2022年上海市浦东新区中考数学二模试题及答案解析
- 格式：docx
- 大小：394.10 KB
- 文档页数：20
2022年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列实数中，有理数是( ) A. 18B. √2C. πD. √632. 下列代数式中，不是单项式的是( ) A. a 2B. 2aC. a2D. a +23. 如果将抛物线y =5x 2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( ) A. y =5(x +1)2B. y =5(x −1)2C. y =5x 2+1D. y =5x 2−14. 为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取30名男生进行引体向上测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表所示，那么这30名男生此次测试中引体向上次数的众数和中位数分别是( ) 次数 6 7 8 9 10 11 人数3109521A. 7，7B. 7，8C. 8，7D. 8，85. 已知在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量m ⃗⃗ 、n ⃗ 表示为( ) A. n⃗ +m ⃗⃗⃗ B. n⃗ −m ⃗⃗⃗ C. 12n ⃗ −12m ⃗⃗⃗ D. 12n ⃗ +12m ⃗⃗⃗ 6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =7，点D 在边BC 上，CD =3，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 可能是( )A. r =1B. r =3C. r =5D. r =7二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：m4÷m2=______．8. 分解因式：a2−9=______．9. 已知f(x)=3−2x，那么f(0)=______．x+410. 方程√2x−1=3的解是______．11. 上海市第七次全国人口普查数据显示，全市常住人口约为24870000人．将24870000这个数用科学记数法表示为______．12. 如果关于x的方程x2−6x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值为______ ．13. 反比例函数y=k的图象经过点(−3,2)，则k的值为______．x14. 不透明的布袋里有3个红球、2个黄球、4个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里任意摸出一个球恰好是黄球的概率是______．15. 如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是______．16. 为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制).那么作成如图所示的频率分布直方图(每小组包括最小值，不包括最大值；纵轴表示：频率组距这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人．17. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点D在边BC上，且BD=AC，sin∠ADC=4.5那么边BC的长为______．18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D(不与点B重合)处，点A落在点E处，如果DE//BC，联结AE，那么sin∠EAC的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. (本小题10.0分)计算：912+|2−√3|−(15)−1+(π−√2)0．20. (本小题10.0分)解不等式组：{5x≤x+162x−1>5−3x2,并把解集在数轴上表示出来．21. (本小题10.0分)如图，已知⊙O中，弦AB=8，点P是弦AB上一点，OP=3√2，∠OPB=45°．(1)求OB的长；(2)过点P作弦CD与弦AB垂直，求证：AB=CD．22. (本小题10.0分)在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度(厘米)与燃烧时间x(小时)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式(不写定义域)；(2)现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟，求乙蜡烛的高度．23. (本小题12.0分)如图，已知正方形ABCD，以AB为边在正方形外作等边△ABE，过点E作EF⊥AB与边AB、CD 分别交于点F、点G，点O在线段EG上，且DO=CD．(1)求证：AE//DO；(2)联结AO、DE，DE分别交AO、AB于点M、Q，求证：EQAD =EFDM．24. (本小题12.0分)如图，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A(4,0)和点B，与y轴交于点C(0,−3)．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M在x轴上，且在点B的右侧，联结BC、CM，如果S△MBC：S△ABC=4：7，求点M的坐标；(3)在(2)的条件下，如果点D在线段OC上，∠CAD=∠MCO，求OD的长度．25. (本小题14.0分)如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=BC=6，AD⊥AC，点E为对角线AC的中点，射线DE交边BC于点F．(1)求证：DC=2AB；(2)如果DF⊥BC，求∠ACD的余弦值；(3)当△CEF是等腰三角形时，求线段EF的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A 、18是有理数，故A 符合题意； B 、√2是无理数，故B 不符合题意； C 、π是无理数，故C 不符合题意； D 、√63是无理数，故D 不符合题意； 故选：A ．