【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修3：第三章 概率 单元同步测试

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变换单元同步测试（含解析）新人教A 版必修4(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34 D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2. 答案 D 7．设a ＝22(si n17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°， b ＝2cos 213°－1＝cos26°， c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2解析 原式＝－－sin20°sin70°＝＋－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解析 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.α＋＋α＋2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712.18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42α＋sin 2α2α－sin 2α＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos α－sin α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝α＋cos α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α.∴原等式成立．19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得 22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0， 即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )， ∴x 值的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z. (2)|a －c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12＝cos23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3，则|a －c |2的最大值为9. ∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12.当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2. 22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx . 所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

随机事件的概率（提高训练）1、.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 答案：C解析：A 中两个事件能同时发生故不互斥，同样B 中两个事件也不互斥，D 中两个事件是对立事件，故选C.2、.抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A.至多两件次品 B.至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品 答案：B解析：利用对立事件定义或利用补集思想.3、.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示： 6（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？ 解析：（1）进球的频率从左向右依次为0.75，0.8，0.8，0.85，0.83，0.8，0.76. （2）这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.个逐个进行直径检验，结果如下：6.88<≤d 从这100个螺母中，任意抽取1个，求事件（6.92<≤6.94）事件（6.90<d ≤6.96）、事件C （d >6.96）、事件D （d ≤6.89）的频率.解析：事件A 的频率P （A ）=1002617+=0.43，事件B 的频率P （B ）=10081526171710+++++=0.93，事件C 的频率P （C ）=10022+=0.04，事件D 的频率P （D ）=1001=0.01.5、.某校为举办2005年元旦联欢晚会，为了吸引广大同学积极参加活动，特举办一次摸奖活动.凡是参加者，进门时均可参加摸奖，摸奖的器具是黄、白两色的乒乓球，这些乒乓球的大小和质地完全相同．另有一只棱长约为30 cm 密封良好且不透光的立方体木箱(木箱的上方可容一只手伸入)．现拟按中奖率为101设大奖，其余109则为小奖，大奖奖品的价值为40元，小奖奖品的价值为２元．请你运用概率的有关知识设计一个摸奖方案以满足校方的要求.解析:方案1:在箱子里放10个乒乓球，其中1个黄色的，9个白色的.摸到1个黄球时为大奖，摸到白球时为小奖.方案2:在箱子里放5个乒乓球，3个白色的，2个黄色的.每位参加者在箱子里摸两次，每次一个球，当摸到两个黄色乒乓球时为大奖，其他情况为小奖.6、.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是.答案：0.2解析：设击中10环、9环、8环的事件分别为A 、B 、C ，不够8环的事件为D ，则事件A 、B 、C 两两互斥，∴P （D ）=1－P （A ∪B ∪C ）=1－P （A ）－P （B ）－P （C ）=1－0.3－0.3－0.2=0.2.。

【名师一号】2020学年高中数学 第三章 概率单元同步测试（含解析）新人教A 版必修3(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．先后抛掷2枚一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( )A ．至少一枚硬币正面向上B ．只有一枚硬币正面向上C ．两枚硬币都是正面向上D ．两枚硬币一枚正面向上，另一枚正面向下解析 先后抛掷2枚一分、二分的硬币，其结果有4种情形：“1正2正”、“1正2反”、“1反2正”、“1反2反”，可得“至少一枚硬币正面向上”包含3个基本事件．答案 A 2．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1；④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①正确；②不正确，当A 与B 是互斥事件时，才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，对于任意两个事件A ，B 满足P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )；③也不正确．P (A )＋P (B )＋P (C )不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P (A )＋P (B )＝12＋12＝1.答案 A3．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是( )A.1999 B.11000C.9991000D.12解析 投掷一枚均匀的硬币正面向上的概率为12，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面向上的概率为12，抛掷第999次正面向上的概率还是12.