湖北襄州一中等四校2014-2015学年高二上学期期中联考理科数学试卷(解析版)

湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2015-2016学年高二数学上学期期中联考试题 文★祝考试顺利★本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

3．填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。

答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某校1000名学生中，O 型血有450人，A 型血有200人，B 型血有200人，AB 型血有150人，为了研究血型与血弱的关系，从中抽取容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O 型血，A 型血，B 型血，AB 型血的人要分别抽取的人数为（ ） A ．16、10、10、4 B.18、8、8、6 C ．18、10、10、2 D.15、8、8、92．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(M 关于xoy 平面的对称点的坐标是（ ） A ．(1,2,3)-- B ．(1,2,3)-- C ．(1,2,3)-- D ．(1,2,3)-3.直线04)4(=+++y b ax 与直线03)4(=--+y b ax 互相垂直，则ab 的最大值为（ ） A.0 B.2 C.4 D.84.与圆()()22324x y -++=关于直线1x =-对称的圆的方程为（ ）A.()2234x y -+=B.()()22324x y -++= C.()()22524x y -++=D.()()22524x y +++=5. 从甲乙两个城市分别随机抽取10台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ） A ．,x x m m <>乙甲乙甲 B ．,x x m m ><乙甲乙甲C ．,x x m m <<乙甲乙甲D ．,x x m m >>乙甲乙甲6.过两点()222,3m m +-A ，()23,2m m m ---B 的直线l 的倾斜角为135，则m 的值为（ ）A. －1或－2B.－1C.－2D.17. 甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是( ) A.43 B. 53C. 21D. 1038.给出下列三个命题,其中不．正确．．命题的个数是（ ） ①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是错误！未找到引用源。

2014-2015学年湖北省宜昌一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）我校现有职工240人，其中专任教师有184人，教辅人员32人，后勤人员24人，现用分层抽样从中抽取一容量为30的样本，则抽取教辅人员（）人．A． 3 B． 4 C．8 D．23考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：用分层抽样从中抽取一容量为30的样本，则抽取教辅人员为=4人，故选：B．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．2．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）A．两次出现的点数之和B．两次掷出的最大点数C．第一次减去第二次的点数差 D．抛掷的次数考点：随机事件．专题：概率与统计．分析：随机变量的定义为随机事件的结果能用一个变量来表达，随机变量的每一个取值代表一个实验结果．而D中抛掷的次数是个数值，不是随机变量．解答：解：因为随机变量为一个变量，而D中抛掷的次数是个数值，不是随机变量．故选：D．点评：本题考查随机变量的概念，是基本概念的考查．3．（5分）（2013秋•西陵区校级期末）如图是歌手大奖赛中，七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为0～9中的一个正整数），现将甲、乙所得的一个最高分和一个最低分均去掉后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，中位数分别为b1，b2，则有（）A．a1＞a2，b1＞b2B．a1＜a2，b1＜b2C．a1＜a2，b1＜b2D．a1，a2与b1，b2大小均不能确定考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：利用茎叶图的定义表示数据即可．结合中位数和平均数的定义和公式进行计算即可．解答：解：甲去掉一个最高分和一个最低分后的数据为：81，84，85，85，85，中位数b1=85，平均数a1=．乙去掉一个最高分和一个最低分后的数据为：84，84，84，86，87，中位数b2=84，平均数a2=．∴a1＜a2，b1＜b2．故选：B．点评：本题主要考查茎叶图的应用，以及中位数和平均数的计算，要求熟练掌握相应的计算公式，考查学生的计算能力．4．（5分）（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．5．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）iPhone 6是苹果公司（Apple）在2014年9月9日推出的一款手机，已于9月19日正式上市．据统计发现该产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（百万元） 4 2 3 5销售额y（百万元）44 25 37 54根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6百万元时销售额为（）A．61.5百万元B．62.5百万元C．63.5百万元D．65.0百万元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．解答：解：∵=3.5，=40，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，且回归方程=x+中的为9.4，∴40=9.4×3.5+a，∴=7.1，∴线性回归方程是y=9.4x+7.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+7.1=63.5百万元，故选：C点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．6．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）已知实数x、y满足则z=的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．[﹣1，+∞）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为两点间的斜率，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，则z的几何意义为区域内的点到定点D（0，1）的斜率，由图象知CD的斜率最小，此时C（1，0），对应的斜率z=，当过D的直线和y=x平行时，直线斜率z=1，但此时取不到，故﹣1≤z＜1，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据直线的斜率公式结合图象是解决本题的关键．7．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）有A、B、C、D、E共5人并排站一起，若A、B必须相邻，且B在A的右边，那么不同的站法有（）A．24种B．36种C．48种 D． 60种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：相邻问题采用捆绑法，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素全排列，由乘法计数原理可得答案．