根据整数和分数统称为有理数，即可解答．本题考查了实数，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：a 2表示a 与a 的乘积，a 2是单项式，不选A ． 2a 表示2与a 的乘积，2a 是单项式，不选B ．a 2表示12与a 的乘积，a 2是单项式，不选C ．a +2表示a 与2的和，a +2不是单项式，它是单项式a 与单项式2的和，所以a +2是多项式．不是单项式的是D ． 故选：D ．单项式：数或字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．本题考查单项式的定义，会判断出式子是不是数或字母的乘积是关键，同时注意单独的一个数或一个字母也是单项式．3.【答案】C【解析】解：将抛物线y =5x 2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是：y =5x 2+1． 故选：C ．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．4.【答案】B【解析】解：∵7出现了10次，出现的次数最多， ∴这30名男生此次测试中引体向上次数的众数是7； ∵共有30名男生，中位数是低15、16个数的平均数， ∴中位数为8+82=8；故选：B ．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就可能会出错．5.【答案】C【解析】解：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ −m ⃗⃗ ，∵在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(n ⃗ −m ⃗⃗ )=12n ⃗ −12m ⃗⃗ ． 故选：C ．由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，利用三角形法则求解即可求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又由在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，可得DE 是△ABC 的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案． 此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．6.【答案】B【解析】解：连接AD 交⊙A 于E ，如图1，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=√AC2+CD2=√42+32=5，则DE=AD−AE=5−3=2，∵BC=7，CD=3，∴BD=7−3=4，∴要使⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，必须2<r<4，即只有选项B符合题意；故选：B．连接AD交⊙A于E，根据勾股定理求出AD，求出DE和DB，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出r的范围即可．本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．7.【答案】m2【解析】解：m4÷m2=m4−2=m2．故答案为：m2．利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．8.【答案】(a+3)(a−3)【解析】解：a2−9=(a+3)(a−3)．故答案为：(a+3)(a−3)．直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．9.【答案】34【解析】解：∵函数f(x)=3−2xx+4，∴f(0)=3−00+4=34，故答案为：3．4将自变量x的值代入函数关系式进行计算即可．本题考查函数值，将自变量x的值代入函数关系式是正确计算的关键．10.【答案】x=5【解析】解：平方，得2x−1=9，解得x=5，故答案为：x=5．根据乘方，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．本题考查了无理方程，利用乘法转化成一元一次方程是解题关键．11.【答案】2.487×107【解析】解：24870000=2.487×107．故答案为：2.487×107．把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)使用的是科学记数法．用科学记数法表示一个n位数，则10的指数是n−1.一些较大的数可以用科学记数法表示，一些小于1的正数也可以用科学记数法表示成a×10−n的形式．本题考查科学记数法表示较大的数，其中确定a和n的值是关键，注意1≤a<10，n=位数−1．12.【答案】9【解析】解：∵方程x2−6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−6)2−4m=0，解得m=9，故答案为：9．一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2−4ac=0，即可求m值．此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2−4ac<0时，方程无实数根．13.【答案】−6【解析】解：由题意知，k=−3×2=−6．故答案为：−6．把(−3,2)代入函数解析式y=k即可求k的值．x此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点．14.【答案】29【解析】解：3+2+4=9，P(黄球)=2．9．故答案为：29根据抽出黄球出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可．本题考查了概率公式，掌握黄球的概率=抽出黄球出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．15.【答案】10【解析】解：由题意可得：边数为360°÷36°=10，则它的边数是10．