答案 D4．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为( )A.13 B.110 C.25D.310解析 设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P ＝310.答案 D5．设某厂产品的次品率为3%，估计该厂8000件产品中次品的件数为( ) A ．3 B ．160 C ．240D ．7480解析 次品数为8000×3%＝240. 答案 C6．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析 由几何概型概率公式知，图中中奖的概率依次是P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26＝13，P (D )＝13，因此，要想增加中奖机会，应选择A 盘． 答案 A7．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率为( )A.12B.13C.14D ．1解析 由于x 1，x 2，x 3是任意的，它们的排列次序有：x 1x 2x 3，x 2x 1x 3，x 2x 3x 1，x 3x 2x 1，x 1x 3x 2，x 3x 1x 2，共6种情况．其中x 2在x 1与x 3之间有两种情况，故所求概率为26＝13.答案 B8．小明同学的QQ 密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ 时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( )A.1105 B.1104 C.1102 D.110解析 只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中任取一个，作为密码的最后一位数字有10种可能，其中只有一种可能登录成功，故其概率为110.答案 D9．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为45，则河宽为( )A ．100 mB ．80 m C. 50 mD ．40 m解析 设河宽x m ，则1－x 500＝45，∴x ＝100 (m)．答案 A10．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )A.235B.2350C. 10 D ．不能估计解析 利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为138300×(5×2)＝235.答案 A11．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( ) A.56 B.45 C.23D.12解析 在10～99中有99－10＋1＝90个整数，其中能被2整除的有45个，能被3整除的有30个，能被6整除的有15个，因此，所求的概率为P ＝45＋30－1590＝23.答案 C12．小丽和小明一起用A ，B 两枚均匀的小正方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小丽掷出的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷出的B 立方体朝上的数字为y ，来确定点P (x ，y )，那么他们各掷一次所确定的点P (x ，y )落在抛物线y ＝－x 2＋4x 上的概率为( )A.16 B.19 C.112D.118解析 根据题意，两人各掷小正方体一次，每人都有6种可能性，则点P (x ，y )的情况有6×6＝36种可能，而y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，即(x －2)2＋y ＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3种．因此满足条件的概率为336＝112.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．一种投掷骰子的游戏规则是：交2元钱可掷一次骰子，若骰子朝上的点数是1，则中奖2元；若点数是2或3，则中奖1元，若点数是4,5或6，则无奖，某人投掷一次，那么中奖的概率是______．解析 由题意知，投掷一次骰子若点数为1,2,3则获奖，若出现点数4,5,6无奖，所以中奖的概率为12.答案 1214．设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1,2}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上一个点P (a ，b )，设“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (0≤n ≤4，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的可能值为________．解析 基本事件为点(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，总数为9.当n ＝0时，落在直线x ＋y ＝0上的点有1个(0,0)；当n ＝1时，落在直线x ＋y ＝1上的点有2个，(0,1)和(1,0)；当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点有(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3个； 当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点有(1,2)，(2,1)共2个； 当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点只有(2,2)1个． 因此，当C n 的概率最大时，n ＝2. 答案 215．已知区域E ＝{(x ，y )|0≤x ≤3，0≤y ≤2}，F ＝{(x ，y )|0≤x ≤3，0≤y ≤2，x ≥y }，若向区域E 内随机投掷一点，则该点落入区域F 内的概率为________．解析 依题意可知，本问题属于几何概型，区域E 和区域F 的对应图形如图所示． 其中区域E 的面积为3×2＝6，区域F 的面积为12×(1＋3)×2＝4，所以向区域E 内随机投掷一点，该点落入区域F 内的概率为P ＝46＝23.答案 2316．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________．解析 设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人中都是男生}，则A ，B 为对立事件，∴P (B )＝1－P (A )＝15.答案 15三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某学校篮球队，羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．解 由图知，三支球队共有队员10＋4＋3＋3＝20人，其中只参加一支球队的队员有5＋4＋3＝12人，参加两支球队的队员有1＋2＋3＝6人．(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ， 则P (A )＝1220＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ， 则P (B )＝1220＋620＝1820＝910.(或P (B )＝1－220＝910)18．(12分)高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.