解答：解：根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素排列，即A44=24，则符合条件的排法有1×24=24种，故选：A．点评：本题考查排列的运用，注意分析相邻问题时，要用捆绑法．8．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）已知数列{x n}满足x n+3=x n，x n+2=|x n+1﹣x n|，（n∈N*），若x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），则数列{x n}的前2013项的和S2013为（）A．1342 B．1340 C．671 D． 670考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得数列是以3为周期的周期数列，且x1+x2+x3=1+1﹣a+a=2，由此能求出S2013．解答：解：因为数列{x n}满足x n+3=x n，x n+2=|x n+1﹣x n|（n∈N*），x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），所以x3=|a﹣1|=1﹣a，x4=x1=1，所以数列是以3为周期的周期数列，并且x1+x2+x3=1+1﹣a+a=2，所以S2013=x1+x2+x3+…+x n=671（x1+x2+x3）=1342．故选：A．点评：本题考查数列的前2013项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性的合理运用．9．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x ﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[2﹣2，2+2]B．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）C．[1﹣，1+]D．（﹣∞，1﹣}∪[1+，+∞）考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，整理得mn=m+n+1，由mn≤求得m+n的范围．解答：解：由直线与圆相切，可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，即=1，整理得mn=m+n+1，由mn≤可知，m+n+1≤，解得m+n∈（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞），故选：B．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式以及基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．（5分）（2005秋•沙坪坝区校级期末）以平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的概率P为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率；棱柱的结构特征．专题：计算题．分析：根据平行六面体的几何特征，我们可以求出以平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．解答：解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点任意三个均不共线故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有C83=56个三角形，从中任选两个，共有C562=1540种情况从8个顶点中4点共面共有12种情况（六个面，六个对角面），每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540﹣12×6=1468种故从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的概率P==故选C点评：本题考查的知识点是等可能事件的概率，古典概型概率计算公式，棱柱的结构特征，其中根据棱柱的结构特征，求出基本事件总个数和满足条件的基本事件个数是解答本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）不等式的解集是{x|x≥3或x＜0}．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用分式不等式的解法求解即可．解答：解：讨论，若x＜0，则不等式恒成立，此时x＜0．若x＞0，则由得x≥3，此时x≥3．综上不等式的解为x≥3或x＜0．故答案为：{x|x≥3或x＜0}．点评：本题主要考查分式不等式的解法，注意要讨论x的符号，注意不等式的性质的应用．12．（5分）（2014秋•赫山区校级期末）若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则常数a=﹣2．考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：（x2+）5的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）如图所示的程序框图可用来估计π的值（假设函数RAND （﹣1，1）是产生随机数的函数，它能随机产生区间（﹣1，1）内的任何一个实数）．如果输入1000，输出的结果为788，则运用此方法估计的π的近似值为 3.152．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据已知中CONRND（﹣1，1）是产生均匀随机数的函数，它能随机产生区间（﹣1，1）内的任何一个实数，及已知中的程序框图，我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（﹣1，1）上的两个数A，B，求A2+B2≤1的概率，分别计算出满足A∈（﹣1，1），B∈（﹣1，1）和A2+B2≤1对应的平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案解答：解：根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（﹣1，1）上的两个数A，B，求A2+B2≤1的概率∵A∈（﹣1，1），B∈（﹣1，1），对应的平面区域面积为：2×2=4，而A2+B2≤1对应的平面区域的面积为：π故m=，⇒π=3.152故答案为：3.152．点评：本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知中的程序流程图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，本题属于基本知识的考查．14．（5分）（2011秋•九原区校级期末）用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用264种（用数字作答）．考点：排列、组合的实际应用．专题：综合题；概率与统计．分析：由题意知图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，当B，D，E，F用四种、三种、两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果．解答：解：∵图中每条线段的两个端点涂不同颜色，∴可以根据所涂得颜色的种类来分类，B，D，E，F用四种颜色，则有A44×1×1=24种涂色方法；B，D，E，F用三种颜色，则有A43×2×2+A43×2×1×2=192种涂色方法；B，D，E，F用两种颜色，则有A42×2×2=48种涂色方法；根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法．故答案为：264．点评：本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，正确分类是关键，属于中档题．