某某省某某市高级中学2019-2020学年高一数学6月适应性月考试题（含解析）一.选择题（共12小题，每题5分）()()2lg 31f x x =+的定义域是（ ）A. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数f （x ）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】∵函数f （x ）2（3x+1），∴10310x x -⎧⎨+⎩＞＞； 解得﹣13＜x ＜1， ∴函数f （x ）的定义域是（﹣13，1）． 故选B ．【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．10ax y +-=与圆22440x y x y +--=交于,A B 两点，若||4AB =，则a =（ ）A. 43-B. 43C. 34- D. 34【答案】D【解析】 【分析】先求出圆心和半径，再由题得2=，解方程即得解.【详解】由题得22(2)(2)8x y -+-=，它表示圆心为（2,2），半径为.则圆心到直线的距离d2===， 所以34a =. 故选：D【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦心距的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.cm ，当这个扇形的面积最大时，半径R 的值为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r 的二次函数，通过解二次函数最值求结果． 【详解】2211202(202)10(5)2522l R S lR R R R R R =-∴==-⋅=-+=--+，， ∴当半径R =5cm 时，扇形的面积最大为25cm 2． 故选：B ．考点：扇形面积公式4.如图，正三角形ABC 内的图形来自中国古代的太极图.正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称.在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. 29πB. 318πC. 239πD. 5318π【答案】B【解析】【分析】设正三角形边长为2，计算出黑色部分的面积与总面积的比即可得解.【详解】设正三角形边长为2，33圆的面积为3π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型的概率13233ππ⨯=.故选：B.【点睛】本题考查了面积型几何概型概率的计算，属于基础题.5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A. 5n <B. 6n <C. 6n ≤D. 9n < 【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，当8n =时，1112S =，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值，由此得出判断框中填写的内容是什么．【详解】解：模拟执行程序框图，可得0S =，2n =；满足条件，12S =，4n =； 满足条件，113244S =+=，6n =；满足条件，1111124612S =++=，8n =； 由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112； 故判断框中填写的内容可以是6n ≤. 故选：C.【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S 值是解题的关键，属于基础题．α是第二象限角，且31cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A. 4-14- C. 14D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系进行化简求值即可. 【详解】因为31cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，由诱导公式可得，1sin 4α=，因为22sin cos 1αα+=，α是第二象限角，所以cos 4α===. 故选：A【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系；考查运算求解能力；属于中档题. 2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是( ) A. π18x =B. π6x = C. 7π18x = D. 11π18x =【答案】D 【解析】 【分析】你根据三角函数图像平移求解()g x 的解析式,再求解对称轴逐个选项判断即可.【详解】易得()f x 周期为23π,故12周期为3π,故()22sin 32sin 3333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故()g x 对称轴为53,32183k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈.当1k =时11π18x =满足条件.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换求解析式以及根据解析式判断对称轴的问题,属于基础题.）A. ()2cos1sin1-B. )cos1sin1-C. 2cos1D. )cos1sin1+【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式化简可得；【详解】)cos1sin1=-故选：B.【点睛】本题考考查二倍角余弦公式的应用，属于基础题.()1,a m =，(1,3b =-，且a b a b -=+，则a =（ ）A.3 B. 3C. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积公式，求得0a b ⋅=，进而列式求出3m =，再利用模长公式求出结果. 【详解】解：由a b a b -=+，得0a b ⋅=，所以10-=，则3m =.∴()21a =-=故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积公式，模长公式，考查逻辑推理能力，属于基础题. 212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值X 围是（ ）A. 98⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. 928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C. 908⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 918⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】B 【解析】 【分析】把方程化为22cos sin 1a x x =+-，利用三角函数即可求出a 的取值X 围． 【详解】方程212cos sin 0x x a --+=可化为22cos sin 1a x x =+-，则22192sin sin 12(sin )48a x x x =-++=--+，由sin [1x ∈-，1]，∴21(sin )[04x -∈，25]16， 2192(sin )[248x ∴--+∈-，9]8，即实数a 的取值X 围是[2-，9]8．故选B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的性质与应用问题，是基础题．()()()sin 22sin cos f x x x ωϕϕωϕ=+-+（0>ω，ϕ∈R ）在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值X 围是（ ）A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1350,,323⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦和角与差角公式化简函数式，结合正弦函数的单调递增区间求得()f x 的单调增区间，由在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增即可确定ω的取值X 围. 