(1)求射击一次，命中10环或9环的概率； (2)求射击一次，至少命中8环的概率； (3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．解 设事件“射击一次，命中i 环”为事件A i (0≤i ≤10，且i ∈N )，且A i 两两互斥．由题意知P (A 10)＝0.13，P (A 9)＝0.28，P (A 8)＝0.31.(1)记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A ，那么P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.13＋0.28＝0.41.(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C ，则C 与A 是对立事件，∴P (C )＝1－P (A )＝1－0.41＝0.59.19．(12分)水池的容积是20 m 3，向水池注水的水龙头A 和水龙头B 的流速都是1 m 3/h ，它们在一昼夜内随机开放(0～24小时)，求水池不溢出水的概率．(精确到0.01)解 设水龙头A 开x 小时，水龙头B 开y 小时，若水池不溢出水，则x ＋y ≤20， 记“水池不溢出水”为事件M ，则M 所占区域面积为12×20×20＝200，整个区域的面积为24×24＝576，由几何概型的概率公式，得P (M )＝200576≈0.35， 即水池不溢出水的概率为0.35.20．(12分)A 、B 两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.(1)从A 、B 箱中各取1张卡片，用x 表示取出的2张卡片的数字之积，求x ＝2的概率； (2)从A 、B 箱中各取1张卡片，用y 表示取出的2张卡片的数字之和，求x ＝0，y ＝2的概率．解 依题意知，从A 、B 箱中各取1张卡片，其基本事件有6×5＝30个．(1)记事件C 为“从A 、B 箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2”，则C 包含5个基本事件，由古典概型的概率公式得P (C )＝530＝16.(2)记事件D 为“从A 、B 箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0”，则包含10个基本事件，则P (D )＝1030＝13.21．(12分)某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米)．把这些高度列成了如下的频数分布表：(2)这批树苗的平均高度大约是多少？(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值) (3)为了进一步获得研究资料，若从[40,50)组中移出一棵树苗，从[90,100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40,50)组中的树苗A 和[90,100]组中的树苗C 同时被移出的概率是多少？解 (1)由已知，高度在85厘米以上的树苗大约有6＋4＝10棵，则所求的概率大约为1050＝15＝0.2. (2)树苗的平均高度x ≈45×2＋55×3＋65×14＋75×15＋85×12＋95×450＝369050＝73.8厘米． (3)依题意，记[40,50)组中的树苗分别为A 、B ，[90,100]组中的树苗分别为C 、D 、E 、F ，则所有的基本事件为ACD 、ACE 、ACF 、ADE 、ADF 、AEF 、BCD 、BCE 、BCF 、BDE 、BDF 、BEF ，共12个．满足A 、C 同时被移出的基本事件为ACD 、ACE 、ACF ，共3个，所以树苗A 和树苗C 同时被移出的概率P ＝312＝0.25.22．(12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋1(a ≠0)，设集合P ＝{1,2,3}，Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到的数对(a ，b )．(1)列举出所有的数对(a ，b )，并求函数y ＝f (x )有零点的概率； (2)求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 (1)(a ，b )共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，15种情况．函数y ＝f (x )有零点，Δ＝b 2－4a ≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种情况 所以函数y ＝f (x )有零点的概率为615＝25.(2)函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝b2a，在区间[1，＋∞)上是增函数，则有b2a≤1，即b －2a ≤0.因此有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种情况满足条件，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为1315.。

人教A版高中数学必修三第3章 3.1.3 概率的基本性质同步训练（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分） (2019高二上·保定月考) 学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是（）A . 对立事件B . 不可能事件C . 互斥但不对立事件D . 不是互斥事件2. （2分）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一次击中飞机}，D={至少有一次击中飞机}，下列关系不正确的是（）A . A⊆DB . B∩D=C . A∪C=DD . A∪B=B∪D3. （2分） (2019高二上·长沙期中) 从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（）A . “恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B . “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C . “都是白球”与“至少有一个黑球”D . “至少有一个黑球”与“都是黑球”4. （2分） (2019高二下·阜平月考) 离散型随机变量X的概率分布列如下：则c等于（）X1234P0.20.30.4cA . 0.1B . 0.24C . 0.01D . 0.765. （2分）如果事件A与B是互斥事件且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率是（）A . 0.4B . 0.6C . 0.8D . 0.26. （2分）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A . A与BB . B与CC . A与DD . C与D二、填空题 (共4题；共4分)7. （1分） (2018高二上·东台月考) 在随机抛掷一颗骰子一次的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于6的点数”，则事件发生的概率为________．8. （1分） (2018高二下·舒城期末) 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）9. （1分） (2018高一下·北京期中) 下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，若一模考试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交。