江苏省苏北四市2010届高三上学期期末联考（数学）注意事项:1．考试时间120分钟，试卷满分160分．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}20B x x x =-≤，则A B = ▲ ．2．复数(1i )(12i )z =++（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3．运行如图的算法，则输出的结果是 ▲ ．4．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[96，106]，若样本中净重在[96,100)的产品个数是24，则样本中净重在[98,104)的产品个数是 ▲ ．5．已知函数21()log ,,22f x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，若在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上随机取一点0x ，则使得0()0f x ≥的概率为 ▲ ．6．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为3π，若向量||||=+a b p a b ，则=p ▲ ． 7．已知曲线()sin 1f x x x =+在点(,1)2π处的切线与直线10ax y -+=互相垂直，则实数a = ▲ ．8．由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，第4题图x ←0 While x <20 x ← x +1 x ← x 2 End While Print x第3题图则实数a 的值是 ▲ ．9．已知函数()sin()(0)3f x x ωωπ=+>，若()()62f f ππ=，且()f x 在区间(,)62ππ内有最大值，无最小值，则=ω ▲ ．10．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与b 的夹角为锐角的概率是▲ ． 11．在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2010a = ▲ ．12．已知函数[]2()2f x x x x a b =-∈，，的值域为[]13-，，则b a -的取值范围是 ▲ ．13．已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，，，，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知t 为常数，函数3()31f x x x t =--+在区间[]2,1-上的最大值为2，则实数t = ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 请在答题卡指定的区域内作答, 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin 3cos a AB =， （1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围．16．如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1AC 中点．求证：（1）直线//FM 平面1A EB ；（2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．17．已知数列}{n a 是等比数列，n S 为其前n 项和．（1）若4S ，10S ，7S 成等差数列，证明1a ，7a ，4a 也成等差数列；（2）设332S =，62116S =，2n n b a n λ=-，若数列}{n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．18．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ＡＢＣＥ Ｆ图①ＢＣＥＦ Ｍ 1A图②19．在矩形ABCD 中，已知6AD =，2AB =，E 、F 为AD 的两个三等分点，AC 和BF 交于点G ，BEG ∆的外接圆为⊙H ．以DA 所在直线为x 轴，以DA 中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求以F 、E 为焦点，DC 和AB 所在直线为准线的椭圆的方程； （2）求⊙H 的方程；（3）设点(0,)P b ，过点P 作直线与⊙H 交于M ，N 两点，若点M 恰好是线段PN 的中点，求实数b 的取值范围．20．已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在函数()3()0f x ax bx a =+>图象上．（1）若正方形的一个顶点为(2,1)，求a ，b 的值，并求出此时函数的单调增区间； （2）若正方形ABCD 唯一确定，试求出b 的值．数学附加题（考试时间30分钟，试卷满分40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．第21（A ）题B ．选修4－2：矩阵与变换已知圆22:1C x y +=在矩阵A =00a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(0,0)a b >>对应的变换下变为椭圆1422=+y x ，求,a b 的值．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为π2)4ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），求直线l 被圆C 所截得的弦长．D ．选修4－5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．22．【必做题】如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，1AF =．（1）求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；（2）在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA 所成的角为60，试确定点P 的位置．BEFDC 第22题图23．【必做题】已知33331111()1234f n n =++++，231()22g n n =-，*n ∈N ．（1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．参考答案一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1.{}0,1；2.1-；3.25；4.60；5.23；3； 7.1-； 8.1；9.12；10.512；11. 4； 12.[2,4]；13.(211，）； 14. 1.二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分.15．（1）在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin a bA B =， ……………2分又因为sin 3cos a AB =，所以sin 3cos B B =， ……………4分所以tan B =又因为0πB << , 所以π3B =． ……………6分（2）在△ABC 中，πB C A +=-，所以cos()cos B C A A A +=-=π2sin()6A - ， ……… 10分 由题意，得π3≤A ＜2π3 , π6≤π6A -＜π2， 所以sin(π6A -)1[,1)2∈，即 2sin (π6A -)[1,2)∈， 所以A C B sin 3)cos(++的取值范围[1,2)． ………………14分 16.（1）取1A B 中点N ，连接,NE NM ，则MN 12BC ,EF 12BC ,所以MN FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ，……4分又因为11,FM A EB EN A EB ⊄⊂平面平面，所以直线//FM 平面1A EB ． ……………………………………………7分（2）因为E ，F 分别AB 和AC 的中点，所以1A F FC =，所以1FM AC ⊥…9分同理，1EN A B ⊥,由（1）知，FM ∥EN ，所以1FM A B ⊥又因为111AC A B A =, 所以1FM A BC ⊥平面, ……………………………12分又因为1FM A FC ⊂平面所以平面1A FC ⊥平面1A BC ． ………………………………………14分17.（1）设数列}{n a 的公比为q ，因为4S ，10S ，7S 成等差数列，所以1q ≠，且74102S S S +=．