一种估计奇异摄动饱和系统稳定域的方法

浅谈电力系统稳定域确定及其算法特性发表时间：2019-10-30T13:36:04.843Z 来源：《云南电业》2019年5期作者：罗祥[导读] 只有将电力系统的值保持在稳定数值内，有效的确保电力系统的稳定性。

（明星电力股份有限公司四川遂宁 629000）摘要：电力系统在运行过程中，要处于稳定的状态。

电压、电流、功率三者在运行过程中，频率要保持在特定的范围内，才能保证电力系统的稳定性，否则，一旦这种平衡性被打破就会造成整个系统失衡，这种现象就说明电力系统稳定域受到了干扰，只有将电力系统的值保持在稳定数值内，有效的确保电力系统的稳定性。

关键词：稳定域；流形理论；可达集1流形理论构造稳定域1.1流形的基本理论在非线性动力学系统理论发展过程中，可以用微分方程的形式进行表达：=f（X）公式中，如果存在一个X0，那么就会得到f（X0）=0，其中，X0就是系统中的一个平衡点。

当Jacobi矩阵中存在一个平衡点时，就说明它的实部不是零，是双曲平衡点，当的特征值的实部为负值，为稳定的平衡点。

双曲平衡点中包含了不稳定流形Wu（X0）以及稳定性流形WS（X0）它的定位表达为：Chiang认为，当稳定平衡点的条件满足（A1-A3）时，稳定边界上的补平衡点是通过非线性动力学系统中的稳定平衡点形成。

利用流形理论求出稳定域的计算方法如下：首先，要将f（X）=0，将系统中的平衡点计算得出，并根据Jacobian矩阵职工的特征得出系统中平衡点中的稳定性，利用边界中的稳定流形，刻画出稳定边界。

1.2筛选出位于稳定边界上的不稳定平衡点在判断筛选f（X）=0中不稳定平衡点时，要对稳点边界上的I型不稳定平衡点找出，并根据相应的特征进行相应的判断。

具体步骤如下：在稳定边界判断过程中主要以I型中的不稳定平衡点Xi为计算的中心，并得到其中的半径，需要在超球体内的表面均匀取点，在取第m 个球上的点，其中，公式表达为：ym=[-?，d1，d2，…，dn-1，?]+xi，其中，dj（j=1，2，…，n-1）为（-?，?）内均取的点，m=1，2，…，n。

动力系统的无穷远奇点及其分析方法动力系统的无穷远奇点及其分析方法是一种重要的研究领域，一直以来都受到科学家和工程师们的高度关注。

该研究领域是由著名力学家罗伯特萨斯特拉斯利尔威尔特森于上世纪五十年代末提出的，由其它科学家扩展发展而来。

它在动力系统的分析中扮演着重要的角色，包括理解和预测系统在长期内的行为，以及系统性能调整和故障诊断等。

无穷远奇点是指一种动力系统的若干状态量，它们的变化速度趋近于零，但永远不会达到绝对的零点。

在动力系统中，无穷远奇点是一种稳定的状态，因此又称为稳定奇点。

在一定条件下，无穷远奇点可以由特征方程表达，并由此揭示系统行为的特性，使得系统更能从宏观角度更好地进行解析。

无穷远奇点的分析方法包括分析、解析等，它们是动力系统的分析方法的重要组成部分。

分析方法是指将动力系统拆分为多个子系统，并试图揭示每个子系统的行为特性，从而了解整个系统的行为特性。

而解析方法是指采用数学方法来研究系统的行为特性。

无穷远奇点的分析方法主要有两类，一是利用测量数据，基于奇点可拟性理论，采用拟合、参数整定等方法来检测无穷远奇点。

一是基于数学理论，采用复数变换、变坐标等方法来求解无穷远奇点的位置和识别研究结果。

此外，无穷远奇点的分析方法还包括基于计算机的数值求解方法、基于最优化理论的子空间方法和基于继电器论的基本法则等。

通过以上分析，可以看出无穷远奇点的分析方法在动力系统的理解和预测中起到了十分重要的作用，基于多种分析方法可以更好地理解动力系统，从而提高系统的性能。

因此，研究无穷远奇点的分析方法具有重要的现实意义。

总之，无穷远奇点的分析方法是一种重要的研究领域，它关乎系统的行为分析，其分析方法包括分析、解析等方法，以及基于测量数据的可拟性理论，基于数学理论的复数变换、变坐标等方法，基于计算机的数值求解方法，基于最优化理论的子空间方法和基于继电器论的基本法则等方法。

