数形结合 化难为易
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数形结合数学思想方法小学数学中虽然没有学习函数,但还是慢慢的开始渗透函数的思想。
为初中数学学习打好基础,如确实位置中,用数对表示平面图形上的点,点的平移引起了了数对的变化,而数对变化也对应了不同的点。
下面小编给大家整理了关于数形结合数学思想方法,希望对你有帮助!1数形结合数学思想方法“数”与“形”是数学的基本研究对象,他们之间存在着对立统一的辨证关系。
数形结合是一种重要的数学思想,是人们认识、理解、掌握数学的意识,它是我们解题的重要手段,是根据数理与图形之间的关系,认识研究对象的数学特征,寻求解决问题的方法的一种数学思想。
它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的。
它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法,觖决数学问题能起到促进和深化的作用。
2数形结合数学思想方法用图形的直观,帮助学生理解数量关系,提高教学效率用数形结合策略表示题中量与量之关系,可以达到化繁为简、化难为易的目的。
“数形结合”可以借助简单的图形(如统计图)、符号和文字所作的示意图,促进学生形象思维和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
它是小学数学教材的一个重要特点,更是解决问题时常用的方法。
众所周知,学生从形象思维向抽象思维发展,一般来说需要借助于直观。
以数解形:有关图形中往往蕴含着数量关系,特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。
而我们也可以借助代数的运算,常常可以将几何图形化难为易,表示为简单的数量关系(如算式等),以获得更多的知识面,简单地说就是“以数解形”。
它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性,表示形的特征、形的求积计算等等,而有的老师在出示图形时太过简单,学生直接来观察却看不出个所以然,这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。
助表象,发展学生的空间观念,培养学生初步的逻辑思维能力。
儿童的认识规律,一般来说是从直接感知到表象,再到形成科学概念的过程。
表象介于感知和形成科学概念之间,抓住这中间环节,在几何初步知识教学中,发展学生的空间观念,培养初步的逻辑思维能力,具有十分重要意义。
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文数形结合是一种非常重要的数学思想方法,也是数学解题中要求掌握的重要思想方法之一,在数学学习中有着重要的地位.数形结合,有利于学生对数学知识的理解,落实新课标的要求,即通过“以形助数,以数解形”,能够将复杂问题简单化,抽象问题具体化.很多数学问题利用数形结合思想来解决,能够达到化难为易的目的.在初中数学教学中,教师应重视数形结合思想,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.下面结合自己的教学实践就数形结合思想在初中数学教学中的应用谈点体会.一、数形结合思想在集合问题中的应用在教学中,教师单一地讲解集合问题,很难使学生想象出各数集之间的关联性,而利用图示法,能够解决抽象的集合问题,让学生对集合问题一目了然.在图形中,一般利用圆来表示集合,两集合有公共的元素则两圆相交,两圆相离则表示没有公共的元素.例如,在学校开展兴趣班时,初中某班共有28个学生,其中有15人参加音乐兴趣班,有8人参加舞蹈兴趣班,有14人参加书法兴趣班,同时参加音乐和舞蹈兴趣班的有3人,同时参加音乐和书法兴趣班的有3人,没有人同时参加三个兴趣班,问:同时参加舞蹈班和书法兴趣班的有多少人?只参加音乐兴趣班的有多少人?图1解析:如图1,设A={参加音乐兴趣班的学生},B={参加舞蹈兴趣班的学生},C={参加书法兴趣班的学生},同时参加舞蹈和书法兴趣班的学生有x人.由题意可知,card(A交B)=3.card(A交C)=3,card(B交C)=x,则15+8+14-3-3-x=28,得x=3.因此,同时参加舞蹈和书法班的有3人,只参加音乐兴趣班的有15-3-3=9人.这样,利用图示法,可以使复杂的数学问题变得简单化和具体化,降低做题难度,有助于激发学生的学习兴趣.二、数形结合思想在函数问题中的应用函数是整个数学的重点,关于函数类型的题也数不胜数.利用函数求极值的问题是常见的题型,以数辅形,需要将图象中的数量关系整理清楚,以函数的形式表达出来,把握函数与图形之间的关系,达到快速解决数学问题的目的,体现数形结合在解题中的重要性.初中生对一次函数和二次函数的图象有着很深的了解,因此在面对这类函数问题时,往往可以根据函数图象来解答.这样,不但可以加深学生对基本概念的理解,还可以加强学生对这些基本知识的灵活运用.例如,当0 解析:方程中含有两个未知数,无法直接求解,可以转化成两个函数问题,图2求解的个数就是求函数图象的交点个数.