所以()()()q q a q q a q q a --+--=--11111127141101， 因为0q ≠，所以6321q q =+． …………………………………………4分所以361112a a q a q +=，即1472a a a +=． ∥ ＝ ∥＝∥ ＝ Ｂ 1AＣＥＦ Ｍ Ｎ所以174,,a a a 也成等差数列． ………………………………………………6分（2）因为332S =，62116S =，所以()231131=--qq a ，……………………① ()16211161=--q q a ，……………………②由②÷①，得3718q +=，所以21-=q ，代入①，得21=a ．所以1212-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=n n a ， ………………………………………………………8分又因为2n a b n n-=λ，所以21212n b n n -⎪⎭⎫⎝⎛-=-λ，由题意可知对任意*n ∈N ，数列}{n b 单调递减，所以n n b b <+1，即()<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212n n λ21212n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛--λ，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 恒成立， ………………………………10分当n 是奇数时，(21)26n n λ+>-，当1n =时，(21)26nn +-取得最大值－１，所以1λ>-； ………………………………………………………………12分当n 是偶数时，(21)26n n λ+<，当2n =时，(21)26nn +取得最小值103，所以λ310<． 综上可知，1013λ-<<，即实数λ的取值范围是10(1,)3-．…………14分18.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：1800002002y x x x =+-…………………………………………………4分200200≥=，当且仅当1800002x x =，即400x =时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．…………………8分 （2）设该单位每月获利为S ,则100S x y =-…………………………………………………………………10分2211100(20080000)3008000022x x x x x =--+=-+- 21(300)350002x =---因为400600x ≤≤，所以当400x =时，S 有最大值40000-．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．…………16分19．（1）由已知，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由于焦点E 的坐标为(1,0)，它对应的准线方程为 3x =，…………………2分所以1c =，23a c =，于是 23a =，22b =，所以所求的椭圆方程为: 22132x y +=． …………………………………4分(2) 由题意可知(3,0)A ，(3,2)B ，(3,2)C -，(1,0)F -．所以直线AC 和直线BF 的方程分别为:330x y +-=，210x y -+=，由330210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，， 解得3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以G 点的坐标为34(,)55．………………6分 所以2EG k =-，12BF k =，因为1EG BF k k ⋅=-，所以EG BF ⊥，…………………………………………8分所以⊙H 的圆心为BE 中点(2,1)H，半径为BH =，所以⊙H 方程为22(2)(1)2x y -+-=.………………………………………10分 (3) 设M 点的坐标为00(,)x y ，则N 点的坐标为00(2,2)x y b -，因为点,M N 均在⊙H 上，所以22002200(2)(1)2,(22)(21)2,x y x y b ⎧-+-=⎪⎨-+--=⎪⎩①②，由②－①×4，得20084(1)290x b y b b +-++-=， 所以点00(,)M x y 在直线284(1)290x b y b b +-++-=，………………12分 又因为点00(,)M x y 在⊙H 上，所以圆心H （2，1）到直线284(1)290x b y b b +-++-=的距离 22164(1)2926416(1)b b b b +-++-≤+-，………………………………14分 即22110482(1)b b -+≤+-（），整理，得42(1)12(1)280b b ----≤，即22[(1)2][(1)14]0b b -+--≤， 所以114114b ≤≤b 的取值范围为[114,114]．………16分 解法二：过H 作HK MN ⊥交MN 于K ， 设H 到直线PM 的距离HK =d ，则2233PK MK MH d ==-，2222298188PH PK d MH d d +=-=-，又因为222(1)4PH PQ QH b =+=-+2188d -2(1)4b =-+22814(1)d b =--，因为20816d ≤≤，所以2014(1)16b ≤--≤，所以2(1)14b -≤，11b ≤≤解法三：因为PH PM M H ≤+，22PM M K M H =≤，所以3PH MH ≤=P HON MK xy Q所以PH ==2(1)14b -≤，11b ≤20. (1)因为一个顶点为(2,1)，所以必有另三个顶点(2,1)--，(1,2)-，(1,2)-，将(2,1)，(1,2)-代入3y ax bx =+，得65=a ，617-=b ． …………………4分所以3517()66f x x x =-．因为21()(1517)6f x x '=-，令()0f x '>，得1715x >1715x <- 所以函数()f x 单调增区间为17(,)15-∞-和17(,)15+∞．……………………6分（2）设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为(0)y kx k =≠，则对角线BD 所在的直线方程为1y x k =-．由3,,y kx y ax bx =⎧⎨=+⎩解得2k b x a -=， 所以222222(1)(1)k bAO x y k x k a -=+=+=+⋅，同理，22221111[1()]b b k k k BO k a k a --++=+-⋅=-⋅， 又因为22AO BO =，所以3210k k b b k -++=．……………………………10分即2211()0k b k k k +--=，即211()()20k b k k k ---+=．令1k t k -= 得220t bt -+=因为正方形ABCD 唯一确定，则对角线AC 与BD 唯一确定，于是1k k -值唯一确定，所以关于t 的方程220t bt -+=有且只有一个实数根，又1k t k -=∈R ．所以280b ∆=-=，即b =±14分因为20k b x a -=>，0a >，所以b k <；又 10b k a -->，所以1b k <-，故0b <． 因此22b =-反过来22b =-2t =-12k k -=-于是26k -+，126k ---=；或26k --=，126k -+-=于是正方形ABCD 唯一确定．……………………………………………………16分数学附加题 参考答案与评分标准A 因为CD ＝AC ，所以∠D ＝∠CAD ．因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠EBC ＝∠CAD ，所以∠EBC ＝∠D ．……………………………………5分 因为∠ABC ＝∠ABE ＋∠EBC ，∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ．所以∠ABE ＝∠EBC ，即BE 平分∠ABC ．……………………………………10分 B 设),(P 00y x 为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点00(,)P x y '''，则 000000x x a y b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，…………………………………………… 2分 0000,,x a x y b y '=⎧⎨'=⎩ 所以 0000,,x x a y y b '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩……………………………………………4分 又因为点),(P 00y x 在圆C :122=+y x 上，所以,12002=+y x …………6分 所以 2200221x y a b ''+=，即 12222=+b y a x ．由已知条件可知，椭圆方程为1422=+y x ，……………………………8分所以 ,12=a 24b =，因为 ,0>a ,0>b所以 ,1=a 2b =。