无穷远奇点的分析方法不仅可以促进动力系统的行为分析，而且可用于系统性能调整和故障诊断等，具有重要的现实意义。

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2021,34(1):184-193一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析包小兵1,方虹淋2,刘利斌3(1.池州学院大数据与人工智能学院,安徽池州247000;2.重庆工程学院通识学院,重庆400900;3.南宁师范大学数学与统计学院,广西南宁530023)摘要：基于经典的迎风有限差分方法,本文讨论一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法.首先,利用Taylor级数展开,给出离散格式的局部截断误差估计.然后,利用等分布原理和极大值原理,证明基于弧长控制函数的自适应网格算法是一阶收敛的.最后的数值实验验证了本文的理论结果.关键词：奇异摄动;局部截断误差;迎风有限差分格式;自适应算法中图分类号：O241.8AMS(2000)主题分类：65L10;65L12;65N30文献标识码：A文章编号：1001-9847(2021)01-0184-101.引言本文考虑如下弱耦合的奇异摄动对流扩散方程组：L1u(x)≡−εu′′1(x)−a11(x)u′1(x)+b11(x)u1(x)+b12(x)u2(x)=f1(x),L2u(x)≡−εu′′2(x)−a22(x)u′2(x)+b21(x)u1(x)+b22(x)u2(x)=f2(x),u i(0)=0,u i(1)=0,i=1,2,x∈Ω=(0,1),(1.1)其中0<ε≪1是摄动参数,u(x)=(u1(x),u2(x))T,函数a ii(x),b ij(x)和f j(x),i,j=1,2,为足够光滑的函数.假设存在常数α,α∗,η,使得α∗≥a ii(x)≥α>0,i=1,2,(1.2)minx∈[0,1]{b11(x)+b12(x),b12(x)+b22(x)}>η>0.(1.3)基于假设条件(1.2)-(1.3),问题(1.1)存在唯一解,且当ε→0时,在x=0点存在宽度为O(ε|lnε|)的边界层.[1]众所周知,奇异摄动问题来源于工程和应用数学的许多分支,例如流体力学、热传导、半导体和化学反应等.[2]一般而言,这类问题所对应的微分方程的高阶导数项包含小的摄动参数,从而导致很难求出其精确解,尤其是非线性的问题.因此,研究这类问题的有效的数值方法显得非常重要.一直以来,单个奇异摄动对流扩散方程的数值方法备受许多学者的关注.[3]近年来，奇异摄动对流扩散方程组的层适应网格方法逐渐引起了学者们的兴趣.CEN在文[1]中∗收稿日期：2020-02-28基金项目:国家自然科学基金(11761015),广西自然科学基金(2020GXNSFAA159010);广西自然科学基金重点项目(2017GXNSFDA198014,2018GXNSFDA050014);池州学院自然科学重点项目基金(CZ2018ZR06);池州学院校级教学团队(2018XJXTD03)作者简介:包小兵,男,汉族,安徽人,讲师,研究方向:微分方程数值解.通讯作者:刘利斌.第1期包小兵等：一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析185考虑了问题(1.1)的Shishkin 网格方法,并证明了数值方法是几乎一阶一致收敛的.Roos 和Reibiger [4]考虑了具有单个摄动参数ε的奇异摄动对流扩散方程组,证明线性有限元方法在Shishkin 网格上是几乎二阶收敛的.作者在文[5]中讨论了奇异摄动对流扩散方程组(1.1)的有限差分格式,并在Shishkin 网格上证明了数值方法是几乎一阶收敛的.针对奇异摄动对流扩散方程组,LINß[6]在任意网格上构造了一个迎风有限差分格式,并分别在Shishkin 网格和Bakhvalov 网格上证明了数值方法的收敛阶是O (N −1ln N )和O (N −1),其中N 表示网格区间的个数.O’Riordan 和Stynes [7]讨论了一类强耦合的奇异摄动对流扩散方程组有限差分方法,并在Shishkin 网格上给出了数值方法的收敛性.Kumar 等[8]讨论了一类奇异摄动对流扩散方程组的Shishkin 网格方法,并给出了相应的收敛性分析.在奇异摄动问题的层适应网格方法受到广泛关注的同时,奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法越来越受到许多学者的青睐[9−14].而关于奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法,可参见德国学者Linß在2009年发表的文[15].接着,LIU 和CHEN 在文[16-17]中分别讨论了一类弱耦合和强耦合的奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法,利用多项式插值技术,给出了离散格式的最大范数的后验误差估计,并以此构造了一个类似于弧长的网格控制函数及相应的网格生成算法.MAO 和LIU [18]针对一般的强耦合的奇异摄动对流扩散方程组,构造了迎风有限差分格式的后验误差估计和相应的网格生成算法.值得一提的是文[15–18]所提出的奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法都是基于后验误差估计和网格等分布原理.如文[10]所述,这种算法属于全离散的自适应网格算法.在文[10,13,19-20]中,基于精确的弧长控制函数和网格等分布原理,作者研究了单个奇异摄动对流扩散方程的半离散的自适应网格算法,并给出了算法的先验误差估计和收敛性分析.因此,本文将在此基础上,系统分析奇异摄动对流扩散方程组(1.1)的自适应网格算法的收敛性.首先,基于标准的迎风差分格式,给出相应的局部截断误差.然后,利用包含方程精确解的网格控制函数、网格等分布原理和精确解的稳定性估计,证明了半离散格式的自适应网格算法是一阶收敛的.最后的数值试验进一步验证了本文的理论结果.注1.1本文中的C 表示与摄动参数ε以及网格参数N 无关的正常数,且在不同地方取值不同.对于单个函数v (x ),x ∈¯Ω=[0,1],定义最大范数∥v (x )∥=max ¯Ω|v (x )|.对于向量函数v (x )=(v 1(x ),v 2(x ))T,定义∥v (x )∥=max {∥v 1(x )∥,∥v 2(x )∥},∥v (x i )∥=max {|v 1(x i )|,|v 2(x i )|},i =0,1···,N .另外，为了方便,对于任意函数g (x ),记g i =g (x i ).2.预备知识在这部分,为了证明问题(1.1)的数值解的误差估计,我们首先列出极大值原理和问题(1.1)的解的稳定性.引理2.1(极大值原理)[1]假设v (x )是一个光滑的函数,如果对于任意的x ∈Ω,满足不等式v (0)≥0,v (1)≥0以及L 1v ≥0,L 2v ≥0,则有v (x )≥0成立.基于引理2.1中的极大值原理,可进一步得到问题(1.1)的解满足如下稳定性结果:引理2.2(稳定性)[1]基于假设条件(1.2)-(1.3),方程组(1.1)的精确解u (x )存在如下稳定性估计:∥u (x )∥≤C max {∥u (0)∥,∥u (1)∥,max x ∈¯Ω|L 1u |,max x ∈¯Ω|L 2u |},x ∈¯Ω.(2.1)进一步,由文[1]的引理3和引理4,可得如下引理:引理2.3方程组(1.1)的精确解u (x )的k (k =1,2)阶导数满足如下估计: u (k )1(x )≤C (1+ε−k exp (−αx ε)),x ∈(0,1)(2.2) u (k )2(x ) ≤C (1+ε−kexp (−αx ε)),x ∈(0,1),(2.3)186应用数学20213.离散问题和非均匀网格为了构造问题(1.1)的离散格式,将区间[0,1]分成N 个小区间,即可构造如下的非均匀网格:¯ΩN ={x j |0=x 0<x 1<···<x N =1},其中网格步长h j =x j −x j −1,则在任意非均匀网格¯ΩN 下,问题(1.1)的迎风有限差分格式为:L N 1U j :=−εDD −U 1,j −a 11,j D +U 1,j +b 11,j U 1,j +b 12,j U 2,j =f 1,j ,L N 2U j :=−εDD −U 2,j −a 22,j D +U 2,j +b 21,j U 1,j +b 22,j U 2,j =f 2,j ,U 1,0=U 1,N=U 2,0=U 2,N=0,1≤j ≤N,(3.1)其中U j =(U 1,j ,U 2,j )T 为u (x j )=(u 1(x j ),u 2(x j ))T 的近似值,且差分算子定义如下:D −U j =U j −U j −1h j ,D +U j =U j +1−U j h j ,D U j =U j +1−U j,DD −U j =1 (U j +1−U j h j +1−U j −U j −1h j ), =h j +h j +12.对任意的非均匀网格ΩN ,如果存在非负函数M (·,x ),使得∫x jx j −1M (·,x )d x =∫x j +1x jM (·,x )d x,j =1,...,N −1,(3.2)则称此非均匀网格ΩN 是等分布的,且M (·,x )称为控制函数.进一步,(3.2)可写为:∫x j x j −1M (·,x )d x =1N ∫1M (·,x )d x,j =1,...,N −1.一般情况下,对于单个奇异摄动微分方程,最常用的控制函数为弧长函数M (u (x ),x )=√1+(u ′(x ))2[9−14],其中u (x )是单奇异摄动问题的精确解.