15．（5分）（2014秋•宜昌校级期中）已知S n={A|A=（a1，a2，a3…a i…，a n），a i=2014或2015，i=1，2，3…，n}（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（1）令U=（2015，2015，2015，2015，2015），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，则m=10；（2）令U=（a1，a2，a3…a n），若V∈S n，则所有d（U，V）之和为n•2n﹣1．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：（1）由于存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，可得m=．（2）P n={A|A=（a1，a2，a3，…，a n），a i=2014或2015，i=1，2，3，…，n}（n≥2），P n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n），v=（b1，b2，b3，…b n），由于b i=2014的v k共有2n﹣1个，b i=2015的v k共有2n﹣1个．即可得出．解答：解：（1）∵存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，则m==10．（2）∵P n={A|A=（a1，a2，a3，…，a n），a i=2014或2015，i=1，2，3，…，n}（n≥2），∴P n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n），v=（b1，b2，b3，…b n）．∵b i=2014的v k共有2n﹣1个，b i=2015的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣2014|+|a1﹣2015|+|a2﹣2014|+|a2﹣2015|+|a3﹣2014|+|a3﹣2015|+…+|a n ﹣2014|+|a n﹣2015|=n•2n﹣1∴d（U，V）=n•2n﹣1．点评：本题考查了新定义的理解及其应用、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2014秋•宜昌校级期中）已知（+x2）2n的展开式的二项式系数之和比（3x ﹣1）n的展开式的二项系数之和大992．求（2x+）2n的展开式中：（1）常数项；（2）系数最大的项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：综合题；二项式定理．分析：（1）由条件求得m=5，利用二项式系数的性质可得第6项的二项式系数最大，由通项公式可得该项．（2）设第r+1项的系数最大，由通项公式可得，求得r=3，可得第4项的系数最大，再利用二项式展开式的通项公式，求得该项．解答：解：（1）由题意可得22n=2n+992，即（2n﹣32）（2n+31）=0，∴2n=32，n=5．由于（2x+）2n的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，由通项公式可得该项为T6=•（﹣1）5•25=﹣8064．（2）设第r+1项的系数最大，∵T r+1=•210﹣r•x10﹣2r，∴，求得≤r≤，∴r=3，故第4项的系数最大，该项为T4=•27•x4=15360x4．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．17．（12分）（2014秋•宜昌校级期中）某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．考点：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）每个旅游团可任选其中一条旅游线路，基本事件总数n=42=16，甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同包含的基本事件个数m==4×3=12，由此能求出甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率．（2）设甲、乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y，依题意得，由此利用几何概型能求出两个旅游团在该著名景点相遇的概率．解答：解：（1）某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路，基本事件总数n=42=16，甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同包含的基本事件个数m==4×3=12，∴甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率：p=．（2）设甲、乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y，依题意得，即，作出不等式表示的区域，如图：记“两个旅游团在著名景点相遇”为事件B，P（B）==．∴两个旅游团在该著名景点相遇的概率为．点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．18．（12分）（2013秋•梁子湖区校级期中）某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民在2012年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如图表：分组频数频率[0，10）0.05[10，20）0.10[20，30）30[30，40）0.25[40，50）0.15[50，60]15合计n 1（1）求出n值；（2）求月均用电量的中位数与平均数估计值；（3）若月用电紧张指数y与月均用电量x（单位：度）满足如下关系式：，将频率视为概率，请估算用电紧张指数y＞0.7的概率．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）从直方图中得在[20，30]小组中的频率，利用样本容量等于频数除以频率得出n，最后求出a处的数；（2）根据频率分布直方图的知识计算月均用电量的中位数与平均数估计值；（3）由y＞70% 得x≥40，根据计算频率分布表中最后两个小组的频率之和即可估计用电紧张指数y＞0.7的概率．解答：解：（1）∵第3组的频率为0.030×10=0.30，∴样本容量n==100，（2）由前三组的频率和为0.05+0.1+0.3=0.45，则0.5﹣0.45=0.05，∴中位数是30+2=32，，∴月均用电量的中位数是32，平均数估计值是33，（3）由y＞70% 得，∴x＞40，∴用电紧张指数y＞0.7的概率为0.15+0.15=0.30．点评：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×=频率，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求频率，属于常规题型．属于基础题．19．（12分）（2014•太和县校级一模）如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．（Ⅰ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；（Ⅱ）当二面角B﹣PC﹣D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz如图所示，设G点坐标为（m，m，0），根据向量平行的充要条件，可得变量m的值，进而可得点G在线段AC上的位置．（II）分别求出平面PBC的一个法向量和平面PDC的一个法向量，进而根据二面角B﹣PC ﹣D的大小为，可得变量a值，进而根据∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，可得PC与底面ABCD所成角的正切值．