由|1-x2|=kx+k,可构造y=|1-x2|和y=kx+k,如图2.所以原方程解的个数为3个.这样,复杂的函数问题,利用图形进行展示,能够直接得出问题的答案,强化了学生的认知,深化了学生的思维训练,提升了教学效率.三、数形结合思想在概率问题中的应用概率作为初中数学教学中的重点内容,一直是教学的难点.许多概率问题在思考中都存在着抽象,如果借助于坐标平面或数学模型的问题,以形助数,运用数形结合思想,就能够帮助学生迅速找到问题的切入点,优化解题过程,提高解题速度.总之,在初中数学教学中,数形结合思想既是一种教学手段,又是一种解题方法.运用数形结合思想,能够拓宽学生的思维;运用数形之间的关联性,以图形助数学解题,能够强化学生对数学本质的认知和了解,提高学生数学思维的灵活性、根基性等.教师应适当运用数形结合思想开展教学活动,从学生的角度出发,培养学生的综合技能和素质,提升初中数学教学质量,确保学生全面发展.。
巧用数形结合破解数学难题摘要:纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,往往事半功倍,因此,高中数学教学中必须加强数形结合,提高学生数学素质与解题能力。
关键词:巧用数形;破解数学中图分类号:G632文献标识码:B 文章编号:1002-7661 (2014) 22-191-01高中数学四大数学思想:函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归。
其中数形结合是贯穿于数学发展的一条主线,使数学在实践中的应用更加广泛和深远。
一方面,借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直观感;另一方面,将图形问题转化为代数问题,可以获得准确的结论。
“数”和“形”的信息转换、相互渗透,不仅使解题简洁明快,还开拓解题思路,为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。
数形结合是连接“数”和“形”的“桥”,它不仅是一种重要的解题方法,更是一种重要的数学思想。
一、研究的目的和意义数是形的抽象概括,形是数的直观表现,华罗庚教授说:“数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事非”数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法,数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。
数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一,是把许多知识转化为能力的“桥”,在高中数学教学中,许多抽象问题学生往往觉得难以理解,如果教师能灵活地引导学生进行数形结合,转化为直观、易感知的问题,学生就易理解,就能把问题解决,从而获得成功的体验,增强学生学习数学的信心,尤其是对于较难问题,学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决,心情更是愉悦,这样,就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性,同时,学生一旦掌握了数形结合法,并不断进行尝试、运用,许多问题就能迎刃而解。
小学数学“数形结合”思想方法的运用我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述:“数与形本相依,焉能分作两边飞,数缺形少直觉,形少数难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。
切莫忘,几何代数流一体,永远联系莫分离。
”数形结合符合人类认识自然,认识世界的客观规律。
“数”和“形”是数学的两个基本概念,全部数学大体上就是围绕这两个概念逐步展开的。
“数”与“形”的结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使相对的复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的。
数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用,本文谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。
一、以形助数——用图形的直观,帮助学生理解数量关系,提高教学效率用数形结合策略表示题中量与量之关系,可以达到化繁为简、化难为易的目的。
“数形结合”通过借助简单的图形,符号和文字所作的示意图,促进学生形象思维和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
它是小学数学教材的一个重要特点,更是解决问题时常用的方法。
众所周知,学生从形象思维向抽象思维发展,一般来说需要借助于直观。
例如:例1:把一根绳子对折三次,现在的绳子占原来绳子总长的几分之几?分析与解:这道题条件虽少,对于大部分学生单从字面上很难弄清现在绳子与原来绳子之间的关系。
