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浅谈有限差分法在求梁变形时的应用

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｛ ｝ ｙ （ ｘ ． ＿ １ ） ＝ ｙ （ ） 一 Ｙ ’ （ ） ｈ ＋ ￣ Ｔ ｔ ） ｍ （ ｘ ｉ ） ｈ ２
： ‘
（ ２ ）
ｌ ｙ （ ｘ ｉ ＋ １ ） ＝ ｙ （ ） 【 ｉ ） 一 Ｙ ’ （ 】 【 ｉ ） ｈ ＋ — ； １ ‘ ｘ １ ） ｈ
变形。 二、 有 限差分 法
二阶中一 ｔ ｌ ， 差分 △ ２ ｙ ＿ Ａｙ 一 △ｙ 。 。 ， Ｔ NhomakorabeaＴ
三、 梁变形差分法公式 设ｖ ＝ ｆ （ ｘ ） 代表 图１ 所示光滑连续 函数的曲线 ， 同时也可
以将其 比拟为梁变形的挠曲线 。取横坐标Ｘ Ｘ ｉ － 。 ， ， Ｘ ｉ ＋ ， Ｘ ｉ 也 各点 ， 为方便计算取各相邻点间距均等于ｈ 。各点对应 的函 数值依次为Ｙ “， Ｙ ｉ Ｙ ｉ ， Ｙ …Ｙ ｉ 。 把函数ｙ ＝ ｘ ） 在点ｘ ｉ 附近以泰 勒级数的形式展开， 忽略三阶以上 的高阶微量 ， 其表达式为
将上式ｙ ’ （ ） 与ｙ ｎ （ ） 【 ｉ ） 视为未知量 ， 解方程组（ ２ ） 得到（ ３ ）
式：
在教学 内容上 ，体现出学校理论与实验与企业需求相
协调统一。充分体现乳制品检验项 目真实性与有效性 、 检 验方法的适宜性和时效性、 教学内容与工作情况一致性 、 学 生与企业员工相容性。另外 ， 在实际工作中， 企业产品检测 所用到的仪器以紫外分光光度计 、酸度计 、高效液相色谱 仪 、原子吸收分光光度计等大型设备为主。因此课程大幅 度提高精密仪器在分析检测 中的应用， 强化仪器的操作 、 检 测的原理以及结果分析 ， 使学生对乳品分析课程有一个整 体的认识 ，更好地掌握常用 的分析方法。对于那些生产实 践中很少应用到的方法 ， 不作为授课的重点， 甚至有的内容
为此作为专业教师提高乳品分析实验课的教学质量是一项长期而艰巨的任务只有不断地探索才能使学生的实际动手能力及分析解决问题的能力得以提高对培养适应新世纪乳品行业的实用人才具有重要而又深远的意义
２ ０ １ ４年 ３月 第 １ ０期
教 育 教 学 论 坛
ＥＤ ＵＣ ＡＴＩ Ｏ Ｎ ＴＥ ＡＣ ＨＩ ＮＧ Ｆ ＯＲ ＵＭ
关键词 ： 差分法； 变形； 精确度
中图分类号 ： Ｇ６ ４ ２ ． ４
一
文献标志码 ： Ａ
文章编号： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ４ ） １ ０ 一 ｏ ０ ８ ４ — ０ ２
一
、
引言
阶中心差分 △ｙ ＝ ｙ ｉ ＋ １ 一 Ｙ ｉ ，
丁
、
在实际工程 中， 会看到各种形式的建筑结构 ， 其 中梁是 建筑结构中的主要构建之一 。由于建筑物都要承受载荷的 作用以及 自身受重力作用，建筑结构中的梁一般情况下就 会发生弯曲变形 。 如何求梁变形 的大小 ， 在实际当中有许多 计算 的方法 ， 但最基本的方法是积分法。 对于有些载荷复杂 且是变截面杆的梁 ，用积分法求解梁的变形十分麻烦且工 作量较大。下面给大家介绍一种新方法一有限差分法求梁
Ｍ ａｒ ． ２０１ ４
Ｎ Ｏ． １０