解答：解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz如图所示，设正方形ABCD的边长为1，PA=a，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），E（，，0），F（，，），G（m，m，0）（0＜m＜）．要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而=（，，﹣a），由=λ可得解得λ=，m=，∴G点坐标为（，，0）∴=，故当AG=AC时，FG∥平面PBD．（Ⅱ）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则而=（1，1，﹣a），=（0，1，0），∴取z=1，得=（a，0，1），同理可得平面PDC的一个法向量=（0，a，1），设u，v所成的角为θ，则|cosθ|=|cos|=，即=，∴=，∴a=1，∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，∴tan∠PCA===．点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判断，其中建立空间坐标系，将直线与平面的关系，及二面角问题转化为向量问题是解答的关键．20．（13分）（2014秋•宜昌校级期中）已知圆O过点A（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求圆O的方程；（2）若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为N（1，），求四边形EGFH的面积的最大值；（3）已知直线l：y=x﹣2，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试探究直线CD是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）设出圆心O坐标，由O与M关于直线x+y+2=0对称，根据中点坐标公式及斜率的关系列出关系式，整理求出a与b的值，再由圆O过点A，确定出圆O方程即可；（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|ON|2，由N坐标求出d12+d22的值，表示出|EF|与|GH|，进而表示出S，利用基本不等式求出最大值即可；（3）直线CD过定点，定点坐标为（，﹣1），理由为：由题意可得：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设出P坐标，表示出以OP为直径的圆，与圆O方程结合确定出直线CD方程，即可得到直线CD恒过的定点坐标．解答：解：（1）设圆心O（a，b），根据题意得：，解得：，∴圆O方程为x2+y2=r2，把A（1，1）代入得：r2=2，即圆O方程为x2+y2=2；（2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2，则d12+d22=|ON|2=，∴|EF|=2=2，|GH|=2=2，当且仅当2﹣d12=2﹣d22，即d1=d2=时取等号，∴S=|EF|•|GH|=2≤2﹣d12+2﹣d22=4﹣=，则四边形EGFH的面积最大值为；（3）直线CD过定点，定点坐标为（，﹣1），理由为：由题意可得：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，t﹣2），其方程为x（x﹣t）+y（y﹣t+2）=0，即x2﹣tx+y2﹣（t﹣2）y=0①，又C、D在圆O：x2+y2=2上②，②﹣①得：直线CD的方程为tx+（t﹣2）y﹣2=0，即（x+）t﹣2y﹣2=0，由，得，则直线CD过定点（，﹣1）．点评：此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，基本不等式的运用，以及恒过定点的直线方程，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．21．（14分）（2010秋•昌平区期末）已知数列{a n}的前n项和为S n，点在直线y=x+4上．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），且b4=8，前11项和为154．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；（3）设是否存在m∈N*，使得f（m+9）=3f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：压轴题．分析：（1）根据点在直线上，把点的坐标代入直线的方程得到数列的前n项和的表示式，由前n项和做出数列的通项，再得到第二个数列是一个等差数列，写出通项．（2）构造新数列，把新数列的通项整理成可以应用裂项求和的形式，裂项求出和，证明和式的单调性，根据单调性做出和式的最值，根据数列的最值得到结论．（3）根据所给的分段函数式，看出函数在自变量取奇数和偶数时的结果不同，因此要分类来解，在两种不同的条件下验证式子是否成立，得到不存在正整数m，使得f（m+9）=3f （m）成立．解答：解：（1）由题意，得，即S n=n2+4n．故当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+4n﹣（n﹣1）2﹣4（n﹣1）=2n+3．注意到n=1时，a1=S1=5，而当n=1时，n+4=5，所以a=2n+3（n∈N*）．又b n+2﹣2b n+1+b n=0，即b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n（n∈N*），所以b n为等差数列，于是．而b4=8，故b8=20，，因此，b n=b4+3（n﹣4）=3n﹣4，即b n=b4+3（n﹣4）=3n﹣4（n∈N*）．（2）====．所以，T n=c1+c2+…+c n==．由于因此T n单调递增，故T．令，得，所以k max=12．（3）①当m为奇数时，m+9为偶数．此时f（m+9）=3（m+9）﹣4=3m+23，3f（m）=6m+9所以3m+23=6m+9，（舍去）②当m为偶数时，m+9为奇数．此时，f（m+9）=2（m+9）+3=2m+21，3f（m）=9m﹣12，所以2m+21=9m﹣12，（舍去）．综上，不存在正整数m，使得f（m+9）=3f（m）成立．点评：本题考查数列与函数的综合问题，本题解题的关键是构造新数列，利用数列的求和做出结果，再用函数的思想来解题，本题是一个综合题目，难度可以作为高考卷的压轴题．。

2014-2015学年湖北省襄阳市四校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a、b、c是两两不等的实数，点P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线PQ的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（5分）第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲、乙两人单场得分的最高分都是9分B．甲、乙两人单场得分的中位数相同C．甲运动员的得分更集中，发挥更稳定D．乙运动员的得分更集中，发挥更稳定．3．（5分）用“除k取余法”将十进制数259转化为五进制数是（）A．2012（5） B．2013（5） C．2014（5）D．2015（5）4．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A．圆M的圆心为（4，﹣3）B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为65．（5分）如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（）A．16 B．34+6C．6 D．17+66．（5分）已知变量x与y呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（）A．B．C．D．7．