最近,LIU 和CHEN [16]以及MAO 和LIU [18]构造了奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法,他们构造了如下的控制函数:˜M (u (x ),x )=√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}.(3.3)本文也将选取˜M(u (x ),x )作为控制函数来构造自适应网格,即由(3.2)可得,∫x j x j −1˜M (u (x ),x )d x =1N ∫10˜M (u (x ),x )d x,j =1,...,N −1.(3.4)对于任意的ξ∈(0,1),构造映射x =x (ξ)∈(0,1),则有:∫x (ξ)˜M(u (x ),x )d x =ξ∫10˜M (u (x ),x )d x =ξL,(3.5)其中L =∫10˜M(u (x ),x )d x .进一步地,由控制函数(3.3)可得到:d xd ξ=L √1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}.(3.6)令ξj =jN,对(3.6)式两端同时在0到ξj 上积分,可得到:x j =∫ξj0L√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ,j =0,...,N.(3.7)因此,网格步长为:h j =x j −x j −1=∫ξjξj −1L√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ,j =1,...,N.(3.8)第1期包小兵等：一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析187引理3.1对于满足等分布原理(3.4)的任意一个网格ΩN ={x j }N j =0,有h j ≤CN −1,j =1,2,...,N,(3.9)∫x jx j −1|u ′i (x )|d x ≤CN−1,i =1,2.(3.10)证对于任意的x ∈(0,1),由引理2.3可以得到弧长L =∫10˜M (u (x ),x )d x =∫10√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d x≤∫10(1+max x ∈[0,1]{|u ′1(x )|,|u ′2(x )|})d x ≤C ∫10(1+ε−1exp (−αx ε))d x≤C +1−exp (−αε)α≤C.(3.11)此外,对于满足式(3.4)的网格{x j }N j =0,有h j =x j −x j −1≤∫x j x j −1√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d x=1N∫1√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d x =L N≤CN −1,(3.12)即可得到(3.9)式.进一步,由(3.6),(3.11)和(3.12)可得∫x j x j −1|u ′1(x )|d x =L ∫x jx j −1|u ′1(x )|√1+max x ∈[0,1]{[˜u ′1(x )]2,[˜u ′2(x )]2}d ξ≤Lh j ≤CN −1.(3.13)类似地,还可得到:∫x jx j −1|u ′2(x )|d x ≤CN−1,即完成(3.10)的证明.4.收敛性分析显然,离散格式(3.1)在点x j 的局部截断误差分别为:τ1,j =L N 1U j −(L 1u )(x j ),(4.1)τ2,j =L N 2U j −(L 2u )(x j ),(4.2)其中u 和U j 分别表示方程组(1.1)和离散格式(3.1)的解.为了给出截断误差的具体表达式,我们首先给出下列引理:引理4.1[18]对于任意的函数ψ(x )∈ϱ3(¯Ω),有: (D +−d d x )ψ(x j ) ≤1x j +1−x j ∫x j +1x j(x j +1−s )ψ′′(s )d s,(4.3)(D +D −−d 2d x 2)ψ(x j ) ≤1x j +1−x j −11h j +1∫x j +1x j(x j +1−s )2ψ′′′(s )d s −1x j +1−x j −11h j ∫x j x j −1(s −x j +1)2ψ′′′(s )d s.(4.4)引理4.2设差分格式(3.1)在点x i 的局部截断误差为τi,j ,则有:|τi,j |≤CN −1+C Nε1+λexp(−λαx jε),i =1,2,(4.5)188应用数学2021其中C 为与参数ε无关的正常数,0<λ<1.证首先,当i =1时,由泰勒展开可得|τ1,j |= −εh j +1+h j [1h j +1∫x j +1x j (s −x j )2u ′′′1(s )d s −1h j ∫x j x j −1(s −x j −1)2u ′′′1(s )d s]+a 11,j h j +1∫x j +1x j (s −x j +1)u ′′1(s )d s ≤ε∫x j +1x j −1|u ′′′1(s )|d s +C ∫x j +1x j −1|u ′′1(s )|d s.(4.6)对(1.1)的第一个方程求导,并由(4.6)式和引理3.1可得|τ1,j |≤C ∫x j +1x j −1|u ′1(s )|d s +C ∫x j +1x j −1|u ′2(s )|d s +C ∫x j +1x j −1|u ′′1(s )|d s ≤CN −1+C∫x j +1x j −1|u ′′1(s )|d s.(4.7)进一步,由(3.7)和(3.11),可得|τ1,j |≤CN−1+CL∫ξj +1ξj −1|u ′′1(x )|√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ≤CN −1+CL∫ξj +1ξj −11+ε−2exp(−αx ε)√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ=CN−1+CL∫ξj +1ξj −11√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ+Cε∫ξj +1ξj −1Cε−1exp(−αxε)√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ≤CN −1+Cε∫ξj +1ξj −1Cε−1exp(−αxε)√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ.(4.8)再由引理2.3可得max x ∈[0,1]{ u ′1(x ) , u ′2(x ) }≤C (1+ε−1exp (−αx ε)).则显然有,max x ∈[0,1]{|u ′1(x )|,|u ′2(x )|}=O (ε−1).与文[10]的引理5.1类似,存在常数C 1和C 2,使得:C 1εexp (−αx ε)≤max x ∈[0,1]{u ′1(x ),u ′2(x )}≤C 2εexp (−αx ε).进一步由(4.8)可得|τ1,j |≤CN −1+C ε∫ξj +1ξj −1Cεexp (−αx ε)√1+(C 1ε)2exp(−2αx ε)d ξ≤CN −1+C εN C 1εexp (−αx j ε)√1+(C 1ε)2exp (−2αx j ε)≤CN −1+K j exp (−λαεx j ),(4.9)第1期包小兵等：一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析189其中0<λ<1是与ε,N 无关的,并且K j =CNε1+λ(C 1ε)1−λexp (−(1−λ)αx jε)√1+(C 1ε)2exp (−2αx j ε).记y =C 1εexp(−αx/ε),并定义函数g (y )=y 1−λ√1+y 2,y ∈[0,+∞),(4.10)显然,g (y )是区间[0,y ∗]上的增函数,其中y ∗=√(1−λ)/λ.由0<λ<1,易知g (y ∗)≤C ,进一步有K j =C Nε1+λg (y j )≤C Nε1+λg (y ∗)≤C Nε1+λ.(4.11)结合式(4.9)有|τ1,j |≤CN −1+C Nε1+λexp (−λαx j ε).类似地,当i =2时,可以得到:|τ2,j |≤CN −1+C Nε1+λexp (−λαx jε).下面为了讨论数值解的误差估计,首先给出网格函数的性质.引理4.3定义网格函数S j =(S 1,j ,S 2,j )T 满足S 1,j =j ∏k =1(1+λαh k ε)−1,S 2,j =j ∏k =1(1+λαh kε)−1,1≤j ≤N,S 1,0=S 2,0=1.则对于j =1,2,...,N −1,存在一个常数C ,使得L Ni S j ≥λα22(ε+λαh j +1)S 1,j ,i =1,2.(4.12)证该引理的证明类似于文[19]引理4.4的证明.当i =1时,定义S 1,j −S 1,j −1h j =−λαεS 1,j ,1≤j ≤N.(4.13)结合式(3.1)和(4.13)可得到L N 1S j =−1 (S j +1−S j h j +1−S j −S j −1h j )−a 11,j S 1,j +1−S j h j +1+b 11,j S 1,j +b 12,j S 2,j =λα(S 1,j +1−S 1,j )+λαεa 11,j S 1,j +1+b 11,j S 1,j +b 12,j S 2,j =−λα λαh j +1εS 1,j +1+λαεa 11,j S 1,j +1+b 11,j S 1,j +b 12,j S 2,j=λαε(a 11,j −λαh j +1 )S 1,j +1+b 11,j S 1,j +b 12,j S 2,j ≥λαε(a 11,j −λαh j +1)S 1,j +1.