故答案为10．一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．本题考查了正多边形的计算，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．16.【答案】130【解析】解：500×(1−0.12−0.18−0.3−0.14)=500×0.26=130(人)，即这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有130人．故答案为：130．用总数乘体重小于80千克且不小于70千克的频率即可．本题考查了频数分布图和频率分布直方图的知识，根据频率、频数及样本容量之间的关系进行正确的运算是解题的关键．17.【答案】7【解析】解：∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∴sin∠ADC=AC，AD∵sin∠ADC=4，AC=4，5∴AD=5，∴在Rt△ADC中，根据勾股定理得：CD=√AD2−AC2=3，∵BD=AC，∴BD=4，∴BC=BD+DC=4+3=7．在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出sin∠ADC，将AC及已知sin∠ADC的值代入，求出AD的长，再利用勾股定理求出DC的长，由BD+DC即可求出BC的长．此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握定义及定理是解本题的关键．18.【答案】√32【解析】解：如图：∵将△ABC绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D，∴BC=DC，∠EDC=∠B，AC=EC，∴∠CDB=∠B=∠EDC，∵DE//BC，∴∠EDC=∠DCB，∴∠CDB=∠B=∠DCB，∴△DCB是等边三角形，∠DCB=60°，∴∠ACE=90°−∠ACD=∠DCB=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，∴sin∠EAC=√32，故答案为：√32．画出图形，根据将△ABC绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D，可得∠CDB=∠B=∠EDC，又DE//BC，即可得△DCB是等边三角形，∠DCB=60°，从而△ACE是等边三角形，∠EAC=60°，即可得sin∠EAC=√32．本题考查直角三角形中的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质，得到△DCB，△ACE是等边三角形．19.【答案】解：原式=3+2−√3−5+1=1−√3．【解析】先算分数指数幂，负整数指数幂，0次幂及绝对值，再加减．本题考查实数混合运算，确定运算顺序是求解本题的关键．20.【答案】解：{5x≤x+16①2x−1>5−3x2②，由①得：x≤4，由②得：x>1，表示在数轴上如图：∴不等式组的解集为：1<x≤4．【解析】先解出每个不等式的解集，再把解集表示在数轴，即可得到不等式组的解集．本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组解集是每个不等式解集的公共部分．21.【答案】解：(1)过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=12AB=4，∵OP=3√2，∠OPB=45°，sin45°=OEOP，∴OE=3√2×√22=3，∴OB=√OE2+BE2=√32+42=5；(2)证明：过点O作OF⊥CD于F，∵CD⊥AB，∴∠FPE=90°，∵∠OPB=45°，∴∠FPO=45°，∴∠FPO=∠OPE，∴OP平分∠EPF，∵OF⊥CD，OE⊥AB，∴OE=OF，∴AB=CD．【解析】(1)过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得到AE=BE=12AB=4，根据sin45°=OEOP，得到OE的长，根据勾股定理即可得出OB的长；(2)根据角平分线的性质先证明OE=OF，根据弦心距相等即可得到弦相等．本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，根据弦心距相等得到弦相等是解题的关键．22.【答案】解：(1)设甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为y =ax +b ，把(0,40)，(2,0)代入得： {b =402k +b =0， 解得{k =−20b =40，∴甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为y =−20x +40； (2)∵乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米， ∴乙蜡烛每小时燃烧402−5=15(厘米)，∵乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟， ∴乙蜡烛燃烧时间为2+260=6130(小时)， ∴乙蜡烛的高度是15×6130=30.5(厘米)，答：乙蜡烛的高度为30.5厘米．【解析】(1)设甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为y =ax +b ，用待定系数法可得甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为y =−20x +40；(2)求出乙蜡烛每小时燃烧长度及燃烧时间，即可得答案．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法，能求出乙蜡烛每小时燃烧长度及燃烧时间．23.