（5分）下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件8．（5分）如果直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α∥β且α⊥γB．α⊥γ且m⊥n C．m∥β且m⊥n D．α⊥γ且m∥β9．（5分）将一个棱长为4cm的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm的小正方体．从涂有红色面的小正方体中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于2cm2的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A．B．C．[2，5]D．（2，5）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为．12．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是．13．（5分）点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方，则a的取值范围是．14．（5分）某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则|x﹣y|=．15．（5分）某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a的估计值是．16．（5分）如图所示的算法中，a=e3，b=3π，c=eπ，其中π是圆周率，e=2.71828…是自然对数的底数，则输出的结果是．17．（5分）已知圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），过圆C上任意一点M作圆C2的一条切线MN，切点为N，1则|MN|的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点．（1）若直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，求直线l的方程；（2）若直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．19．（13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．（1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？（2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？20．（13分）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是．（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率；（2）求此长方体的体积．21．（13分）已知平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分别是DE、AB的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD时，左（侧）视图的面积为．（1）求证：MH∥平面BCE；（2）求证：平面ADE⊥平面BCE．22．（14分）已知圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），且圆M上的点到x轴的最大距离为2，过点P（0，﹣1）作直线l．（1）求圆M的标准方程；（2）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（3）当直线l与圆M相交于A、B两点，且满足向量，λ∈[2，+∞）时，求|AB|的取值范围．2014-2015学年湖北省襄阳市四校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a、b、c是两两不等的实数，点P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线PQ的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：∵点P（b，b+c），点Q（a，c+a），∴直线PQ的斜率为k==1设直线的倾斜角为α，则tanα=1∵α∈[0，π），∴α=故选：B．2．（5分）第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲、乙两人单场得分的最高分都是9分B．甲、乙两人单场得分的中位数相同C．甲运动员的得分更集中，发挥更稳定D．乙运动员的得分更集中，发挥更稳定．【解答】解：根据茎叶图所给的数据可以看出甲的中位数是27，乙的中位数是36，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，整体水平也比较高，∴技术水平较好的是乙，故选：D．3．（5分）用“除k取余法”将十进制数259转化为五进制数是（）A．2012（5） B．2013（5） C．2014（5）D．2015（5）【解答】解：∵259÷5=51 (4)51÷5=10…1，10÷5=2…0，2÷5=0…2，∴将十进制，259化为五进制数是2014，故选：C．4．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A．圆M的圆心为（4，﹣3）B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6【解答】解：圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则（x﹣4）2+（y+3）2=25．圆的圆心坐标（4，﹣3），半径为5．显然选项C不正确．故选：C．5．（5分）如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（）A．16 B．34+6C．6 D．17+6【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的体积为：=16．故选：A．6．（5分）已知变量x与y呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由观测数据得到的样本数据散点图，可得方程的系数均为正，只有B满足．故选：B．7．（5分）下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件【解答】解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，8．（5分）如果直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α∥β且α⊥γB．α⊥γ且m⊥n C．m∥β且m⊥n D．α⊥γ且m∥β【解答】解：∵直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，∴平面α与β平行或相交，α，γ一定垂直，m，n一定垂直，m∥β或m⊂β，∴α⊥γ且m⊥n．故选：B．9．（5分）将一个棱长为4cm的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm的小正方体．从涂有红色面的小正方体中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于2cm2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵正方体的棱长等于4cm，∴将正方体分割成棱长为1cm的小正方体，总共有43=64个其中位于大正方体的8个顶点处的小正方体，有3面涂有红色，共8个；位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，总共有2×12=24个；位于大正方体内部，没有任何一个面与外界接触的小正方体总共有2×2×2=8个，还有只有1个面有红色的个数为64﹣8﹣24﹣8=24个，∴涂有红色面的小正方体共8+24+24=56个其中有2面或3面是红色的小正方体（即红色面积不少于2cm2的）个数为8+24=32个，∴所求概率为=10．