如果画出线段图,思路就豁然开朗了。
对折第二次的线段长是第三次的2倍,对折一次是第二次的2倍,所以用2×2×2=81÷8=1/8利用数形结合,学生表象清晰,思维清楚,对算理能理解透彻。
如果没有图形的帮助,这样的教学理解也是不可能达到的。
二、借助表象,发展学生的空间观念,培养学生初步的逻辑思维能力儿童的认识规律,一般来说是从直接感知到表象,再到形成科学概念的过程。
高中化学解题方法指导4:数形结合思想我国著名数学家华罗庚先生曾形象地描述数形结合思想的特点:“数缺形,少直观,形缺数,难入微。
”具体地说,就是在解决问题时,根据问题的背景、关系、图形特征或使“数”的问题借助于“形”去观察,或将“形”的问题借助于“数”去思考,这种解决问题的思想称为数形结合思想。
“数形结合百般好,割裂分家万事非。
”这就明确告诉我们:在解决问题时,数与形这一对应关系犹如形影不可分离一样,“数”的问题借助于“形”去观察,以形解数;“形”的问题借助于“数”去思考,以数赋形。
这种数形结合的思想也常常用于解决化学问题,直观形象,化难为易,优化解题。
1.1 以形赋数先给出图形,然后根据图形寻找出有用的数据,最后进行计算。
这种方法是将复杂问题以图形方式表示出来,考查学生的识图能力和综合应用知识能力。
第一步:析图形,明意义分析图形的特点及变化趋势,明晰各种点(起点、拐点、极点、终点等)的意义第二步:找数据,定反应在图形中找出各段线发生的反应及离子的变化情况第三步:用原理,作判断利用化学反应原理或化学方程式进行计算并判断正误向FeI2、FeBr2的混合溶液中通入适量氯气,溶液中某些离子的物质的量随通入Cl2的物质的量的变化如图所示。
已知:2Fe2++Br22Fe3++2Br-,2Fe3++2I-2Fe2++I2。
则下列有关说法中,不正确的是A.线段BD表示Fe3+的物质的量的变化B.原混合溶液中FeBr2的物质的量为6 molC.当通入2 mol Cl2时,溶液中已发生的离子反应可表示为2Fe2++2I-+2Cl22Fe3++I2+4Cl-D.原溶液中n(Fe2+)∶n(I-)∶n(Br-)=2∶1∶3【思路点拨】第一步,依据溶液中各离子还原性强弱顺序确定反应发生的先后顺序;第二步,对照反应发生的先后顺序从图形中找出各线段对应的发生反应的各种物质及其物质的量;第三步,结合题意,判断选项正误。
【试题解析】通过题给信息可知,发生反应的先后顺序为2I-+Cl2I2+2Cl-,2Fe2++Cl22Fe3++2Cl-,2Br-+Cl2Br2+2Cl-。
浅谈数形结合在解题中的应用数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,通过在一定条件下的相互转化,使数量关系与空间形式和谐地结合起来,并在解题实践中降低难度,起到解题利器的作用。
数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”、“以数解形”、“数形转换”,即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的。
作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致可分为三种情形:一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性,即“以数解形”;二是借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即“以形助数”;三是充分的分析问题图形与数量关系,使它们互为补充,化抽象为直观,化难为易,即“数形转换”。
下面,就这三个问题来谈谈数形结合在解题中的应用:一、借助于数的精确性来阐明形的某些属性一些几何问题,如果运用数与形结合的观点去考虑形向数转化,即用代数、三角、解析几何的方法去解决,解题方法变得容易寻找。
这是因为某些几何问题,虽然图形较直观,但其已知条件和结论之间相距甚远,解题途径不易找到。
特别是需要添加辅助线才能解决的那些问题。
例1、已知:平行四边形ABCD求证:证明:如图,,,即,点评:用向量的代数方法解决平面几何问题,使问题迎刃而解,避开了繁难的几何思维问题。
二、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系根据题意正确绘制相应图形,使图形能充分反映出它们相应的数量关系,通过图形中某些元素的具体意义来求得数量关系。
例2、求不等式(1)x2-x-2>0(2)x2-x-2<0的解集。
分析:对于(1),用代数解法是按以下程序由x2-x-2>0得(x+1)(x-2)>0或或x>0。
的解集为:x|x<-1或x>2 ,虽然解集被求出,但解题结论规律性并不强,不能方便学生快捷的得出解集。
如何利用“数形结合”解决问题作者:郭双来源:《学校教育研究》2020年第24期“数缺形,少直观;形缺数,难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。
”这是著名数学家华罗庚先生对数形结合思想的透彻的阐释。
