2018秋九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定(第2课时)练习题(新版)北师大版

1.2 矩形的性质与判定
基础导练
1．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分
2．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，•则AB 的长是（）
A．12 B．22 C．16 D．26
3．如图所示，在矩形ABCD中，∠D BC=29°，将矩形沿直线BD
折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（）
A．29° B．32° C．22° D．61°
能力提升
4．如图所示，在矩形ABC D中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥B D，交AB的延
长线于点E，求证：AC=CE．
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC
边上的点F处，求CE的长．
参考答案
1.D 2．C 3.B
4.提示：证四边形BDCE是平行四边形，得CE=•BD=A C
5.3。

矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一．选择题（共15小题）1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（）A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm22．下面对矩形的定义正确的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．矩形是中心对称图形D．有一个角是直角的平行四边形3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、P D．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．184．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=6cm，则四边形CODE 的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2D．36．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形；B．对角线互相垂直的四边形是矩形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC=∠ACB；B．∠BAC=∠ACD；C．∠BAC=∠DAC；D．∠BAC=∠ABD9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC10．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90°C．AB=CD，∠B=∠C=90°D．AB=CD，AC=BD11．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形12．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．13．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．414．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（）A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC15．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形二．填空题（共6小题）16．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC=，矩形的面积为．17．如图，在▱ABCD中，再添加一个条件（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）18．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1S2．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=cm．20．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．21．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．三．解答题（共5小题）22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积．23．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．24．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，C A．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．25．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．26．已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC+S△PAD=BC•PF+AD•PE=BC（PF+PE）=BC•EF=S矩形ABC D．（1）请补全以上证明过程．（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、S PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．参考答案一．选择题（共15小题）1．B．2．D．3．C．4．D．5．C．6．C．7．C．8．D．9．B．10．D．11．D．12．D．13．C．14．D．15．A．二．填空题（共6小题）16．5，12．17．AC=BD18．=．19．．20．AC⊥B D．21．．三．解答题（共5小题）22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∵∠AOD=120°，∴∠ADO=30°∴AB=B D．在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD===3∴S=AB•AD=3×3=9．矩形ABCD23．（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=A C．∵DB=AC，∴DB=E C．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）证明：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵∠BAC=∠C，∴BA=BC，∵BC=DE，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．24．证明：（1）∵BF=BA，BE=BC，∴四边形AEFC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，∴BE=BF，∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，∴四边形AEFC为矩形；（2）连接DB，由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，∴四边形AEBD为平行四边形，∵DE⊥AB，∴四边形AEBD为菱形，∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，∴AG=2，AE=4，∴在Rt△AEG中，EG=2，∴ED=4．25．（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．26．证明：（1）∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PC D．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=BC•PF=BC•PE+BC•EF=AD•PE+BC•EF=S△PAD+S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PC D．矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一、填空题：1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。

【新北师大版九年级数学（上）单元测试卷】第一章《特殊平行四边形》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 244. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 139.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 1611.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.12.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A. 1B.C. 4-2D. 3-4二.填空题：（每小题3分共12分）13.正方形的一条边长是4，则它的对角线长是_________.15.矩形的对角线相交构成的钝角为120°，短边等于5cm，则对角线的长为__________.16.如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于F，则∠AFC=_________.三.解答题：（共52分）17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点P是AC的中点.求证：∠BDP=∠DBP．18.已知：菱形ABCD中，对角线于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．于点F，且，连接BF．证明：；当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．20.已知中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E.求证：四边形AECF是菱形.证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知）∴四边形AECF是不正确⑴你能找出小明错误的原因吗？请你指出来.⑵请你给出本题的证明过程.21.如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．22. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E,F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．23.如图，F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCM，交过F点AF的垂线FG于G，求证：AF=FG.一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】①正确.②等腰梯形是对角线相等，错误.③菱形也两个角相等，错误.④正确．所以选C.2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°【答案】B【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 24【答案】A【解析】∵菱形的两条对角线长分别为3和4，∴S菱形=.故选A.4. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形【答案】B【解析】如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∵HE∥BD，∴EF⊥HE，∴∠HEF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形.故选B.5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD【答案】D【解析】A、不能，只能判定出是平行四边形；B、不能，只能判定出是矩形；C、不能，只能判定出是菱形；D、能，由OA=OB=OC=OD可判断出四边形ABCD是矩形，再根据AC⊥BD，可判断出矩形ABCD 又是菱形，所以可判断出四边形ABCD是正方形，故选D.6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等【答案】B【解析】根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对边平行且相等、对角线相等、对角线互相平分，但矩形的对角线不互相垂直，故选B．7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相垂直且相等【解析】如图所示：添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：添加的条件时AC=BD且AC⊥BD时；∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形；故选：D．8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 13【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠BOC=120°，∴AO=BO，∠BAD=90°，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠BDA=30°，∴BD=2AB=10.故选B.9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.【解析】∵菱形的两条对角线分别为5cm和10cm，∴菱形的面积为：（cm2），设正方形的边长为cm，则，解得：（cm）.故选B.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 16【答案】D【解析】试题分析：根据题意可得：AD=2+6=8，根据折叠图形的性质可得：AB=2，然后根据矩形的面积计算公式求出矩形的面积.11.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】DE BF,AF EC,EGFH是平行四边形，E,F是中点，易得，四边形对角线垂直，1∴EGFH是菱形。

讲授新课
知识点1 矩形的性质与判定综合运用
例1：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,
CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， A
D
∴四边形OCED是平行四边形.
O
E
∵四边形ABCD是矩形，
B
C
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
例2 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩 形？并说明理由．
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
AFE DCE,
在△AEF和△DEC中，AEF DEC,
AE DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的 形状，并证明；
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形.
(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
到四边形EFGH是什么四边形？
E
B
解：连接AC，BD.
A
∵点E，F，G，H为各边中点，
F
EF GH 1 BD，FG EH 1 AC,
2
2
D
G
H C
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？