（5分）已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A．B．C．[2，5]D．（2，5）【解答】解：由于二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则即有，在平面直角坐标系中，作出不等式组表示的区域，而（m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1，2）到区域内的点的距离的平方，求得点（﹣1，2）到直线m+n+1=0的距离为=，点（﹣1，2）到点（﹣2，0）的距离为，故（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（2，5）．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为15．【解答】解：该校共有学生450+750+600=1800，∵每个学生被抽到的概率为0.02，∴抽取的样本容量n=1800×0.02=36人，则应从高二年级抽取的学生人数为=15人，故答案为：1512．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是（0，4，0）．【解答】解：设M（0，y，0）由题意得42+（3﹣y）2+4=4+（5﹣y）2+42解得得y=4故M（0，4，0）故答案为：（0，4，0）．13．（5分）点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方，则a的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方区域，则a﹣2+4＞0，解得：a＞﹣2．故答案为：（﹣2，+∞）．14．（5分）某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则|x﹣y|=3．【解答】解：∵某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6，这组数据的平均数为8，方差为2，∴，解得x=10，y=7或x=7，y=10，∴|x﹣y|=3．故答案为：3．15．（5分）某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a的估计值是135．【解答】解：根据频率分布直方图，得；分数在140～150的人数是1000×0.010×10=100，分数在130～140的人数是1000×0.015×10=150，∴分数在135～150的人数是150÷2+100=175；∴当优秀的人数为175人时，a的估计值是135．故答案为：135．16．（5分）如图所示的算法中，a=e3，b=3π，c=eπ，其中π是圆周率，e=2.71828…是自然对数的底数，则输出的结果是3π．【解答】解：∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，从而有ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是，根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得e3＜eπ＜3π，即有a＜c＜b执行程序框图，则a＜b条件满足，有a=3π而此时条件a＜c不成立，故输出a的值为3π故答案为：3π17．（5分）已知圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），过圆C上任意一点M作圆C2的一条切线MN，切点为N，1则|MN|的取值范围是．【解答】解：∵圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），∴圆C1的圆心在以原点为圆心，1为半径的圆上动，圆C2的圆心在以原点为圆心，5为半径的圆上动，∴圆心关于原点对称的时候|MN|取最大值为3，在同一侧的时候|MN|取最小值，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点．（1）若直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，求直线l的方程；（2）若直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．【解答】解：（1）由得即直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交于点（3，2），所以直线l经过点（3，2），…（4分）因为直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，可设直线l的方程为3x﹣2y+m=0，则有3×3﹣2×2+m=0得m=﹣5，所以直线l的方程为3x﹣2y﹣5=0．…（8分）（2）因为直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，可设直线l的方程为3x+4y+n=0，则有3×3+4×2+n=0得n=﹣17，所以直线l的方程为3x+4y﹣17=0．…（12分）19．（13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．（1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？（2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；，∴走读生早上上学所需要的平均时间约为11.52分钟；…（6分）（2）根据频率分布直方图，得；P1=0.02×4+0.08×4=0.40=40%，P2=0.03×4÷2=0.06=6%，…（12分）∴距离学校500米以内的走读生占全校走读生的40%，距离学校1000米以上的走读生占全校走读生的6%．…（13分）20．（13分）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是．（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率；（2）求此长方体的体积．【解答】解：（1）记事件M：从6条线段中任取2条线段，其中一条线段长度是另一条线段长度的倍．从6条线段中任取2条线段，有15种等可能的取法：AB和BC，AB和AC，AB和CD，AB和AD，AB和BD，BC和CD，BC和BD，BC 和AC，BC和AD，CD和AC，CD和AD，CD和BD，AD和AC，AD和BD，AC和BD…（3分）其中事件M包含8种结果：AB和AC，AB和BD，BC和AC，BC和BD，CD和AC，CD和BD，AD和AC，AD和BD…（4分），因此，所求事件的概率为…（6分）（2）记事件N：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内．设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2+2h，宽为1+2h，面积为（2+2h）（1+2h）…（9分）长方体的平面展开图的面积为2+4h；…（10分）由几何概型的概率公式知，得h=3，…（12分）所以长方体的体积是V=1×1×3=3．…（13分）21．（13分）已知平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分别是DE、AB的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD时，左（侧）视图的面积为．（1）求证：MH∥平面BCE；（2）求证：平面ADE⊥平面BCE．【解答】证明：（1）方法一：取CE的中点N，连接BN，如图1所示．∵△CDE中，M、N分别是DE、CE的中点，∴MN∥CD且MN=CD．在矩形ABCD中，∵H是AB的中点，∴BH∥CD且BH=CD，∴MN∥BH且MN=BH，从而四边形BHMN为平行四边形，∴MH∥BN．