特殊的平行四边形
中考要求
知识点睛
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：
① 边的性质：对边平行且四边相等．
② 角的性质：邻角互补，对角相等．
③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．
④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．
3．菱形的判定
判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
判定③：四边相等的四边形是菱形．
4．三角形的中位线
中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．
也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．
以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．
中点中点平行
中点
定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．
5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
6．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
① 边的性质：对边平行，四条边都相等．
② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．
④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）
正
方形
菱形
矩形平行四边形
7．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
例题精讲
板块一、菱形
【例1】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的
大小是
【解析】如图，过点A 作AE BC ⊥于E ，则
1
2
AC BD BC AE ⋅=⋅，又2AC BD AB ⋅=，得1
302
AE AB ABC =
∠=︒，，150BAD ∠=︒ E
D
C
B
A
【答案】150︒
【例2】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：
CEF ∠的度数．
F
E
D
C
B
A
【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形
∴AB BC CD AD ===
∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△
∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒
∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ ∴18CEF ∠=︒
在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．
A
B
C
D
E
F
【答案】18︒
【例3】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中
点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值； ⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边
AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问
题中的其他条件不变，求
PG
PC
的值（用含α的式子表示）． 图2
A
B C
D
E
F
G P
【解析】省略
【答案】⑴ 线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ⊥
；
PG
PC
． ⑵ 猜想：⑴中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． ∵P 是线段DF 的中点， ∴FP DP =．
由题意可知AD FG ∥． ∴GFP HDP ∠=∠． 又∵GPF HPD ∠=∠，
∴GFP HDP ∆∆≌，∴GP HP =，GF HD =．
∵四边形ABCD 是菱形，∴CD CB =，60HDC ABC ∠=∠=︒．
由60ABC BEF ∠=∠=︒，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得60GBC ∠=︒． ∴HDC GBC ∠=∠． ∵四边形BEFG 是菱形， ∴GF GB =，∴HD GB =．
∴HDC GBC ∆∆≌，∴CH CG =，DCH BCG ∠=∠． ∴120DCH HCB BCG HCB ∠+∠=∠+∠=︒，即120HCG ∠=︒． ∵CH CG =，PH PG =，
∴PG PC ⊥，60GCP HCP ∠=∠=︒．
∴PG
PC
= ⑶
PG
PC
=()tan 90α︒-．证明过程略． H
P G F
E D C
B A
【点评】 本题是一道探究性的几何综合题，本题的题干是以阅读材料的形式呈现，从而降低了题目的难度，
本题应该是在05年大连中考压轴题的基础上改进而来的．
【例4】 如图：菱形ABCD 由两个等边三角形组成，点P 是△ABD 内任一点，将△BPD 绕点B 旋转到△BQC
的位置．则：
（1）当四边形BPDQ 是平行四边形时，求∠BPD ； （2）当△PQD 是等腰直角三角形时，求∠BPD ； （3）若∠APB ＝100°，且△PQD 是等腰三角形时，求∠BPD ．