(4.14)由于h j +1/ j ≤2,则有L N 1S j ≥λαε(α−2λα)S 1,j +1≥λα22εS 1,j +1=λα22(ε+λαh j +1)S 1,j .当i =2时，同理可证得L N2S j ≥λαε(α−2λα)S 1,j +1≥λα22εS 2,j +1=λα22(ε+λαh j +1)S 2,j .下面的引理给出了网格函数S j 的上下界.190应用数学2021引理4.4[19]网格函数满足exp (−λαx j ε)<S i,j <C exp (−λαx jε),i =1,2,j =1,...,N −1.(4.15)定理4.1令u (x )是方程(1.1)的解,U j (x )是离散格式(3.1)的解,则max 1≤i ≤2max 0≤j ≤N|u i (x j )−U i,j |≤CN −1.证令e j =(e 1,j ,e 2,j )T =|u (x j )−U j |为数值解U j 在x =x j (j =0,1,···,N )点的绝对误差,则由截断误差τi,j 与e i,j 的关系可得L N i e j =τi,j ,i =1,2,j =1,2,...,N −1.(4.16)进一步,由引理4.2-4.4,有L N i e j=|τi,j |≤CN −1+C Nε1+λexp (−λαx j ε)≤CN −1+C Nε1+λS i,j≤CN −1+C Nε1+λ2(ε+λαh j +1)λα2L Ni S j ≤CN −1+C N (λελ)(1+αλh j +1ε)L N i S j .(4.17)由于e 0=e N =0,再由引理3.1和比较原理(见文[10]的引理5.3)可得∥e j ∥≤CN −1+C N (λελ)(1+αλεN)∥S j ∥,1≤j ≤N −1.由引理4.3中S j 的定义,有∥e j ∥<CN −1+C N (λελ).设摄动参数取值为ε=10−a ,其中a 是一个正数,选择λ=1/m 0,这里m 0=max {4,a },则1λελ≤10m 0.故可以得到∥e j ∥≤CN −1,即可完成该定理的证明.5.数值实验与结果分析考虑到(3.3)中的网格控制函数包含方程(1.1)的精确解,在实际计算过程中,我们常常构造近似的网格控制函数来代替(3.3).在这一小节,为了验证本文关于自适应网格算法的理论结果,我们将采用文[16,17]中的网格迭代算法来生成相应的自适应网格(在这里,网格终止条件C 0=1.3),并考虑如下奇异摄动对流扩散方程组−εu ′′1(x )−u ′1(x )+3u 1(x )−u 2(x )=2,−εu ′′2(x )−u ′2(x )−u 1(x )+3u 2(x )=3,x ∈(0,1),u 1(0)=u 2(0)=0,u 1(1)=u 2(1)=0.(5.1)由于该问题的精确解没有给出,我们采用如下公式来计算数值解的绝对误差E Nε=max 1≤j ≤2max 0≤i ≤NU Nj,i −U 2N j,i ,E N =max εE N ε,(5.2)其中U N j,i 和U 2N j,i 表示离散格式(3.1)分别在网格¯ΩN 和¯Ω2N 下计算得到的数值解.在这里,令¯ΩN 表示利用自适应网格算法生成的网格,¯Ω2N 表示对网格¯ΩN 中的任意一个区间进行二等分得到的加密网格.于是,相应的收敛阶的计算公式可定义为r Nε=log 2(E N εE 2N ε),r N =log 2(E N E 2N).(5.3)当ε=10−2k ,k =0,1,···,5,N =2j ,j =6,7,···,12时,表1中列出了自适应网格算法计算得到的数值结果,其中每一个ε所对应的第三行表示网格生成算法的迭代次数.显然,对于每一个ε,随着N 的逐渐增大,本文自适应网格算法的收敛阶逐步达到一阶.对于足够小的ε,网格第1期包小兵等：一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析191生成算法的迭代次数也不大,且不随N的增大而增加.当ε=10−5,N=2j,j=6,7,···,12时,表2分别列出了迎风有限差分格式(3.1)在均匀网格、Shishkin网格和自适应网格上的误差和收敛阶,其中Shishkin网格的构造见文[1].从表2的数值结果可以看出,本文的自适应网格方法的收敛阶明显比均匀网格和Shishkin网格的收敛阶要高一些,进一步验证了理论结果.另外,为了进一步的让读者了解自适应网格生成算法的迭代过程,当ε=10−7,N=64时,从下往上看,图1画出了每迭代一次,网格的移动过程.同时,图2给出了问题(5.1)的数值解的变化曲线图.显然,由图1-2可以看出,问题(5.1)的解在x=0点存在边界层.表1本文自适应网格方法计算得到的数值结果εN=64N=128N=256N=512N=1024N=2048N=409610−0E Nε 1.01e-03 5.09e-04 2.56e-04 1.28e-04 6.40e-05 3.20e-05 1.60e-05 r Nε 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00K2222222 10−2E Nε 3.15e-02 1.81e-028.41e-03 4.71e-03 2.52e-03 1.31e-03 6.67e-04 r Nε 1.150.760.830.900.950.97K3322222 10−4E Nε 4.08e-02 2.47e-02 1.36e-027.63e-03 4.40e-03 2.31e-03 1.23e-03 r Nε0.720.870.830.800.920.91K5866454 10−6E Nε 3.79e-02 2.27e-02 1.35e-027.66e-03 4.23e-03 2.45e-03 1.28e-03 r Nε0.740.750.820.860.790.93K111198596 10−8E Nε 4.14e-02 2.16e-02 1.30e-027.57e-03 4.41e-03 2.32e-03 1.28e-03 r Nε0.940.730.780.780.920.85K814121111109 10−10E Nε 3.73e-02 2.35e-02 1.40e-027.56e-03 4.43e-03 2.37e-03 1.29e-03 r Nε0.670.740.890.770.900.88K816151461312E N 4.14e-02 2.47e-02 1.40e-027.66e-03 4.43e-03 2.45e-03 1.29e-03r N0.750.820.870.790.850.93表2不同网格下的数值结果比较(ε=10−5)N均匀网格Shishkin网格自适应网格64E Nε 4.07e-037.97e-03 4.27e-02r Nε0.490.730.94128E Nε 2.90e-03 4.80e-03 2.23e-02r Nε-0.350.630.74256E Nε 3.71e-03 3.10e-03 1.34e-02r Nε-0.770.690.73512E Nε 6.33e-03 1.93e-038.09e-03r Nε-0.910.64 1.071024E Nε 1.19e-02 1.24e-03 3.86e-03r Nε-0.910.450.692048E Nε 2.24e-029.10e-04 2.38e-03r Nε-0.860.130.894096E Nε 4.05e-028.30e-04 1.29e-03r Nε---192应用数学2021图1网格迭代过程(ε=10−7,N=64)图2数值解的曲线图(ε=10−7,N=64)6.结论本文主要从先验误差估计的角度,分析了一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法的收敛性.首先,利用迎风有限差分格式,在任意的非均匀网格上对方程组进行了离散,并给出了相应的局部截断误差.然后,使用精确解的稳定性估计、网格等分布原理和极大值原理等技术,证明了本文提出的自适应网格算法是一阶一致收敛的.值得一提的是本文的分析方法可以进一步推广到其他奇异摄动微分方程组的自适应网格算法的收敛性分析.参考文献：[1]CEN Z.Parameter-uniformfinite difference scheme for a system of coupled singularly perturbedconvection-diffusion equations[J]put.Math.,2005,82(2):177-192.[2]CHANG K W,CHANG,HOWES F A.Nonlinear Singularly Perturbation Phenomena:Theory andApplication[M].New York:Springer,1984.[3]ROOS H G,STYNES M,TOCISKA L.Numerical Methods for Singularly Perturbed DifferentialEquations[M].New York:Springer,1996.[4]ROOS H G,REIBIGER C.Numerical analysis of a system of singularly perturbed convection-diffusionequations related to pptimal control[J].Numer.Math.Theory.Me.Appl.,2011,4(4):562-575. 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在控制理论和系统分析中，稳定系统是一个非常重要的概念。