【详解】根据正弦和角与差角公式化简函数式可得()()()sin 22sin cos f x x x ωϕϕωϕ=+-+()()sin 2sin cos x x ωϕϕϕωϕ=++-+⎡⎤⎣⎦()()()sin cos cos sin 2sin cos x x x ωϕϕωϕϕϕωϕ=+++-+ ()()sin cos cos sin x x ωϕϕωϕϕ=+-+ ()sin sin x x ωϕϕω=+-=，（0>ω，ϕ∈R ）.根据正弦函数单调递增区间可知2222k x k πππωπ-+≤≤+，（k Z ∈）上单调递增，化简得2222k k x ππππωωωω-+≤≤+，k Z ∈； ∴函数()f x 的单调增区间为22,22k k ππππωωωω⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）. ∵在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得222322k k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1221433k kωω⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，（k Z ∈）.又0>ω，当0k =时，可得103ω<≤； 当1k =时，可得3523ω≤≤. 故选：D.【点睛】本题考查了正弦函数和差公式的简单应用，由正弦函数的单调区间求参数的取值X 围，属于中档题.O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足||||(),sin sin AB AB AC ACOP OA C Bλλ⋅⋅=++∈R .则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ）A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此判断出P 的轨迹经过重心. 【详解】设三角形ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理得2sin sin AB AC R CB==，所以||||()sin sin AB AB AC ACOP OA C Bλ⋅⋅=++2()OA R AB AC λ=+⋅⋅+，2()AP R AB AC λ=⋅⋅+根据向量加法的几何意义可知：AB AC +表示以,AB AC 为邻边的平行四边形的对角线， 此对角线与三角形中线重合，所以P 在三角形ABC 的中线上，也即P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的重心. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题. 二.填空题（共4小题，每题5分）13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程为ˆ0.6754.9yx =+．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_______． 【答案】68 【解析】设数据模糊看不清为数据2y 262758189300.673054.9755y x y ++++=⇒=⨯+==268y ⇒=.【点睛】本题考查线性回归方程及其性质，涉及函数与方程思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等题型.首先根据定义求得30x =，代入回归方程求得0.673054.975y =⨯+=,利用平均数求得268y =.(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，若a b -与c 共线，则实数m =______. 【答案】3 【解析】 【分析】求出向量a b -的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值.【详解】向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，()1,3a b m ∴-=-， a b -与c 共线，1323m -∴=，解得实数3m =. 故答案为：3.【点睛】本题考查利用向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题.ABC 中,点D E ，分别在边AB BC ，上,且2AD DB BE EC ＝，＝,记,AB a AC b ==,若DE xa yb =+则x y +的值为_____.【答案】12【解析】【分析】利用平面向量加法、减法和数乘的运算，将DE 转化为以,a b 为基底的表现形式，根据平面向量的基本定理求得,x y 的值，由此求得x y +的值.【详解】如图,∵AD =DB ,BE =2EC ;∴12DB AB =,()2233BE BC AC AB ==-,且,AB a AC b ==; ∴()12122363DE DB BE a b a a b =+=+-=-+; 又DE xa yb =+;∴根据平面向量基本定理得,12,63x y =-=; ∴12x y +=. 故答案为：12 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.16.给出以下式子：①tan25°+tan35°°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)； ③115115tan tan +︒-︒_____.【答案】①②③【解析】【分析】由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【详解】①∵tan60°＝tan （25°+35°）253512535tan tan tan tan ︒+︒==-︒︒tan25°+tan35°°tan35°； )12535tan tan =-︒︒+°tan35°，=②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°=③115451511514545tan tan tan tan tan tan +︒︒+︒==-︒-︒︒tan （45°+15°）＝tan60°= 故答案为：①②③【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.三.解答题（共6小题，17题10分，其余12分）()2x f x =，x A ∈的值域为，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.【答案】（1）1[,4]2；（2）[1,3]-【解析】试题分析：（1）由题函数()2x f x =的值域为⎤⎦216x ≤≤，解之即可得到函数()f x 的定义域A（2）令2log t x =，因为142x ≤≤，可得 12t -≤≤， 所以函数()y g x =，x A ∈可以化为()22u t t t =-（12t -≤≤），求此二次函数在12t -≤≤山过的最值即可试题解析：（1）因为函数()2x f x =的值域为⎤⎦216x ≤≤， 所以142x ≤≤，即函数()f x 的定义域1,42A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （2）令2log t x =，因为142x ≤≤，所以21log 2x -≤≤，即12t -≤≤， 所以函数()y g x =，x A ∈可以化为()22u t t t =-（12t -≤≤）， 所以()()min 11u t u ==-，()()max 13u t u =-=，即函数()y g x =，x A ∈值域为[]1,3-. ABC 中，D 是斜边BC 的中点，沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠=︒.