零极点配置

控制的目标是将闭环系统的零极点配置到理想位置，使
Bm ( z −1 ) 输出 y (k )与参考输入ω (k ) 之间的传递函数为 ， −1 −1 C ( z )T ( z )
−1 T −1 这里在极点中加进 C ( z ) 是为了抑制随机干扰噪声， ( z )是首 1的稳定多项式，其零点是理想的闭环系统极点，且有 Bm ( z −1 ) 与 T ( z −1 ) 互质。采用下列控制器方程
计算保留所有过程零点的零极点配置控制律。本算法可适用于 非最小相位系统。
3.6.2
零极点配置自校正控制器
当被控系统的参数未知或慢时变时，就需应用递推估计算 法在先辨识参数。下面分别就显式和隐式两类零极点配置自校 正算法进行讨论。 一、显式零极点配置自校正控制算法 上面讨论的几种零极点配置控制器，当系统参数未知时，均可 直接引入在线辨识原系统模型参数实现显式零极点配置自校正 控制。下面分别给出各类显式算法的计算步骤。
(1) 引入积分器 为了引入积分器选择 H ( z −1 )使 H (1) = 0 ，即取(1 − z −1 ) H1 ( z −1 ) 则由（2.6.8）和（2.6.11）式知：为了使 y (k )和 ω (k )之间的 传递函数稳态时为1，E ( z −1 ) 必须取为
E (1) = G (1)
（2.6.5）
B( z −1 ) 分解 假设系统为非最小相位系统，则需将 B ( z −1 ) = B + ( z −1 ) B − ( z −1 ) （2.6.6）
式中 B + ( z −1 )为稳定零点，B − ( z −1 ) 为不稳定零点，令 H ( z −1 ) = H1 ( z −1 ) B + ( z −1 ) 则（2.6.5）式可化简为 Bm ( z −1 ) B − ( z −1 ) E ( z −1 ) = −1 −1 − −1 −1 A( z ) H1 ( z ) + B ( z )G ( z ) C ( z −1 )T ( z −1 ) （2.6.8） （2.6.7）
§2.6零极点配置自校正控制器
前面介绍的隐式和显式自校正控制器都是基于最优控制 策略设计的，它们要求被控系统的时延已知且不变化，而且性 能指标中加权多项式的选择也比较费事。实际上许多被控系统 往往是非最小相位系统，且其时延是未知、变化的。处理这类 被控系统的有效控制方法是采用零极点配置策略，它是一种经 典的控制系统设计综合方法，其中心思想是将闭环系统的极点 配置到设计者预先规定的位置上。众所周知，对于线性定常系 统来说，闭环系统的极点分布决定着系统的稳定性。零极点的 分布与系统的控制性能，如上升时间、超调量、震荡次数和建 立时间等密切相关，因此进行闭环零极点配置，易于将零极点 位置与系统的动态响应联系起来，易于被人们掌握。此外，通 过特殊的零极点配置，还可导出最小方差控制律或广义最小方 差控制律。
H ( z −1 )u (k ) = E ( z −1 )ω (k ) − G ( z −1 ) y (k )
（2.6.2）
式中 H ( z −1 ), G ( z −1 ), E ( z −1 ) 为 z −1 多项式，其系数待定。控制器 结构图如图2.6.1所示。
ξ (k )
C/A
ω (k )
1.对消所有过程零点 当被控系统是最小相位系统时，即 B( z −1 ) 的全部零点在z平面 单位圆内，B( z −1 ) 就是 B + ( z −1 ) 。假定系统的时延为 z − d，那么 H ( z −1 ) = z d H1 ( z −1 ) B( z −1 ) 。于是极点配置方程（2.6.9）变为 A( z −1 ) H1 ( z −1 ) + z − d G ( z −1 ) = C ( z −1 )T ( z −1 ) deg H1 = d − 1, deg G = na − 1, deg T ≤ na + d − nc − 1 （2.6.17） （2.6.18）
deg T ≤ deg A + deg B − − deg C − 1, deg E ≥ deg Bm − deg B −
因此闭环系统方程（2.6.3）可写成
B − ( z −1 ) E ( z −1 ) H ( z −1 ) y (k ) = ω (k ) + ξ (k ) −1 −1 −1 C ( z )T ( z ) T (z )
（2.6.3）
y 从上式中可看出： (k ) 和 ω (k ) 之间的传递函数为
B( z −1 ) E ( z −1 ) A( z −1 ) H ( z −1 ) + B( z −1 )G ( z −1 )
它与理想闭环传递函数的关系为
（2.6.4）
B( z −1 ) E ( z −1 ) Bm ( z −1 ) = −1 −1 −1 −1 A( z ) H ( z ) + B( z )G ( z ) C ( z −1 )T ( z −1 )
E
+
−
1/ H
B/ A
+
+
y (k )
G
图2.6.1 零极点配置控制器结构框图
闭环系统方程可由（2.6.2）式求出 u (k ) 再代入(2.6.1)即
[ A( z −1 ) H ( z −1 ) + B( z −1 )G ( z −1 )] y (k ) = B( z −1 ) E ( z −1 )ω (k ) + H ( z −1 )C ( z −1 )ξ (k )
E (1) = C (1)T (1) / B(1)
(2.6.25)
G ( z −1 ), H ( z −1 ), E ( z −1 ) 等多项式后，即可按（2.6.2） 求得
计算保留所有过程零点的零极点配置控制律。本算法可适用于 非最小相位系统。