数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们相互转化、相互渗透。
数形结合思想,就是在解决问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,利用数量关系突破图形性质的问题;或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,利用图形的性质解决数量关系的问题。
利用数与形的相互转化来解决数学问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简单易行的成功方案。
画图,是数学中常用的一种解题策略。
小学生年龄小,抽象思维水平不高,而画图比较直观。
通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化,把一些复杂的问题简单化,容易找到解决问题的关键。
所以引导学生采用画图的策略,十分适合小学生的思维特点,也是我最常向学生推荐的一种解题策略。
下面谈谈我在教学中采用“数形结合”思想教学的方法。
一、数形结合,激发学习兴趣画图能把抽象的东西形象化、生动化,学生更能积极主动接受知识,变“被动学”为“主动学”。
例如,我在教学人教版二年级上册《有余数的除法》时,在讲授“余数”这一知识点时学生很难理解,于是教师便给学生提供小棒,用8根、9根、10根、11根、12根小棒摆正方形,可以摆几个正方形,还剩几根?通过拼摆正方形,学生很容易就得出结论:8根可拼成2个正方形;9根可拼成2个正方形,还剩1根;10根可拼成2个正方形,还剩2根;11根可拼成2个正方形,还剩3根;12根可拼成3个正方形;这里剩下的1根、2根、3根就是“余数”,表示剩余多出来的数。
为什么12根小棒摆正方形没有余数呢?通过图形也能很容易得知,11根再添1根,那么余数3根与新添的1根刚好又可以摆成一个正方形,所以没有余数。
也可得出结论:余数比除数小。
数学四大思想:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合;函数与方程函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。
有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界,充斥着等式和不等式。
我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。
可以说,函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。
另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。
浅谈数形结合思想在小学三年级数学教学中的渗透与应用第一篇:浅谈数形结合思想在小学三年级数学教学中的渗透与应用浅谈数形结合思想在小学三年级数学教学中的渗透与应用数形结合思想是一种重要的数学思想。
数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。
它既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法。
数形结合,可将抽象的数学语言与直观的图形相结合,是抽象思维与形象思维结合。
有些数量关系,借助于图形的性质,可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化;而图形的一些性质,借助于数量的计量和分析,得以严谨化。
那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢?一、在理解算理过程中渗透数形结合思想小学数学内容中,有相当部分的内容是计算问题,计算教学要引导学生理解算理。
在教学时,教师应以清晰的理论指导学生理解算理,在理解算理的基础上掌握计算方法,正所谓“知其然、知其所以然。
” 根据教学内容的不同,引导学生理解算理的策略也是不同的,数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
比如:小学数学三年级上册第六单元“乘法”,借助点子图帮助学生理解乘法竖式的计算过程。
“蚂蚁做操”一课的第二个问题教学中可以借助点子图把12×4拆分成2×4和10×4,并与竖式计算中的每一步对应起来,清晰地呈现出两位数乘一位数的乘法竖式的计算过程,同时还把列表的方法与两者建立了对应关系,沟通了表格、抽象竖式、直观点子图三者之间的内在联系,帮助学生理解每一步的具体含义。
对学生来说,这样处理直观生动、易于理解、印象深刻。
二、在教学新知中渗透数形结合思想在教学新知时,不少教师都会发现很多学生对题意理解不透彻、不全面,尤其是到了高年级,随着各种已知条件越来越复杂,更是让部分学生“无从下手”。
基于此,把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中,沟通图形、表格及具体数量之间的联系,强化对题意的理解。