稳定系统是指在受到外部干扰或内部不确定因素的影响时，能够保持其原有状态并逐渐恢复到稳定状态的系统。

而稳定系统的收敛域则是指系统收敛的区域，即系统从不稳定状态向稳定状态收敛的范围。

收敛域的性质直接关系到稳定系统的稳定性和性能。

如果收敛域足够大，那么系统对于各种初始条件和干扰的容忍度就更高，系统的鲁棒性更好。

如果收敛域太小，那么系统对于某些初始条件和干扰就不容易收敛，系统的鲁棒性就较差。

要确定稳定系统的收敛域，需要分析系统的动态特性和稳定性。

常用的方法包括：
1. 代数法：通过分析系统矩阵的特征值来判断系统的稳定性。

如果所有特征值的实部都小于零，那么系统是稳定的。

2. 几何法：通过绘制系统的相位图或奈奎斯特图来判断系统的稳定性。

如果所有点都在虚轴左侧或包围虚轴的区域内，那么系统是稳定的。

3. 李雅普诺夫法：通过分析系统的能量函数来判断系统的稳定性。

如果能量函数是负定的，那么系统是稳定的。

在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的方法来确定稳定系统的收敛域。

同时，还需要考虑收敛域与系统性能的关系。

如果收敛域太小，可以尝试通过调整系统参数或增加反馈控制来扩大收敛域。

如果收敛域太大，可以尝试通过优化系统结构或增加阻尼来缩小收敛域，以提高系统的响应速度和精度。

总之，稳定系统的收敛域是系统稳定性和性能的重要指标。

在分析和设计稳定系统时，需要充分考虑收敛域的性质和影响，以确保系统具有良好的稳定性和性能。

力学系统的动态稳定分析方法引言：力学系统的动态稳定性是研究力学系统在运动过程中的稳定性问题，是力学学科中的重要分支。

动态稳定性分析方法的研究对于工程设计、物理学研究以及生物学等领域都具有重要的意义。

本文将介绍几种常用的力学系统的动态稳定分析方法。

一、线性稳定性分析方法线性稳定性分析方法是一种常见的力学系统动态稳定性分析方法，它假设系统的运动是线性的。

通过线性化系统的运动方程，可以得到系统的特征值。

特征值的实部和虚部可以判断系统的稳定性。

如果特征值的实部都小于零，系统是稳定的；如果存在实部大于零的特征值，系统是不稳定的。

二、李雅普诺夫稳定性分析方法李雅普诺夫稳定性分析方法是一种基于能量函数的力学系统动态稳定性分析方法。

它通过构造一个李雅普诺夫函数，利用函数的正定性和函数导数的负定性来判断系统的稳定性。

如果能够找到一个李雅普诺夫函数，使得函数的导数小于等于零，那么系统是稳定的。

李雅普诺夫稳定性分析方法适用于非线性系统的稳定性分析。

三、波恩-奥斯特罗格拉德斯基稳定性分析方法波恩-奥斯特罗格拉德斯基稳定性分析方法是一种基于相空间的力学系统动态稳定性分析方法。

它通过研究系统在相空间中的轨迹来判断系统的稳定性。

如果系统的轨迹都收敛到一个有限的区域，那么系统是稳定的。

如果存在轨迹发散或者周期轨迹，系统是不稳定的。

波恩-奥斯特罗格拉德斯基稳定性分析方法适用于非线性系统的稳定性分析。

四、数值稳定性分析方法数值稳定性分析方法是一种基于数值模拟的力学系统动态稳定性分析方法。

它通过数值求解系统的运动方程，观察系统的运动过程来判断系统的稳定性。

数值稳定性分析方法可以利用计算机模拟系统的运动过程，得到系统的稳定性信息。

数值稳定性分析方法在实际工程设计和科学研究中得到了广泛应用。

结论：力学系统的动态稳定分析方法是研究力学系统稳定性的重要工具。

线性稳定性分析方法、李雅普诺夫稳定性分析方法、波恩-奥斯特罗格拉德斯基稳定性分析方法和数值稳定性分析方法是常用的动态稳定性分析方法。

奇异摄动小参数上界的求法王翠玲;程庆进【摘要】研究了在线性连续奇异摄动系统中奇异摄动小参数的选取方法.提出了一种求该系统稳定性界的新方法,由实例可知这种方法比起原有的方法简便可行.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(058)005【总页数】5页(P737-741)【关键词】稳定性;小参数;奇异摄动系统【作者】王翠玲;程庆进【作者单位】集美大学理学院,福建厦门 361021;厦门大学数学科学学院,福建厦门 361005【正文语种】中文【中图分类】O177.2;O2261 预备知识研究电驱动刚性机械臂的控制问题时，经常要用到奇异摄动方法.在奇异摄动理论中，奇异摄动小参数的选取方法越来越引起广大专家与学者的重视，成为目前研究的热点.众所周知，在一定条件下，奇异摄动系统可以用相应的降阶子系统和边界层子系统来逼近，且奇异摄动小参数能够在某一特定范围内变动，则原奇异摄动系统也是稳定的.由此可知，奇异摄动小参数的选取关系到整个系统的稳定性问题.奇异摄动小参数的求法主要有时域法和频域法，这两种方法基于的思想是共同的，即把系统(1)分为慢子系统(2)和快子系统(3)在A22和A0可逆的假设下，若两个子系统都为稳定的，则原奇异摄动系统也是稳定的.因此奇异摄动小参数的选取是有前提的，Liu等[1]提出了一种新的方法，可以忽略假设条件而求出小参数的上界，该方法比以前的几种方法简单易懂，但缺点是计算量过大.因此，在文献[1]的基础上，本文中进一步提出了一种新的方法，这种方法不需要假设A22和A0可逆，进而用几个例子来说明这种方法可使计算量明显减小.考虑奇异摄动线性系统，式中0<μ≪1为一实参数，x1∈Rn,x2∈Rm,A11∈Rn×n,A12∈Rn×m,A21∈Rm×n,A22∈Rm×m,奇异摄动系统(1)(下文简称系统(1))在A22非奇异的前提下，可分解为慢子系统(2)和快子系统(3),具体分解过程如下：假定所有的变量包含快和慢两部分，分别以下标f,s来表示，则x1(t) =x1s(t) +x1f(t),x2(t) =x2s(t)+x2f (t).为得到慢子系统，令μ=0,且把各个变量用其慢部分来代替，则得到：0=A21x1s(t)+A22x2s(t).若A22是可逆的，则由上式可得:把此结果代入上式，可得此式可以看作奇异摄动系统的慢子系统表达式.这个慢子系统的得到是建立在A22可逆的基础上的.下面求奇异摄动系统的快子系统.令假定变量的慢部分在时间尺度T变化下的变化非常微小，可以忽略，则由式(1)第1个式子可得A11x1(t)+A12x2(t),μ(A11x1(t)-A12x2(t))≈0.假定再由上式知x1(t)的快部分x1f(t)近似等于0.由式(1)第二个式子知A21x1s(t)+A22(x2s(t)+x2f(t)).再由前面的0=A21x1s(t)+A22x2s(t)以及知这是系统(1)的快子系统表达式.定理1[2] 若快慢子系统(2)和(3)都稳定，则存在μ*>0使得对任意的μ∈(0，μ*)整个系统(1)是稳定的.定理2[3] (i) 若且则存在μs>0使得系统(1)对所有的μ∈(0,μs)是指数稳定的，且系统对某些μ≥μs是不稳定的;(ii) 若降阶子系统和边界层子系统都是完全可控的，则存在μc>0使得系统(1)对所有μ∈ (0，μc)是完全可控的，并且对μ≥μc系统(1)是不可控的;(iii) 若降阶子系统和边界层子系统都是完全可观的，则存在μ0>0使得系统(1)对所有μ∈(0，μ0)都是完全可观的，并且对μ≥μc系统(1)是不可观的.若再进一步假定A0和A22是稳定的，则由定理1和定理2可知稳定性界μ*的选取是非常关键的.μ*的选取主要有时域和频域两类方法[4-8]，一般都是基于以上思想研究的，主要结论如下：定理3 考虑系统(1)，若且σ(A22)⊂分别是以下Lyapunov方程的唯一正定根，其中Qs,Qf是正定矩阵.令如果且μ∈(0,μ*)，其中那么系统(1)是指数稳定的.若则系统(1)对所有μ>0是指数稳定的.可以看出以上思想都是基于A22可逆的前提下，因此这两类方法的共同局限之处在于A22必须是可逆的.文献[1]的方法克服了A22可逆的限制条件，不需要把原系统分解为两个子系统，直接分析了其稳定性问题.在文献[1]中，系统(1)写作(4)其中则研究系统(1)的稳定性等价于研究系统(4)的稳定性.若D(μ)=A(μ)⊗I+I⊗A(μ),则D(μ)=Ed+Fd,其中(5)若∀λ∈(0,+∞),det(λEd+Fd)≠0,定义λmd=+∞，否则λmd=min{λ|det(λEd+Fd)=0,λ∈(0,+∞)}.文献[1]的主要结论是：定理4 令矩阵对(Ed-Fd)的最小正实数特征根为λmd，则有：(i) 若λmd=+∞，即对∀λ∈(0,+∞)，det(λEd+Fd)≠0,这时∀μ0∈(0,+∞)，系统(1)不稳定.