3.保留所有开环系统的极点 当被控系统开环稳定，即 的全部零点在Z平面的单位 −1 圆内时，则可将 A( z ) 的所有零点作为闭环系统的一部分极 点处理。首先选择 G ( z −1 )为 G ( z −1 ) = A( z −1 )G1 ( z −1 ) （2.6.26） 极点配置方程（2.6.9）变为 A(z−1)H(z−1) + B(z−1) A(z−1)G1(z−1) = C(z−1)T (z−1) 如选择 T ( z −1 )为 A( z −1 ) ，则上式可改写为 H ( z −1 ) + B( z −1 )G1 ( z −1 ) = C ( z −1 ) deg H = max(nb − 1, nc − 1), deg G1 = 0 （2.6.28） （2.6.29） （2.6.27）
3.6.1 零极点配置控制器 设被控系统的数学模型为 A( z −1 ) y (k ) = B( z −1 )u (k ) + C ( z −1 )ξ (k ) 其中 (2.6.1)
B( z −1 ) = b1 z −1 + ⋯ + bi z −i + ⋯ + bnb z − nb
如果系统的时延为 d 时，将 bi (i = 0,1,⋯, d ) 置为零即可。且 −1 假设 A( z ) 和 B( z −1 )互质，即两者无公因子。
−1 控制器参数 E ( z )可根据下列两种情况确定 (1)引入积分器时
（2.6.21） （2.6.22）
E (1) = G (1)
（2.6.23）
此时要求
H (1) = 0
(2.6.24)
Hale Waihona Puke Baidu
将（2.6.24）作为（2.6.21）的约束条件，并取得 deg H = nb , deg G = na ，在求解 H ( z −1 ) 和 G ( z −1 )。 （2）不加积分器时
G ( z −1 ), H ( z −1 ), E ( z −1 ) 的多项式后，即可按（2.6.2）式 求得 计算对消所有过程零点的零极点配置控制律。
2.保留所有过程零点 当被控系统有过程零点在单位圆外时，可采用保留过程全部 零点的零极点配置算法，这时的极点配置（2.6.9）是应写成 A(z−1)H(z−1) + B(z−1)G(z−1) = C(z−1)T (z−1) deg H = nb − 1, deg G = na − 1, deg T ≤ na + nb − nc − 1 由于A( z −1 ) 与 B( z −1 ) 互质，上式一定有解。
Bm ( z −1 ) = z − d E ( z −1 ) （2.6.13） E ( z −1 ) = C ( z −1 ) R( z −1 ) ，那么闭环系统方程为 如果选择
y (k ) = R( z −1 )ω (k − d ) + F ( z −1 )ξ (k ) （2.6.14）
显然，（2.6.14）与用最小方差控制律得到的闭环系统方差 相同。这也说明对随机系统实现极点配置时，给定极点配置多 项式为什么要选择为 C ( z −1 ) R( z −1 ) ，而不像确定性系统那样选为 T ( z −1 )的原因。此外，由（2.6.11）可看出：为了消除跟踪误差 −1 必须合理的选择 E ( z ) ，下面介绍两种消除跟踪误差的方法。
（2.6.11）
−1 −1 从上式可看出：选择 C ( z )T ( z ) 作为闭环系统的极点可 C ( z −1 ) ，从而可对随机干扰进行抑制。 对消噪声项系数多项式
对于最小相位系统，这种零极点配置方案，可导出最小方 差控制规律。如系统延时为d，选择 H ( z −1 ) = z d F ( z −1 ) B( z −1 ), T ( z −1 ) = 1 ，则（2.6.9）和（2.6.10）式变为 （2.6.12） A( z −1 ) F ( z −1 ) + z d G ( z −1 ) = C ( z −1 )
显然闭环极点和零点配置方程分别为 A( z −1 ) H1 ( z −1 ) + B − ( z −1 )G ( z −1 ) = C ( z −1 )T ( z −1 ) （2.6.9 ） （2.6.10）
B − ( z −1 ) E ( z −1 ) = Bm ( z −1 )
deg H1 = deg B − − 1, deg G = deg A − 1
（2.6.15）
(2) 不引入积分器 由（2.6.11）式知为使 y (k ) 与 ω (k )之间的传递函数的稳 E ( z −1 )必须取为 态值为1， E (1) = C (1)T (1) / B − (1) (2.6.16)
通过（2.6.6）（2.6.7）和（2.6.9）式解得 G(z−1), H(z−1) ， − deg G = na , deg H1 = nb ，并利用（2.6.15）或（2.6.14）求得 E ( z −1 ) 后，即可由（2.6.2）式计算零极点配置控制律。 上述零极点配置控制算法可适用于开环不稳的非最小相位 系统，但要求分解 B( z −1 ) 为 B + ( z −1 ) 和 B − ( z −1 ) ，在自适应情况下不 易在线实现。下面介绍三种不用分解的零极点配置算法。
H 因 A(z−1) 与 z − d 互质，在上述介次配合下， 1 ( z −1 )和 G ( z −1 )有唯 一解。
控制器参数 E(z )的选取原则与零极点配置控制器同。当引 入积分器是。
−1
E (1) = G (1)
当不引人积分器时
(2.6.19)
E (1) = C (1)T (1)
(2.6.20)
A( z −1 )
E ( z −1 ) 的选择为 引入积分器时，
H (1) = 0
（2.6.30） （2.6.31） （2.6.32）
E (1) = G (1) = G1 (1) A(1)
不引入积分器时， E (1) = C (1) A(1) / B(1)
G ( z −1 ), H ( z −1 ), E ( z −1 ) 等多项式后，即可按（2.6.2） 求得