又∵MH⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，∴MH∥平面BCE．方法二：取AE的中点P，连接MP、HP，在△ABE中，∵P、H分别是AE、AB的中点，∴HP∥BE，∵HP⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴HP∥平面BCE；同理有MP∥平面BCE，又∵MP∩HP=P，∴平面MPH∥平面BCE，∵MH⊂平面MPH，∴MH∥平面BCE．（2）取CD中点F，连接EH、EF、FH，如图2所示，则在矩形ABCD中，FH⊥AB，FH=AD=2．在△ABE中，AE=BE=2，∴EH⊥AB，∵FH∩EH=H，∴AB⊥平面EFH，∵平面ABCD⊥平面ABE，∴∠EHF=90°，∴Rt△EFH的面积等于几何体E﹣ABCD左（侧）视图的面积，得，即，∴在ABE中，有AH2+EH2=BH2+EH2=AE2=DE2=22，得，从而．由AE2+BE2=AB2=8知，AE⊥BE．∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，∴AD⊥平面ABE，又∵BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，而AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，∵BE⊂平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．22．（14分）已知圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），且圆M上的点到x轴的最大距离为2，过点P（0，﹣1）作直线l．（1）求圆M的标准方程；（2）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（3）当直线l与圆M相交于A、B两点，且满足向量，λ∈[2，+∞）时，求|AB|的取值范围．【解答】解：（1）因为圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），得知圆M的圆心在x的正半轴上；由圆M上的点到x轴的最大距离为2，得知圆M的圆心为（2，0），半径为2．所以圆M的标准方程为（x﹣2）2+y2=4．（2）若直线l的斜率存在，设l的斜率为k，则直线l的方程为kx﹣y﹣1=0，因为直线l与圆M相切，所以圆心M到直线l的距离等于半径得，解得，直线l的方程：3x+4y+4=0；若直线l的斜率不存在，由直线l与圆M相切得直线l的方程：x=0，所以，直线l的方程为x=0或3x+4y+4=0．（3）由直线l与圆M相交于A、B两点知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，点A（x1，y1）、B（x2，y2），则直线l的方程为kx﹣y﹣1=0，由得（k2+1）x2﹣（2k+4）x+1=0，△=16k+12＞0，即，，，由向量，得x1=λx2，由，，x1=λx2消去x1、x2得，即，λ∈[2，+∞），化简得．且|AB|≤2R=4，即．所以|AB|的取值范围是．。

湖北省襄阳市襄州一中等四校2013-2014学年高三上学期期中联考文数学试卷（带word 解析）第I 卷（选择题）1．已知集合}12|{},1|{>=<=xx N x x M ,则N M I =（ ） A ．∅ B ．}0|{<x xC ．}1|{<x xD ．}10|{<<x x【答案】D 【解析】试题分析：由}0|{}12|{>=>=x x x N x,故}10|{<<=x x N M I ，选D. 考点：1.指数函数的单调性；2.集合的运算2．“a＞b ＞0”是“ab＜222a b +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由a ＞b ＞0知02)(222>-+=-ab b a b a ，可得222b a ab +<，故满足充分性；由222b a ab +<得02)(222>-+=-ab b a b a ，故可得b a ≠，所以不满足必要性，选A.考点：1.基本不等式性质；2.充要条件3．复数ii-+13等于 （ ） A. i 21- B. i 21+C. i -2D. i +2【答案】B 【解析】 试题分析：由i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13+=+=+-++=-+，选B. 考点：复数的四则运算4．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ,且C =60°,则 ab 的值为（ ） A ．348- B ．1 C ．34 D ．32 【答案】C【解析】试题分析：由4)(22=-+c b a 得：ab c b a 24222-=-+，故由余弦定理知：ab c b a C 2cos 222-+=2160cos 224=︒=-=ab ab ，解得34=ab ，故选C.考点：余弦定理的应用5．函数mx m m x f )1()(2--=是幂函数，且在x ∈(0，+∞)上为增函数，则实数m 的值是（ ）A ．-1B ．2C ．3D ．-1或2 【答案】B 【解析】试题分析：由幂函数定义可知：112=--m m ，解得,2=m 或1-=m ，又函数在x ∈(0，+∞)上为增函数，故2=m .选B.6, ）A BC D【答案】B故7．平行四边形ABCD 中，AB u u u r =（1，0），AC uuu r =（2，2），则AD BD ⋅u u u r u u u r等于 （ ）A ．4B ．-4C ．2D ．-2 【答案】A 【解析】试题分析：由)2,1()0,1()2,2(=-=-==,所以=-⋅=⋅)( 4)2,0()2,1(=⋅.故选A.考点：1.向量的加减运算；2.向量的数量积8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递减. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)≤+f f f a a , 则a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，21]∪[2,+∞） B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2,+∞） C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(0,2]【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()f x 是R 上的偶函数, 所以12222(log )(log )(log )(log )+=+-f a f a f a f a222(log )2(|log 2(1)|)==≤f a f a f ，又在区间[0,)+∞单调递减，故2|log 1|≥a ，解得10,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦a ∪[2,+∞），选A.考点：1.偶函数的性质；2.函数的单调性；3.对数不等式9．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 和()g x 在[],a b 上 是“密切函数”，[],a b 称为“密切区间”，设2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是 （ ）A ．[1,4]B ． [2,4]C ． [3,4]D ． [2,3]【答案】D 【解析】试题分析：由题意由1|75||)()(|2≤+-=-x x x g x f ，得17512≤+-≤-x x ，解之得]3,2[∈x ，故选D.考点：1.含绝对值的一元二次不等式的解法；2.函数新定义题10．