【答案】(1)证明：∵△ABE 是等边三角形，∴AE =AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BE =AD =CD ，∠BAD =∠ADC =90°， ∵OD =CD ， ∴OD =AE ，∵EF ⊥AB ，AB//CD ， ∴EF ⊥CD ，∴四边形ADGF 为矩形， ∴AF =DG ，AD =FG ， 在Rt △AFE 和Rt △DGO 中， {AE =OD AF =DG，∴Rt△AFE≌Rt△DGO(HL)，∴EF=OG，∴OE=FG，∴AD=OE，又∵AD//OE，∴四边形ADOE为平行四边形，∴AE//DO；(2)证明：∵四边形ADOE为平行四边形，AD=OD=CD，∴四边形ADOE为菱形，∴AO⊥ED，∴∠AMD=90°，又∵∠EFQ=90°，∴∠AMD=∠EFQ，又∵AD//EF，∴∠ADM=∠QEF，∴△QEF∽△ADM，∴EQ AD =EFDM．【解析】(1)由等边三角形的性质及正方形的性质证出OD=AE，证明Rt△AFE≌Rt△DGO(HL)，由全等三角形的性质得出EF=OG，由平行四边形的判定可证出四边形ADOE为平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论；(2)证明四边形ADOE为菱形，由菱形的性质得出AO⊥ED，证明△QEF∽△ADM，由相似三角形的性质可得出结论．本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)将A(4,0)，C(0,−3)代入y=14x2+bx+c得：{4+4b+c=0c=−3，解得{b=−14c=−3，答：抛物线的表达式为y=14x2−14x−3；(2)在y=14x2−14x−3中，令y=0得x=−3或x=4，∴B(−3,0)，A(4,0)，∴AB=7，设M(m,0)，∵S△MBC：S△ABC=4：7，∴[12(m+3)×3]：(12×7×3)=4：7，解得m=1，∴M(1,0)；(3)过D作DE⊥AC于E，如图：由A(4,0)，C(0,−3)得AC=√OA2+OC2=5，∵M(1,0)，C(0,−3)，∴tan∠MCO=OMOC =13，∴tan∠CAD=tan∠MCO=13，∴DE AE =13，设DE=t，则AE=3t，CE=5−3t，∵∠DCE=∠ACO，∠DEC=90°=∠AOC，∴△DCE∽△ACO，∴DE OA =CEOC，即t4=5−3t3，解得t=43，∴DE=43，CE=5−3t=1，∴CD=√DE2+CE2=53，∴OD=OC−CD=3−53=43，答：OD的长度为43．【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的表达式为y=14x2−14x−3；(2)在y=14x2−14x−3中，令y=0得B(−3,0)，A(4,0)，设M(m,0)，可得[12(m+3)×3]：(12×7×3)=4：7，可解得M(1,0)；(3)过D作DE⊥AC于E，由M(1,0)，C(0,−3)，得tan∠MCO=OMOC =13，故tan∠CAD=tan∠MCO=13，设DE=t，则AE=3t，CE=5−3t，根据△DCE∽△ACO，即得t4=5−3t3，解得t=43，从而可得OD=OC−CD=43．本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，锐角三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．25.【答案】(1)证明：过点A作AG//BC，交CD于点G，如图1，∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD，∵AB=BC，∴∠BAC=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB，∵AB//CD，AG//BC，∴四边形ABCG是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCG是菱形，∴AG=CG=AB，∴∠ACD=∠CAG，∵AD⊥AC，∴∠ACD+∠ADC=∠CAG+∠DAG=90°，∴∠ADC=∠DAG，∴AG=DG，∴DG=CG=AB，∴DC=2AB；(2)解：延长DF、AB交于点H，如图2，∵点E为对角线AC的中点，∴AE=CE，∵AB//BC，∴∠EAH=∠ECD，∵∠AEH=∠CED，∴△AEH≌△CED(ASA)，∴AH=CD=2AB=2×6=12，EH=BE=12BH，∴BH=AH−AB=12−6=6，∵AB//BC，∴△BFH∽△CFD，∴BF CF =FHDF=BHCD=612=12，∴CF=2BF，DF=2FH，∵BC=6，∴BF=2，CF=4，∵DF⊥BC，∴∠BFH=∠CFE=90°，在Rt△BFH中，FH=√BH2−BF2=√62−22=4√2，∴DF=2FH=8√2，∴EH=12(DF+FH)=12(8√2+4√2)=6√2，∴EF=EH−FH=6√2−4√2=2√2，在Rt△CEF中，CE=√EF2+CF2=√(2√2)2+42=2√6，由(1)知：∠ACD=∠ACB，∴cos∠ACD=cos∠ACB=CFCE =2√6=√63；(3)解：由(2)知：CF=4，DF=2FH，∴DE+EF=2(DE−EF)，∴DE=3EF，∵∠ACB=∠ACD，∠CEF=∠ACD+∠CDF>∠ACD，∴∠CEF>ACB，∴EF<CF，∵△CEF是等腰三角形，∴CE=CF或CE=EF，当CE=CF=4时，AE=CE=4，∴AC=8，在Rt△ACD中，AD=√CD2−AC2=√122−82=4√5，在Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2，∴42+(4√5)2=(3EF)2，解得：EF=4√63；当CE=EF时，AC=2EF，AE=EF，在Rt△ADE中，AD2=DE2−AE2=(3EF)2−EF2=8EF2，在Rt△ACD中，AC2+AD2=CD2，∴(2EF)2+8EF2=122，解得：EF=2√3；综上所述，当△CEF是等腰三角形时，线段EF的长为4√63或2√3．【解析】(1)过点A作AG//BC，交CD于点G，可证得四边形ABCG是菱形，进而可得DG=CG=AB，即可证得结论；(2)延长DF、AB交于点H，可证得△AEH≌△CED(ASA)，再由AB//BC，可得△BFH∽△CFD，可求得：BF=2，CF=4，再运用勾股定理求得CE=2√6，根据三角函数定义即可求得答案；(3)由于∠CEF>ACB，故EF<CF，分两种情况：当CE=CF=4时，利用勾股定理建立方程求解即可；当CE=EF时，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．。