【 学 法 指 导 】
浅谈有限差分法在求梁变形时的应用
田来社
（ 青岛港湾职业技术学院， 山东 青岛 ２ ６ ６ ４ ０ ４ ）
摘要 ： 本文运用数 学中有限差分的方法 ， 对 梁变形的求解进行 了严 密、 系统 的分析。利用泰勒级数 ， 结合 梁挠 曲线方 程， 建立 了梁变形差分的一般 计算公式。通过具体 实例 ， 验证 了有限差分法精确度能满足工程上的要 求。
ｙ ＝ ｙ （ ｘ ｉ ） ＋ ｙ ’ （ Ｘ ｉ ） （ Ｘ － Ｘ ｉ ） 十 ｙ ｎ （ ｘ 一 】 【 ｉ ） （ １ ）
有限差分法是一种数值计 算方法 。现介 绍有 限中心差分 内容如下 ： 设 函数ｙ ＿ ｆ （ ｘ ） 在点Ｘ ｏ ＜Ｘ ｌ ＜
分别将Ｘ ： Ｘ ｉ 一 和Ｘ ＝ Ｘ ｉ ＋ 代入（ １ ） 式， 考虑到相邻点为等距ｈ
就会得到
ｘ ２ ＜Ａ＜ｘ 。 处 对应 的函数值分别
是Ｙ ｏ ＜Ｙ ｌ ＜ｙ ２ ＜ Ａ ＜ｙ ， ￣ ｌ ｌ ｆ （ ｘ ｉ ） ： （ ｉ ＝ ０ ， １ ， ２ ， Ａ， ｎ ） 。 则有限差分的 ‰ 中心差 分定义 式 为 ： 图 １ 光 滑连 续 函数 曲线
食用。
可 以删 去。 乳品工程专业在学生最后１ 年 的实践环节 ， 能够很好地
乳品安全问题层出不穷 ，尤以安徽阜 阳劣质奶粉事件和三 鹿三聚氰胺事件为代表 ， 影响恶劣。 分析检测是乳品安全管 理的核心环节 ， 关系到广大消费者的生命健康和社会稳定 ， 同时检测结果也是乳品安全监管的法律和标准等制度实施 的重要依据。但由于我 国乳制品质量安全的检测设备设施 陈旧落后 、 自动化和精密程度较低 ， 更多的是依靠检测人员 的经验 和肉眼判断 。同时现有的检测机构缺乏相应 的技术 储备和适应市场需求的应变能力 ，检测人员不能有效掌握 可操作技术 ， 这在很大程度上影响了检测结果 ， 并影响执法
２ ０ １ ２ ， （ １ ｏ ） 【 ２ １ 王丽娜 ， 付华峰． 如何提 高食品分析实验的教 学质量Ｕ ］ ． 广西轻 工业 ， ２ ０ １ ０ ， （ ６ ） ．
提高学生的乳 品分析综合实践能力 。目前我校有三个实践 基地 ： 国乳中心 、 蒙牛集 团和飞鹤乳业。在企业进行 顶岗实 习， 承担企业的工作任务 ， 由企业兼职教师指导 ， 采用“ 师傅 带徒弟” 的方法完成工作任务 ．不仅使学生掌握了规范、 熟 练的操作技能， 而且体验和感受到企业文化 ， 能够在最短的 时间内使学生在专业技能 、 实践经验 、 工作方法 、 团队合作 等方面得到提高。 五、 结束语 在我国 ，牛奶 已经 由个别群体的营养保健品转变为大 众的大宗食 品， 特别是婴幼儿 、 儿童 、 老年人 以及大 中城市 的居 民， 牛奶消费正 占有越来越大的比例 ， 乳品质量安全直 接关系到人 民群众的身体健康和生命安全。近年来 ，我国
水平和监管力度［ ４ １ 。为此 ， 作为专业教师提高乳品分析实验
课的教学质量是一项长期而艰巨的任务 ， 只有不断地探索 ，
才能使学生的实际动手能力及分析解决问题的能力得以提 高 ，对培养适应新世纪乳品行业 的实用人才具有重要而又
深远 的 意义 。
参考文献 ： … １李晓 东， 杜鹏 ， 孔保 华 ， 郑冬梅． 乳品工程专业创新 型“ ３ ＋ １ ” 人 才培养模 式的优化研 究与实践１ ３ １ ＿ 东北农 业大学（ 社会科学版 ） ，