“数形结合”在二次函数中的应用“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念,每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系,同时每一个数量关系又常常可以通过几何图形直观的反映和描述出来,这正是数形结合的思想方法在研究数学问题中的重要体现,特别地,这种数形结合的思想方法在研究有关二次函数问题时的优点显得格外地突出,所以在具体解题时,若能巧妙地进行“数”与“形”相互转化,可使问题化难为易、化繁为简,达到简洁求解问题的目的.现就形结合思想在二次函数中的体现举例说明.一、由数定形例1二次函数y =ax 2+x +a 2-1的图象可能是如图1的( )分析 由于a ≠0,且抛物线的对称轴x =-12a,这时可对分大于和小于0讨论. 解 因为a ≠0,对称轴x =-12a ,所以当a >0时,x =-12a <0,图象A 、B 、C 、D一个也不符合,当a <0时,x =-12a>0,只有图象可能符合.故应选B .评注 借助于函数的解析式来研究函数图象的性质,是一种很重要的方法. 二、由形定数例2(如图2所示的抛物线是二次函数y =ax 2-3x +a 2-1的图象,那么a 的值是 .分析 由图象可知,抛物线经过点(0,0),所以将此代入解析式即可求得a 的值.解 因为抛物线经过点(0,0),所以有0=a ×02-3×0+a 2-1, 即a 2=1,所以a =±1,又因为图象的开口向下,所以a =1舍去. 所以a 的值是-1.评注 通过对本题的求解可以看出,正确地的理解图象的意义,充分发挥图形的作用,及时捕捉求解的信息,是求解的关键.xy O xy O xy O xyO ABCD图1Oyx图2三、数形结合例3如图3,已知二次函数y =ax 2-4x +c 的图象经过点A 和点B . (1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点P (m ,m )与点Q 均在该函数图像上(其中m >0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m 的值及点Q 到x 轴的距离.分析 由图象可知,抛物线经过点A 和B 的坐标是已知的据此可以利用待定系数法求得解析式,从而可以确定该抛物线的对称轴及顶点坐标,由于点P (m ,m )与点Q 均在该函数图像上,所以可以得到m 的一元二次方程,求出m ,于是又可以求得点Q 的坐标,从而使问题获解.解(1)将x =-1,y =-1;x =3,y =-9分别代入y =ax 2-4x +c ,得221(1)4(1),9343.a c a c ⎧-=⨯--⨯-+⎪⎨-=⨯-⨯+⎪⎩解得1,6.a c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的表达式为y =x 2-4x -6. (2)因为y =x 2-4x -6=(x -2)2-10,所以对称轴为x =2;顶点坐标为(2,-10). (3)将(m ,m )代入y =x 2-4x -6,得 m =m 2-4m -6,解得m 1=-1,m 2=6. 因为m >0,所以m 1=-1不合题意,舍去.即 m =6.即P (6,6) 又因为点P 与点Q 关于对称轴x =2对称,所以P (-2,6), 所以点Q 到x 轴的距离为6.说明 本题是一道典型地二次函数与一元二次方程的综合题,数形结合、方程思想、对称思想和待定系数法又是求解的关键.另外,依形判数,以数助形是解函数型综合题时重要的思想方法.xyO3-9-1 -1AB图3抛物线对称性的应用抛物线是轴对称图形,巧用抛物线的对称性,能使不少的问题得到简捷地解决,请看下面数例.例1 已知二次函数的图象经过点A(2,-3),对称轴为直线x=1,且与x轴两个交点之间的距离为4,求这个二次函数解析式.分析:若用弦长公式求解将要解一个较为复杂的方程组,题设中有抛物线的对称轴,启示我们可应用抛物线的对称性求解.解:由题设和抛物线的对称性可知,函数图象与x轴两个交点的坐标分别为(-1,0)、(3,0),于是可设解析式为y=a(x+1)(x-3)将点A坐标代入得,-3=-3a,求得a=1∴y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3例2初三数学课本上,用“描点法”画2次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:X……-2 -1 0 1 2 ……y……-4 -2 ……根据表格上的信息回答问题,该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y= .(分析:本题的常规方法是先求函数解析式,再代入求其函数值,方法虽可行,但有一定的计算量,注意到x=0与x=2时函数值相等,启示我们可利用其对称性求解.解:∵x=0与x=2时,函数值均等于∴抛物线的对称轴为直线x=1,而横坐标为-1与3的两点恰好为一对对称点,因此,x=3时y=-4.例3抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点m(-2,-1),与x轴的两个交点为A和B,点B 在点A的右边,ΔABM的三个内角∠M、∠A、∠B的对边分别为m、a、b,若关于x的一元二次方程(m-a)x2+2bx+(m+a)=0有两个相等的实根,求这个二次函数的解析式.分析:注意到点M在AB的垂直平分线上,启示我们可借助于抛物线的对称性解题.解:∵所给二次方程有两个相等的实根∴Δ=4b2-4(m-a)(m+a)=0,可化为a2+b2=m2∴∠M=900,由抛物线的对称性可知ΔABM是以AB为斜边的等腰RtΔAB=21=2,由对称性知两个交点A、B的坐标分别为A(-3,0)、B(-1,0)设函数解析式为y=a(x+2)2-1,将点B坐标代入得a=1∴y=(x+2)2-1,即y=x2+4x+3.。