(ii) 若0<λmd<+∞，此时对∀μ0∈(0，λmd)，若A(μ0)稳定，则μ*=λmd;若A(μ0)不稳定，则对∀μ∈(0，λmd)，系统(1)不稳定.本文中介绍的方法不需要把奇异摄动系统分解为快、慢两个子系统，与文献[1]相比计算量也有明显减小.2 稳定性界本节中要用到矩阵bialnet乘积，现对bialnet乘积介绍如下：设A,B∈Rn×n.令Vn= {(p, q)|p=2,3,…,n;q=1,2,…,p-1}，显然Vn有记为Vn的第i项.A,B的bialnet乘积记为其中f((p,q);(r,s))=记A与其自身的bialnet加和为关于bialnet加和有如下性质:引理1 若n阶矩阵A的特征根为λ1,λ2，…,λn，则G=2A⊙In的特征根为个值：λi+λj(i=2,3,…,n;j=1,2,…,i-1).注1 若λi(i=1,2,…,n)为矩阵A的特征值，则有其中G=2A⊙In.对照式(4)中其中A1、A2分别为式(5)中所示的A1、A2.再若G(μ)=A(μ)⊙I+I⊙A(μ),则有其中Eg =A1⊙I+I⊙A1,Fg=A2⊙I+I⊙A2.注2 由注1得到：det(μA1+A2)=0⟹A(μ)至少有一个特征值等于0.det(μEg+Fg)=0⟹A(μ)至少有一个特征根具有零或正实部.这表明在这两种情形下系统对∀μ∈(0,+∞)总是不稳定的.定义1 若存在λ∈(0, +∞)，使得det(λEg+Fg)=0，则定义λ1=min{λ|det(λEg+Fg)=0，λ∈(0，+∞)};若不存在λ∈(0，+∞)使得det(λEg+Fg)=0，则定义λ1=+∞;若存在λ∈(0,+∞)使得det(λA1+A2)=0，则定义λ2=min{λ|det(λA1+A2)=0,λ∈(0,+∞)};若不存在λ∈(0,+∞)使得det(λA1+A2)=0，则定义λ2=+∞.令λmg=min{λ1,λ2}.则有以下定理：定理5 (i) 当λmg=+∞时，∀μ0∈(0, +∞).若A(μ0)为稳定的，则μ的上界μ*=+∞，即系统(1)对μ∈(0,+∞)是渐近稳定的;若A(μ0)为不稳定的，整个系统(1)对μ∈(0，+∞)是不稳定的.(ii) 当0<λmg<+∞时，∀μ0∈(0,λmg).若A(μ0)为稳定的，则μ的上界μ*=λmg，即系统(1)对μ∈(0，λmg)是渐近稳定的;若A(μ0)为不稳定的，整个系统(1)对μ∈(0，λmg)是不稳定的.证明 (i) 由于det(μEg+Fg),所以λmg=+∞时，必有对∀μ∈(0,+∞),detA≠0,且detG≠0.再由注1可得λi(μ)≠0且λi(μ)+λj(μ)≠0,∀μ∈(0,+∞),i,j=1,2,…，n，其中λi(μ)(i= 1,2,…,n)是系统矩阵A(μ)的特征值.由此可知，对∀μ∈(0,+∞),A(μ)在虚轴上无特征根.若存在μ0∈(0,+∞)使得A(μ0)是稳定的，则系统(1)对∀μ∈(0,+∞)是渐近稳定的;若不然，即存在μ1使得A(μ1)不是稳定的，则A(μ1)必有存在于复平面右半平面或存在于虚轴上的特征值.再由前面的讨论可知，A(μ)有存在于复平面左半平面的特征值.又由于A(μ)的特征值λi(μ)是μ的连续函数，所以必定存在μ2在μ0与μ1之间，使得A(μ2)存在位于虚轴上的特征根.这与前面的讨论相矛盾.因此系统(1)对所有的μ∈(0,+∞)是渐近稳定的.同理，若∀μ0∈(0,+∞),A(μ0)为不稳定的，则对∀μ∈(0,+∞)，系统(1)也不稳定. (ii) 同理可证.3 应用机械手动力学方程如下：T=M(θ)ω+W(θ,θ)+G(θ),(6)其中,M为n×n正定对称惯性矩阵，W为n×1包含向心力矩和哥氏力矩的向量，G为n×1的重力力矩向量，θ∈Rn×1为关节角位移向量，ω为关节角加速度.状态方程可写为:T=KTI,(7)L=-RT-Kbω+V(θ,ω),其中,Kb为反电势常数矩阵，KT为转矩常数矩阵，L为电枢电感，V为控制输入电势，I为电枢电流.综合式(6)和(7)，系统的状态方程可写为(8)在单连杆机械臂(图1)动力学方程中，(9)其中,m为连杆质量，l为其长度，θ为连杆与地面夹角.此时系统的状态方程可记为(10)L=-RI-Kbω+V(θ,ω).再令θ1为连杆与竖直方向的夹角，则有sin θ1.假定V=0，且则式(10)可记为(11)L=-RI-Kbω+V(θ,ω)，即其中电驱电感L可看作奇异摄动小参数，研究L的范围，使得L在该范围内变动时系统为稳定的.依据定理5便可得到适当的范围.图1 单连杆机械臂示意图Fig.1Schematic diagram of single link manipulator 下面用本章提出的方法解文献[1]中的例题.考虑系统矩阵为以下2个矩阵的奇异摄动系统.例1解：设则eig(A2，A1)=0，-∞，因此λ1=+∞.且eig(Fg，Eg)=4，因此λ2=4.这样ε*=min{λ1，λ2}=4.取ε0=1∈ (0,ε*)，则因此eig(A(ε0))=-1，-2，当ε0=1时系统(1)为渐近稳定的.由于系统(1)对所有ε∈(0,4)都是渐近稳定的，所以ε*=4.例2解:A(ε)=,A1=,A2=,则eig(A2, -A1)=0,0，+∞，-∞，因此λ1=+∞.eig(Eg,Fg)=4.948 0,-2.055 5,-1.253 8,-0.000 0,0.980 3,+∞,因此λ2=0.980 3.这样ε*=min{λ1,λ2}=0.980 3.取ε0=0.5∈(0,0.980 3),则A(ε0)=, 因此eig(A(ε0))=-1.079 6+2.626 9i,-1.079 6, -2.626 9i,-3.586 6,-5.254 2,-2,当ε0=0.5时系统(1)为渐近稳定的.系统(1)对所有ε∈(0,0.980 3)都是渐近稳定的.【相关文献】[1] LIU W Q,SREERAM V.A new characterization on stability bounds for singularity perturbed systems[J].Elsevier Linear Algebra and Its Applications,1997,263:377-388. [2] KLIMUSHEV A I,KRASOVSKII N K.Uncertain asy-mptotic stability of systems of defferertial equations with a small parameter in the derivative terms[J].J Appl Math Mech,1962,25:1011-1025.[3] KOKOTOVIC P V,KHALIL H K,REILLY J O.Sigular perturbations methods incontrol:analysis and design[J].New York:Academic Press,1986:78-81.[4] SHAHRUZ S M,PACKARD A K.Estimates of the singular perturbation parameter for stability,contro-llablity and observability of linear systems[C]∥Procee-dings of the 31st Conference on Decision and Control.Tuson:IEEE,1992:3062-3063.[5] SANDELL N R，JR. Robust stability of systems with appli-cation to singular perturbations[J].Automatica,1979,15:467-470.[6] CHEN B,LIN C.On the stbility bounds of singularly perturbed systems[J].IEEE Trans Automat Control，1993,35:302-304.[7] SEN S,DATTA K B.Stability bounds of singularity perturbed systems[J].IEEE Trans Automat Control,1990,35:1265-1270.[8] CHEN S J,LIN J L.Maximal stability bounds of singularly perturbed systems[J].Journal of the Franklin Institute,1999,336:1209-1218.。

