
(
)
u1 ( x) + u2 ( x) + ⋯ + un ( x) + ⋯ ， x ∈ E.
∞
为定义在 E 上的函数项级数，记为
∑ u ( x) 或 ∑ u ( x).
n n n =1
并称
S n ( x) = ∑ uk ( x) ， x ∈ E ， = 1,2,⋯
k =1
n
为函数项级数 函数项级数 散点. 级数
∑u
n
发散.
注 当 l = 1 时不能用本法判别级数的敛散性.
（8）(积分判别法) 设 f 为 [1,+∞] 上的非负减函数，则正项级数
∑ f (n) 与反常积分
∫
+∞
1
f ( x)dx 同时收敛或同时发散.
3.一般项级数收敛性的判别 （1）(交错级数的莱布尼茨判别法) 若交错级数
∑ (−1)
n +1
幂级数的计算
以 2l 为周 期的函数的 傅里叶级数
（绝对）收敛 级数的性质
函数的幂 级数展开
正弦级数与 余弦级数
二、本章重点及难点
无穷级数是数学分析的重要内容之一，它在研究函数的分析性质、函数逼近、近似计算 和微分方程定性理论等领域起着非常重要的作用. 无穷级数的核心是收敛性理论， 它的本质 就是“无穷多项的和”，但不是从“有限项相加”到“无限项相加” 的简单推广，两者有着 本质的区别，例如，对于有限项求和而言，加法交换律、结合律以及加法和乘法的分配律总 是成立， 有限个连续函数的和也是连续函数， 但这些规律和性质却不能直接搬到无穷级数上 去. 这就要求人们要用一种新的数学思想来研究无穷级数. 本章内容由数项级数、函数列与函数项级数、幂级数与傅里叶级数四部分组成，后两者 氏特殊的函数项级数. 本章重点是各种级数的收敛性和一致收敛性的概念及其判别法， 难点 主要有以下几点： ● 数项级数收敛性判别方法；
[a, b] 上一致收敛，其极限函数 f ( x) 在 [a, b] 上可导，且
d d d f ( x) = lim f n ( x) = lim f n ( x). n →∞ n →∞ dx dx dx
2.函数项级数及其一致收敛性 （1）函数项级数的收敛域及和函数 设有一定义于同一数集 E 上的函数列 {u n ( x )}，称
∀ε > 0 ，恒存在正数 N = N (ε , x) （一般说来 N 的值与 ε 和 x 有关） ，使得当 n > N 时 ，
总有
f n ( x) − f ( x) < ε .
（2）函数列一致收敛的定义 ① 函数列 { f n ( x )} 在 D 上一致收敛于函数 f ( x) ⇔ ∀ε > 0 ， ∃N ∈ R+ ，使得当
u n （ u n > 0 ）满足条件：
数列 {u n } 单调递减且趋于 0，则
∑ (−1)
n +1
u n 收敛.
（2）级数条件收敛和绝对收敛的定义 ① 若级数 ② 若级数
∑u ∑u
n
收敛，则称级数 收敛而
∑u
n
绝对收敛;
n
∑u
n
发散，则称级数
∑u
n
条件收敛.
③ 绝对级数的级数一定收敛. （3）(阿贝尔判别法) 若 {a n } 为单调有界数列，且级数
（5）(比式判别法的极限形式) 设
∑u
n
是正项级数，且 lim
n →∞
u n +1 = q ，则 un
① 当 q < 1 时，级数
∑u
n
收敛；
② 当 q > 1 或 q = +∞ 时，级数
∑u
n
发散.
注 当 q = 1 时不能用本法判别级数的敛散性.
（6）(根式判别法或称柯西判别法) 设
∑u
n
是正项级数，且 ∃N 0 ∈ N + 及正常数 l .
u n0 +1 + u n0 + 2 + ⋯ + u n0 + p0 ≥ ε 0 .
（3）收敛级数的性质 ① 线性运算性质：若级数
∑u
n
和
∑v
n
都收敛，则对任意常数 c, d ，级数
∑ (cu
n
+ dv n ) 也收敛，且
∑ (cu
n
+ dv n ) = c∑ u n + d ∑ v n .
② 级数的收敛性与前面有限项的值无关：去掉，增加或改变级数的有限项并不改变级 数的敛散性.
① ∀n > N 0 有 n u n ≤ l < 1 ⇒ ② ∀n > N 0 有 n u n ≥ 1 ⇒
∑u
n
n
收敛；
∑u
发散.
（7）(根式判别法的极限形式) 设 ① 当 l < 1 时，级数
∑u
n
是正项级数，且 n u n = l ，则
∑u
n
收敛；
② 当 l > 1 或 l = +∞ 时，级数
f n0 ( x0 ) − f ( x0 ) ≥ ε 0 .
（3）函数列一致收敛的判别法 ① 利用函数列一致收敛的定义. ② 柯西准则： f n ( x) → → f ( x)
(n → ∞), x ∈ D. ⇔ ∀ε > 0 ， ∃N ∈ R+ ，使得当
n, m > N 时，对一切 x ∈ D ，都有
∑u
n
n
( x) 的部分和数列. 若 x0 ∈ E ，部分和数列 {S n ( x0 )} 收敛，则称 x0 为
∑u ∑u
( x) 的收敛点，若数列 {S n ( x0 )} 发散，则称 x0 为函数项级数 ∑ un ( x) 的发 ( x) 的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若 ∀x ∈ D ⊂ E ，级数
第七章
无穷级数
一、本章知识脉络框图
无穷级数
数项级数数
函数列与函数 项级数
幂级数
傅里叶级数
级数的收敛性
函数列及其 一致收敛性
幂级数的 收敛区间
三角函数系 的正交性
正项级数收 敛性的判别
函数项级数及 其一致收敛性
幂级数的性质
以 2π 为周 期的函数的 傅里叶级数
一般项级数 收敛性判定
函数项级数一 致收敛性判别 法 一致收敛函数 列与函数项级 数的性质
n > N 时，对一切 x ∈ D ，有
f n ( x) − f ( x) < ε .
记为
f n ( x) → → f ( x)
(n → ∞), x ∈ D.
② 函数列 { f n ( x )} 在 D 上不一致收敛于函数 f ( x) ⇔ ∃ε 0 > 0 ， ∀N ∈ R+ ，总存在正 整数 n0 > N 与点 x0 ∈ D ，使得
③ 当 l = +∞ 且级数
∑v
n
发散 ⇒
∑u
n
（4）(比式判别法或称达朗贝尔判别法) 设
∑u
n
是正项级数，且 ∃N 0 ∈ N + 及常数
q ∈ (0,1) .
① ∀n > N 0 有
u n +1 ≤ q ⇒ ∑ u n 收敛； un u n +1 ≥ 1 ⇒ ∑ u n 发散. un
② ∀n > N 0 有
n→∞ x→ x0
② 可积性：若函数列 { f n ( x )} 在 [a, b] 上一致收敛于 f ( x) ，且每一项都连续，则
f ( x) 在 [a, b] 上也可积，且