数形结合 化难为易
-----浅谈数形结合思想在小学低段教学中的应用
【摘要】美国数学家斯蒂恩说过:“如果一个特定的问题可以被转化为一个
图形,那么思想就整体地把握住了问题,并且能创造性地思索问题的解法。”数形结
合是数学中一种重要的思想方法。它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,
使代数问题几何化或使几何问题代数化,为问题解决提供简洁明快的途径。
【关键词】数形结合 低段数学 低年级学生
数学研究的对象是现实世界的数量关系(数)和空间形式(形),数是数量
关系的体现,而形则是空间形式的体现。“数”和“形”是研究数学的两个侧面,
利用数形结合能使“数”和“形”统一起来,可以使所要解决的问题化难为易,
化繁为简,思维广阔。华罗庚教授对此有精辟概述:“数无形,少直观;形无数,
难入微。”在小学生的认知结构中,数和形是两个紧密联系、互相依赖、互相促
进的部分。因为一方面小学生的抽象思维还不太发达,学习抽象的数学知识时还
必须有形象的支持;另一方面,形象化的实例很容易引起学生的兴趣,愉快的情
感能引发学生的有意注意,激发学生学习的积极性。
因此要根据解决问题的需要,把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研
究,也可把图形的性质问题转化成数量关系的问题来研究,数形结合才能真正发
挥其作用。
一、在数的认识教学时利用数形结合,帮助学生建立数感。
数感主要指关于数与数量、数量关系、运算结果估算等方面的感悟。建立数
感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中的数量关系。
《数学课程标准》把培养学生的数感作为义务教育阶段数学教育的一个重要
目标。只有为学生提供充分的可感知的现实背景,才能使学生真正理解数的感念。
例如:在一年级上册中,学生刚学习数学知识时,教材首先就是通过数与物
(形)的对应关系,初步建立起数的基本概念,认识数,学习数的加减法;通过
学科论文:小学数学学科
具体的物(形)帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学
概念;通过图形的认识与组拼,在培养学生初步的空间观念的同时,也初步培养
学生的数形结合的思想,帮助学生把数与形联系起来,数形有机结合。在以后年
级的学习中,随着学生年龄的增长,思维能力的不断提高,数与形的结合就更加
广泛与深入。
如:北师大版一上第一单元《生活中的数》,从直观模型中培养学生的数感。
又如:北师大版二下第四单元《生活中的大数》
二、在概念学习时利用数形结合,帮助学生形成概念。
建构主义认为学生学习活动的本质是:学习并非对于教师所授予的知识的被
动接受,而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。 学生在
进入小学学习之前,他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知
识特点是直观形象,看得见,摸得着。而进入小学阶段,教师如果运用数形结合
来引入新知、建构概念、解决问题,就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦,新
知识的学习就变得更简单。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性,而
我们也达到了所需的教学效果,也就是所谓深入浅出。
在三年级上册分数的初步认识中,通过具体的形的操作与实践,让学生充分
理解“平均分”,几分之一,几分之几等数学概念,掌握运用分数大小的比较,
分数的意义,分数的加减等,使数形紧密地结合在一起,把抽象的数学概念直观
地呈现在学生面前,帮助学生理解掌握分数的知识。
【案例】:教学三年级上册“认识几分之一”时,因为这节课是分数的初步
认识,所以我强调“数形结合”,通过简单明确的直观图形逐步帮助学生建立起
分数的概念。我先用一个圆代表一个饼,当着学生的面把这个饼对折后剪开成两
半,这半个饼不能用整数来表示。告诉学生:把一个饼平均分成两份,取其中的
一份(半个),就是这个饼的二分之一,让学生初步感知二分之一。然后让学生
动手操作,用自己喜欢的纸折出二分之一,涂上颜色,进一步理解。接着顺应学
生好表现的特性,放手让学生动手操作,创造分数,互动交流。我有选择地把学