非线性系统的闭环控制策略与稳定性分析非线性系统的闭环控制策略与稳定性分析是控制理论中的一个重要领域，它涉及到对复杂系统行为的理解和控制。

非线性系统因其内在的复杂性和不确定性，使得其控制策略和稳定性分析比线性系统更加复杂和富有挑战性。

本文将探讨非线性系统的闭环控制策略，以及如何进行稳定性分析。

一、非线性系统的特点与挑战非线性系统是指系统的行为不能用线性方程来描述的系统。

这类系统在自然界和工程领域中非常普遍，例如生物系统、经济系统、机械系统等。

非线性系统的特点包括但不限于：- 系统的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系。

- 系统的行为可能随时间、状态或外部条件的变化而变化。

- 系统可能表现出混沌、多稳态、周期性等复杂动态行为。

由于这些特点，非线性系统的控制面临着诸多挑战，如：- 控制策略的设计需要考虑系统的非线性特性。

- 系统的稳定性分析更加复杂，传统的线性化方法可能不适用。

- 需要更高级的数学工具和计算方法来分析和设计控制策略。

二、非线性系统的闭环控制策略闭环控制是指系统根据反馈信息来调整其行为的过程。

对于非线性系统，闭环控制策略的设计需要特别考虑系统的非线性特性。

以下是一些常见的非线性闭环控制策略：1. 反馈线性化控制反馈线性化是一种将非线性系统通过适当的非线性状态反馈转化为线性系统的方法。

一旦系统被线性化，就可以应用线性控制理论来设计控制器。

这种方法的关键在于找到合适的变换和反馈律，使得转换后的系统具有线性特性。

2. 滑模控制滑模控制是一种鲁棒性很强的控制策略，它通过设计一个滑动面，使得系统状态能够在该面上滑动，从而达到期望的性能。

滑模控制对参数变化和外部干扰具有很强的不敏感性，适用于非线性系统的控制。

3. 自适应控制自适应控制是一种能够根据系统参数或外部环境的变化自动调整控制策略的方法。

对于非线性系统，自适应控制可以在线调整控制器参数，以适应系统的变化，提高系统的鲁棒性和性能。

4. 模糊控制模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制策略，它通过模糊集合和模糊推理来处理不确定性和模糊性。