（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）求二面角A BC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33 【解析】【分析】（1）根据ABC 是等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，得到AD CD ⊥，再由90BDC ∠=︒，得到BD CD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）取BC 的中点E ，连DE 、AE ，根据AB AC =，得到AE BC ⊥，同理DE BC ⊥，从而AED ∠为二面角A BC D --的平面角，然后设1AD =，在正ABC 中求得AE ，再利用三角函数的定义求解即可.【详解】（1）因为ABC 是等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，所以AD CD ⊥.又90BDC ∠=︒，所以BD CD ⊥.因为AD 与BD 交于点D ，所以CD ⊥面ABD .（2）如图所示：取BC 的中点E，连DE、AE，因为AB AC=，则AE BC⊥. 因为BD CD=，则DE BC⊥. 所以AED∠为二面角A BC D--的平面角. 因为AD BD⊥，AD CD⊥，所以AD⊥面BCD. 设1AD=，则1BD DC==，2AB AC BC===从而ABC是正三角形，所以62602AE=︒=. 在Rt ADE△中，6sin3AD AED AE∠==. 所以3cos AED∠=，故二面角A BC D--3【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.19.上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内的概率． 【答案】（1）平均分68，众数65；（2）35【解析】【分析】（1）先求得成绩在区间[)80,90内的频率，然后根据平均数的计算公式，计算出平均分，利用最高的小长方形求得众数.（2）先求得[)80,90、[]90,100的人数，然后用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）因各组频率之和为1，所以成绩在区间[)80,90内的频率为 ()10.00520.0150.0200.045100.1-⨯+++⨯=.所以平均分0.05450.15550.45650.2075x =⨯+⨯+⨯+⨯0.10850.059568+⨯+⨯=， 众数的估计值是65.（2）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”，由题意可知成绩在区间[)80,90内的学生所选取的有：0.01010404⨯⨯=人，记这4名学生分别为a ，b ，c ，d ，成绩在区间[]90,100内的学生有0.00510402⨯⨯=人，记这2名学生分别为e ，f ，则从这6人中任选2人的基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”的可能结果为：(),a e ，(),a f ，(),b e ，(),b f ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共9种，所以()93155P A ==． 故所求事件的概率为：35． 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数和总数，考查古典概型的计算，属于基础题.()sin ,2a x =-，()1,cos b x =，函数()f x a b =⋅（1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值 （2）若a b ⊥时，求()()()()sin 4cos 2sin 4sin 2x x g x x x πππ++-=⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）162f π⎛⎫=⎪⎝⎭（2）29 【解析】【分析】 （1）由向量的数量积公式可得()sin 2cos f x a b x x =⋅=-+，将6x π=代入可得答案.（2）由a b ⊥，可得tan 2x =，将()g x 化简为()sin 4cos tan 4cos 4sin 14tan x x x g x x x x-+-+==++，将tan 2x =代入，从而可得答案.【详解】（1）∵向量()sin ,2a x =-，()1,cos b x =，∴函数()sin 2cos f x a b x x =⋅=-+，∴162f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）∵a b ⊥，∴()sin 2cos 0f x a b x x =⋅=-+=，∴tan 2x =，∴.【点睛】本题考查向量的数量积公式，诱导公式的应用，弦转化为切的运算，属于中档题.2()cos sin ,222xxxf x ωωω=+其中0>ω.（1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值X 围. 【答案】（1）π；（2）43ω≥ 【解析】【分析】 (1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值；(2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【详解】（1）因为2()cos sin 222xxxf x ωωω=+1cos 22x x ωω-=+11cos 22x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+.考试 因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω== 所以πω=. （2）因为π0,02x ω≤≤>， 所以6626x ππωππω-≤-≤-. 若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥， 所以43ω≥. 【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数X 围，属于中档题. 2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x x m n ==，若()f xm n =⋅, （1）求()f x 递增区间；（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且(2)cos cos a c B b C -=，求(A)f 的取值X 围．【答案】（1）42[4,4],33k k k Z ππππ-+∈；（2）3(1,)2. 【解析】 【详解】（1）()f x m n =⋅2cos cos 444x x x + 1cos 222x x +=+1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由22,2262x k k k Z πππππ-≤+≤+∈得：4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ()f x ∴的递增区间为424,4,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=，()2sin cos sin A B B C ∴=+， (),sin sin 0A B C B C A π++=∴+=≠，1cos 2B ∴=考试0B π<<，2,033B A ππ∴=∴<<，6262A πππ∴<+<，1sin ,1262A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()1sin 262x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()1sin 262A f A π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭， 故函数()f A 的取值X 围是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