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弹性力学-05(差分法与变分法)

弹性力学-05(差分法与变分法)

（5-6）
y
h
说明： 以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分方程
应力分量的差分表示 x
12
8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：
2 2 2 x 2 , y 2 , xy xy y x
B A d A x dx A y dy B 2 B 分步积分： x A x 2 dx x x A B B
两边积分，有：
d dx dy x y
s是x 的函数： —s —x 2 dx dx 2 x x x d ds dx ds x dx d 2 ds dx 2 ds x x
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4

4
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
B
O
B y y A Xds B A
A
yB
（ d）
xB
B
– dx
dy ds
B A Y ds x B x A

Y
X
第二章 有限差分法

第二章 有限差分法


(x
xi )3
1 4 f 4! x4
(x
xi )4
在式 2.2.1 中，分别取 x xi h, x xi h ,
得
2.2.1
f h2 2 f h3 3 f h4 4 f
fi1, j
fi, j
h( ) x
2
x2
6
x3 24 x4
fi1, j
fi,
j
h( f x
)
h2 2
2 f x2
h3 6
x
f y
fi1, j1
fi1, j1 fi1, j1 4hl
fi1, j1
2.2.14
4 f x 2 y 2
2 x2
2 f
y 2
1 h2l 2
( fi1, j1 2 fi1, j
fi1, j1 2 fi, j1 4 fi, j
2 fi, j1 fi1, j1 2 fi1, j fi1, j1 )
3 f y3
fi2, j 2 fi1, j 2 fi1, j 2l 3
fi2, j
2.2.12
4 f y 4
fi2, j 4 fi1, j 6 fi, j 4 fi1, j l4
fi2, j
另外，利用式样2.2.6 至 2.2.9， 可以导出混合导数的中心差分公 式
2.2.13
2 f xy
位于V内的结点称为内结点，位于V和S以外的结点称为外部结点，如图2-1所示。
除特殊情况外，我们一般只考虑位于V内和S上（简记为V+S）的结点，即内部结
点和边界结点。结点 xi , yi 简记为i, j
，函数f在此点的值简记为fi, j 。
y
外部虚拟结点
abaqus有限差分法

abaqus有限差分法

abaqus有限差分法Abaqus有限差分法是一种广泛应用于工程和科学计算领域的数值计算方法。

它是一种基于离散化的方法，将连续问题转化为离散问题，从而可以通过计算机程序求解。

以下是围绕“abaqus有限差分法”分步骤阐述：第一步，了解有限差分法的原理有限差分法是一种求解微分方程或偏微分方程的数值方法。

它通过将连续问题离散化，将空间和时间上的连续变量转化为有限个离散点。

有限差分法将微分方程转化为差分方程，从而可以借助计算机程序求解。

第二步，学习abaqus软件的基本知识Abaqus软件是一种通用的有限元分析软件，它可以用于求解非线性问题、动态问题、多物理场问题等。

它提供了一种简单的界面以及强大的求解器，可以大大简化复杂问题的求解。

在使用abaqus软件求解问题时，需要了解它的基本知识，如模型的建立、边界条件的设置、材料的定义、负载的施加等。

第三步，使用abaqus实现有限差分法在abaqus中使用有限差分法，需要按照以下步骤进行：1. 创建模型：在abaqus中创建模型，选择适当的材料和几何结构。

2. 离散化：将模型离散化，将连续的结构转化为有限个离散点。

3. 定义边界：定义边界条件，包括约束和负载。

4. 定义材料：定义材料的属性和本构关系。

5. 求解问题：将问题转化为差分方程，通过求解器求解。

第四步，实例演示下面以一个简单的悬臂梁为例，介绍在abaqus中使用有限差分法求解问题的具体步骤：1. 创建模型：在abaqus软件中创建一个悬臂梁的模型，包括几何结构和材料属性。

2. 离散化：将连续的悬臂梁离散化为离散点。

3. 定义边界：定义边界条件，使得悬臂梁的一个端点固定，另一个端点施加一个力。

4. 定义材料：定义悬臂梁的材料属性，如弹性模量、泊松比等参数。

5. 求解问题：通过求解器求解问题，得到悬臂梁的应力和位移等结果。

通过上述步骤，可以使用abaqus软件实现有限差分法求解问题。

需要注意的是，在实际应用中，需要对模型的建立、材料定义、边界条件的设置等进行合理的调整，才能得到准确的结果。

梁的变形分析与刚度问题

梁的变形分析与刚度问题

在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w 相比为高阶小量，故通常不予考虑。
在Oxw坐标系中，挠度与转角 存在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠曲线较为
平坦，即很小，因而上式中 tan。于是有
dw
dx
w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
梁的变形分析与刚度问题
wD0,D0
wC wC
光滑条件： C C 或 写C左 成C右
梁的变形分析与刚度问题
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续 条件）确定。
优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
梁的变形分析与刚度问题
梁的曲率与位移
根据上一章所得到 的结果，弹性范围内的挠 度曲线在一点的曲率与这 一点处横截面上的弯矩、 弯曲刚度之间存在下列关 系：
1＝ M
EI
梁的变形分析与刚度问题
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后，横截面的 位置将发生改变，这种位置的 改 变 称 为 位 移 ( displacement)。 梁的位移包括三个部分：
另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的 变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧 即为一例。这种情形下也需要研究变形。
此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补 充方程。
梁的变形分析与刚度问题
梁的位移分析与刚度问题
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方 程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方 程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变 形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定梁 的求解问题。