生的作品贴在黑板上,然后有选择地让学生说说这些分数是怎样来的,既尊重了
学生的个性,又使学生建构了丰富的分数表象。最后引导学生进行小结,指着左
边的一组图问学生:这些图形的形状各不相同,为什么涂色部分都能用二分之一
表示?然后指着四分之一的图再问:明明折法不同,每一份的形状也不同,为什
么都可以用四分之一来表示呢?使学生明白两点:①不同的图形可以表示相同的
分数,相同图形的不同分法也可以表示同一个分数;②把一个图形平均分成几份,
每份就是几分之一。逐步去除分数的非本质属性,促进学生对分数本质含义的理
解。
从学生的思维活动过程来看:在这个片段中,学生经历了由具体到抽象的思
维过程,也就是由直观的图像,抽象成几分之一,经历了由一般到特殊的思维过
程。这样数形紧密地结合在一起,把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前,帮
助学生理解掌握分数的知识。
三、在运算、归纳法则时利用数形结合,使学生理解算理。
算理是四则运算的理论依据,它由数学概念、运算定律、运算性质等构成;
运算法则是四则运算的基本程序和方法。在教学时,教师应以清晰的理论指导学
生理解算理,在理解算理的基础上掌握计算方法,正所谓“知其然,知其所以然。
数形结合,是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。
四、在解决问题时利用数形结合,提高学生数学思维能力。
小学生在解决问题的过程中,实际上完成了两个认识上的转化。第一个转化
是指从纷乱的实际问题中,收集、观察、比较、筛选出有用的信息,从而抽象成
数学问题;第二个转化是根据已抽象出来的数学问题,全面分析其中的数量关系,
探索出解决问题的方法并求解。
运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观,成为解决问题的
有效方法之一。在分析问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,根据问题的
具体情形,把图形的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为
图形的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易。线段图也是小学
数学常用的一种揭题策略。线段图可以使抽象问题具体化、复杂关系明朗化,为
正确解题创造条件,尤其在学习分数、百分数应用问题时,学生只要把部分与整
体的关系、具体数量与比率的对应关系正确地表示出来,问题解决的任务便完成
了一半。
例如:在低段教学有关“倍”的应用问题时,线段图也能很好地发挥作用。
教师提出“有
多少只蜜蜂”的问
题,要求学生找出
相关的数学信息,
“小鸟有8只”,
蜜蜂说
“我们的只数是
小鸟的3倍”。学
生根据这种背书
关系画出示意图,
列出算式。
又如植树问
题,就是从图形中总结出解决方法。先模拟植树,得出线上植树的三种情况。
“___”代表一段路,用“\”代表一棵树,画“\”就表示种了一棵树。让
学生在这段路上种上四棵树,想想、做做,你能有几种种法?
学生操作,独立完成后,在小组里交流说说你是怎么种的?
师反馈,实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴
于黑板:
① \___\___\___\两端都种
② \___\___\___\___ 或 ___\___\___\___\一端栽种
③ ___\___\___\___\___两端都不种
师生共同小结得出:两端都种:棵数=段数+1;一端栽种:棵数=段数;两
端都不种 :棵数=段数—1。如锯木头、路边植树、上楼梯等问题,通过“形”
的教学收到了明显的效果,使得学生思维发展有了凭借,也使得数学学习的思想
方法真正得以渗透。
为了提高“数形结合”教学的效果,教师在平时教学中要特别注意以下几点:
(1)经常使用直观模型。在日常教学中,教师应有意识地引导学生认识多种直观
模型。例如:实物、点子图、面积模型和数线等。这些模型在课堂上不断呈现,
可以使学生认识到数学学习中直观模型的重要作用。
(2)鼓励使用多元表征。这样有助于培养学生用自己的方式解决问题的兴趣,
它是未来学习的基础。
(3)培养数形转化意识。在日常教学中,应结合具体内容,有意识地引导学生
见数想形、因形思数,培养学生数形相互转化的意识。
总之,“数”辅助“形”,可以将“数”形象化;“形”辅助“数”,可以使“数”
直观化。数形结合既是教师教学中的一种重要手段,也是学生数学学习的目的。
在具体教学中,教师要根据自己对数学及学生情况的理解,找到数形结合的关键
点,促进学生思维的发展和数学素养的提高。
【参考文献】
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2. 钱守旺 钱守旺的小学数学教学主张 M 中国轻工业出版社2012(8)
3. 王刚 在数形的转换中建立图形的变化J.中小学数学(小学版).2010(3)
4. 朱琛麟 建立直观形象 渗透代数思想J.小学数学教师. 2012(10)