一类不确定区间系统最大摄动界的有限判别方法
兰轶东;王龙;张霖
【期刊名称】《北京大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2004(40)1
【摘要】线性区间系统Hurwitz稳定时系数的最大摄动界 ,利用半保护映射可以经过有限判别求得。

含有两个区间参数的多线性区间系统Hurwitz稳定时系数的最大摄动界 ,同时利用半保护映射和多项式完全判别系统 ,也可以通过有限判别求得。

给出的两个算例说明了方法的有效性。

对于含有任意多个区间参数的多线性区间系统 ,也给出了其系数的最大摄动界的有限判别方法。

【总页数】8页(P29-36)
【关键词】半保护映射;多项式完全判别系统;线性区间系统;最大摄动界
【作者】兰轶东;王龙;张霖
【作者单位】北京大学力学与工程科学系;清华大学CIMS工程研究中心
【正文语种】中文
【中图分类】O236;TP14
【相关文献】
1.一类线性不确定时滞系统奇异摄动界 [J], 鲁照权;韩江洪;陆阳
2.有界不确定参数结构静力位移范围的区间参数摄动法 [J], 邱志平;顾元宪
3.不确定声场分析的区间矩阵分解摄动有限元法 [J], 尹盛文;于德介;夏百战
4.一类混合不确定性系统的摄动界估计问题(英文) [J], 董海荣;耿志勇;王金枝;黄琳
5.有界不确定参数结构位移范围的区间摄动法 [J], 邱志平;顾元宪
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matlab吸引域估计Matlab是一种非常流行的科学计算软件，它可以用于各种领域的数据分析和建模。

其中，吸引域估计是Matlab中一个非常重要的功能，它可以帮助我们分析系统的稳定性和可控性，从而更好地设计控制系统。

吸引域估计是指通过数学模型和计算方法，估计系统的吸引域大小和形状。

吸引域是指系统在长时间运行后，最终会收敛到的稳定状态。

吸引域估计可以帮助我们判断系统是否稳定，以及在什么条件下系统会失稳。

这对于控制系统的设计和优化非常重要。

在Matlab中，吸引域估计可以通过多种方法实现。

其中，最常用的方法是Lyapunov函数法和线性矩阵不等式法。

Lyapunov函数法是一种基于Lyapunov函数的稳定性分析方法，它通过构造一个Lyapunov函数来判断系统是否稳定。

线性矩阵不等式法则是一种基于线性矩阵不等式的稳定性分析方法，它通过求解一组线性矩阵不等式来判断系统是否稳定。

除了Lyapunov函数法和线性矩阵不等式法外，Matlab中还有其他吸引域估计方法，如基于随机矩阵的方法、基于半正定规划的方法等。

这些方法各有优缺点，可以根据具体情况选择使用。

在使用Matlab进行吸引域估计时，需要注意以下几点。

首先，需要选择合适的模型和算法，以确保估计结果的准确性和可靠性。

其次，需要对数据进行预处理和清洗，以去除噪声和异常值的影响。

最后，需要对估计结果进行分析和解释，以得出有意义的结论。

总之，Matlab的吸引域估计功能是控制系统设计和优化中非常重要的工具，它可以帮助我们分析系统的稳定性和可控性，从而更好地设计控制系统。

在使用时，需要选择合适的模型和算法，并对数据进行预处理和清洗，以确保估计结果的准确性和可靠性。

奇异积分方程解的一种稳定性
异常积分方程的稳定性是指能够得到数值解的稳定性，其基本思想是控制精度，使得积分步长变化时方程的数值解的变化控制在一定的范围内。

异常积分方程的稳定性可以从多种方面考虑：
1. 频率响应：根据有限差分技术，对定义在内部结点上的异常积分方程变量进行频率响应，从而衡量它们的稳定性；
2. 在整个时间段三角形折线法：根据积分步长和时间点的不同，考察最后的线性系统的稳定性；
3. 考察近似解：根据步长的变化，考察近似解的稳定性；
4. 连续时间积分：考察数值求解的步长的改变，以及改变所引起的改变；
5. 多重积分：考察积分多重包含关系，不同步长改变，异常积分方程的稳定性。

由上可知，异常积分方程的稳定性是很复杂的，必须由各种不同的系统考虑进去，综合运用数学理论和计算技术，才能够获得较好的数值解稳定性。

奇异摄动系统的正规矩阵参数优化控制方法张艳;司海飞;陈丽换;杨忠【摘要】考虑了奇异摄动系统的稳定性问题.首先将高阶奇异摄动系统解耦、降阶,获得低阶的快、慢子系统.利用正规矩阵参数优化方法在频域上分别设计快、慢子系统控制器,然后在时域上将快、慢控制器组合起来,形成原系统的组合控制器,并证明了组合控制器可使得原系统稳定.最后,数值仿真验证了此方法的有效性和优越性.【期刊名称】《金陵科技学院学报》【年(卷),期】2016(032)001【总页数】4页(P25-28)【关键词】奇异摄动系统;正规矩阵参数优化控制;稳定性【作者】张艳;司海飞;陈丽换;杨忠【作者单位】金陵科技学院智能科学与控制工程学院,江苏南京 211169;金陵科技学院智能科学与控制工程学院,江苏南京 211169;金陵科技学院智能科学与控制工程学院,江苏南京 211169;金陵科技学院智能科学与控制工程学院,江苏南京211169【正文语种】中文【中图分类】TP13一般较复杂的工程实际问题中总含有多个不同量级的时间尺度动态特征 [1-3]，即系统的动态变化速度存在巨大的差异。

这种系统含有多个时间尺度，很难在某个具体的时间尺度上进行统一的分析和控制研究。

针对此类多时间尺度系统，通常采用一种特殊方法,即奇异摄动方法进行建模、分析和控制。

在20世纪60年代，著名学者Kokotovic在时域上通过快慢分解的思想解决了连续奇异摄动系统的基本稳定问题[4]，即若慢、快子系统均是稳定的，则摄动参数存在一个稳定的上界，在其范围内奇异摄动系统是稳定的，为奇异摄动理论奠定了重要基础。

接着，在20世纪80年代，Luse在频域上探索了奇异摄动系统的分解、降阶和控制问题[5-6]。

另一方面，自从G. Zames提出H∞方法后，该方法就成为鲁棒控制研究的最大热点[7]。

然而该方法所设计的控制器阶次往往较高，数学工具复杂，计算量很大，并且不能保证控制器的稳定性[7]。