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是( )A. 11,]5,775U （（）B. 10,[5,5+∞U （）） C. 10,5,5+∞U （]（）D. 11,[5,775U （））【答案】C 【解析】试题分析：函数g （x ）=f （x ）-log a |x|的零点个数，即函数y=f （x ）与y=log a |x|的交点的个数； 由f （x+1）=-f （x ），可得f （x+2）=f （x+1+1）=-f （x+1）=f （x ），故函数f （x ）是周期为2的周期函数，又由当-1≤x ＜1时，f （x ）=x 3，据此可以做出f （x ）的图象，y=log a |x|是偶函数，当x ＞0时，y=log a x ，则当x ＜0时，y=log a （-x ），做出y=log a |x|的图象:结合图象分析可得：要使函数y=f （x ）与y=log a |x|至少有6个交点，则 log a 5＜1 或 log a 5≥-1，解得 a ＞5，或510≤<a .故选C. 考点：1.考查函数图象的变化与运用第II 卷（非选择题）11．已知全集U ＝ R ，集合{}1|-==x y x M ，则=M C U ．【答案】{|1}x x < 【解析】试题分析：集合M就是函数y ={}|1M x x =≥，{|1}U C M x x =<.考点：补集. 12．复数iiz 21-=的虚部是 ． 【答案】1- 【解析】试题分析： 由221222i i i z i i i--===--，所以z 的虚部为1-. 考点：复数的概念和运算.13．“1>x ”是“12>x ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要 【解析】试题分析：如果1>x 时，那么12>x ，所以“1>x ”是“12>x ”的充分条件，如果12>x ，那么1>x ，或1x <-，所以“1>x ”是“12>x ”的不必要条件，综上所以“1>x ”是“12>x ”的充分不必要条件. 考点：充分条件和必要条件.14．已知扇形的半径为10cm ，圆心角为120°，则扇形的面积为 ． 【答案】21003cm π【解析】试题分析：因为扇形的圆心角为120°，显然它的面积是其所在圆面积的13，而这个圆的面积为2100cm π，所以这个扇形的面积为21003cm π. 考点：扇形的面积.15．如果1log log 22=+y x ，则y x 2+的最小值是 ． 【答案】4 【解析】试题分析：由1log log 22=+y x 得2log ()1xy =，所以2xy =且0,0x y >>，24x y +≥=，当且仅当2x y =即2,1x y ==时，y x 2+取得最小值4. 考点：基本不等式，对数的运算.16．函数1ln(1)y x=++的定义域为_____________. 【答案】]1,0( 【解析】试题分析：⎪⎩⎪⎨⎧≥->+010112x x由解得：]1,0(∈x . 考点：求函数的定义域 17．已知αααcos 900,102)45sin(，则且οοο<<-=-的值为_____________.【答案】54 【解析】试题分析：由102)45sin(-=-οα得：51cos sin -=-αα①，①平方得：2524cos sin 2=αα②，所以可得57cos sin =+αα③，由③-①得：=αcos 54.考点：1.两角和差的余弦公式；2.同角三角函数关系18．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则)]81([f f 的值等于_______．【答案】271【解析】试题分析：由已知分段函数可得：2713)3()81(log )]81([32==-==-f f f f . 考点：1.分段函数；2.基本初等函数求值19．若函数()(0,1)=>≠xf x a a a 在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m ，则m 的值是______. 【答案】21或161 【解析】试题分析：分1>a 和10<<a 两种情况讨论：当1>a 时，函数xa x f =)(单调递增，则最大值为41==a a ，最小值为161422===--a m ；当10<<a 时，函数xa x f =)(单调递减，则最大值为42=-a ，解得21=a ，最小值为211==a m .故21=m 或161.考点：1.分类讨论；2指数函数的单调性20．2)()(c x x x f -=在1=x 处有极小值，则实数c 为 .【答案】1 【解析】试题分析：由2)()(c x x x f -=得2243)('c cx x x f +-=，又2)()(c x x x f -=在1=x 处有极小值，故01413)1('22=+⨯-⨯=c c f ，解得1=c 或3=c ，当1=c 时，有143)('2+-=x x x f ，函数)(x f 在),1(),31,(+∞-∞单调递增，在)1,31(单调递减，故在1=x 处有极小值；当3=c 时，有9123)('2+-=x x x f ，函数)(x f 在),3(),1,(+∞-∞单调递增，在)3,1(单调递减，故在1=x 处有极大值.综上可知1=c .考点：利用导数处理函数的极值21．己知函数xe x xf 2)(=，当曲线y = f(x)的切线L 的斜率为正数时,L 在x 轴上截距的取值范围为 .【答案】),0(]322,(+∞---∞Y 【解析】试题分析：∵xe x xf 2)(=，∴)2()('2x x e x f x+=，由0)2()('2>+=x x e x f x得：,0>x 或2-<x .设切点为),(0200x e x x ,则切线方程为))(2(0200200x x x x e ex y x x -+=-,令0=y ，得：202++=x x x x .当00>x 时，220>+x ，则：03222322)2(2000200=-+>-+++=++=x x x x x x ；当20-<x 时，020<+x 则：322322)2(2322)2(200000200--=-+⨯+-≤-+++=++=x x x x x x x x ，综上述知：切线在x 轴上的截距的取值范围为：),0(]322,(+∞---∞Y .考点：利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域22．已知数列{}n a 及其前n 项和n S 满足：n n n S S a 33311+==-， （2≥n ，*n N ∈）. （1）证明：设nnn S b 3=，{}n b 是等差数列； （2）求n S 及n a ；（3）判断数列{}n a 是否存在最大或最小项，若有则求出来，若没有请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）13)12(-+=n n n a ,n n n S 3•=;(3)数列{}n a 有最小项，无最大项，最小项为31=a 【解析】试题分析：（1）直接求出13311=---n n n n S S ，从而证明{}n b 是等差数列；（2）先由（1）可得nn n S 3•=，然后由113)12(--+=-=n n n n n s s a ，注意检验当1=n 时是否适用 .（3）先判定数列是递增数列，从而确定只有最小项无最大项，最小项为31=a ，注意运用函数的思想方法解决数列问题.试题解析：（1） Θ n n n S S 331=-- ∴ 13311=---n n n n S S （2≥n ） 2分 设n nn S b 3= 则{}n b 是公差为1的等差数列 3分（2） 又 Θ ,133111===aS b ∴,3n S nn = ∴n n n S 3•= 5分 当2≥n 时， 113)12(--+=-=n n n n n s s a 7分 又31=a 满足上式 8分 ∴13)12(-+=n n n a n n n S 3•= 9分（3）1)32(3123)32(3)12(11<++=++=-+n n n n a a nn n n Θ 11分又1,0+<∴>n n n a a a ，则数列{}n a 为递增数列 12分∴数列{}n a 有最小项，无最大项，此时最小项为31=a 13分 考点：1.等差数列的判定；2.等差数列通项公式的求法；3.数列的单调性 23．已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 ＝（1，2） ⑴若|c |52=，且//，求的坐标；⑵若||=,25且2+-3a b a b v v v v 与垂直，求与的夹角θ。