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正弦定理与余弦定理(一)

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正弦定理、余弦定理及其应用（一）
教学目标：理解正弦定理，能用正弦定理解三角形；理解余弦定理，能用余弦定理解三角形；能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；2010年考试说明要求B 。

知识点回顾：
1.设三角形ABC 中，边c b a ,,所对的角分别为C B A 、、。

①π=++C B A ,
22π=++C B A ， 2cos 2sin C B A =+，2sin 2cos C B A =+，2
cot 2tan C B A =+；②任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；③正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin ===(R 为ABC ∆外接圆半径)；④余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，=2b __________,=2c __________.=A cos __________, =B cos ________,=C cos ________，⑤三角形面积：C ab S ABC sin 2
121高＝底⨯=∆=_______ =_________；⑥边角之间的不等关系B A b a B A sin sin >⇔>⇔>
2.在锐角三角形ABC 中，（1）最小角范围30πα≤
<；（2）中间角范围24παπ<<；（3）最大角范围23π
απ
<≤；（4）2;2π
π
<>+C B A 。

基础训练：
1.在△ABC 中，已知53sin ,135cos ==
B A ，则cos
C 的值为__________
2.在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝
π3，sin 2sin()sin 0A A C B +--=，则△ABC 的面积为
3.如果满足∠ABC=60°，8AB =， AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是
9．在△ABC 中，BC=1，3π=
∠B ，当△ABC 的面积等于3时，=C tan __
12．在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，若22b c +2a =,且
a b =则∠C=
典型例题：
在ABC ∆中，54cos ,135cos =-
=C B ，⑴求A sin 值；⑵ABC ∆的面积2
33=S ,求BC 长。

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5
A =，5b c =．（1）求sin C 的值；（2）求sin(2)A C +的值；（3）若△ABC 的面积3sin sin 2
S B C =，求a 的值．
课堂检测：
10．若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为 ．
5.已知ABC ∆中，2
1)1)(cos 1(sin =
++A A ，则A=__________________.
6.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，
△ABC 的面积为23，那么b 等于____________
7.在△ABC 中，3,1,60==︒=∠∆ABC S b A ，则
C B A c b a sin sin sin ++++=
15.在ABC ∆中，31,cos 4AB BC C ===
，（1）求sin A ； （2）求CA BC ⋅的值。

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正弦定理和余弦定理(一)

正弦定理和余弦定理(一)

A．
直角三角形
B．
锐角三角形
C．
钝角三角形
D．
不确定
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b= ，则c=（ ）
A．
B．
2
C．
D．
1
4．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA= b，且a＞b，则∠B=（ ）
A．
B．
A．D．
﹣1
A．
4 sin（B+ ）+3
B．
4 sin（B+ ）+3
C．
6sin（B+ ）+3
D．
6sin（B+ ）+3
12．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（ ）
A．
（0， ]
B．
[ ，π）
C．
（0， ]
D．
[ ，π）
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B= ，C= ，则△ABC的面积为（ ）
A．
﹣
B．
C．
﹣
D．
9．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c= + ，且∠A=75°，则b=（ ）
A．
2
B．
4+2
C．
4﹣2
D．
﹣
10．在△ABC中，AB= ，A=45°，C=75°，则BC=（ ）
A．
B．
C．
2
D．
11．△ABC中，A= ，BC=3，则△ABC的周长为（ ）
正弦定理和余弦定理（一）
正弦定理和余弦定理公式

正弦定理和余弦定理公式

正弦定理和余弦定理公式正弦定理是指在一个三角形ABC中，三角形的任意一个角a、b、c的正弦与相对应的边的比例相等，即：sin(a)/a = sin(b)/b = sin(c)/c其中a、b、c分别表示三角形的三个边长，A、B、C分别表示对应的角度。

根据正弦定理公式，我们可以推导出以下两个关系式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)A = arcsin(a/b*sin(B)) = arcsin(a/c*sin(C))B = arcsin(b/a*sin(A)) = arcsin(b/c*sin(C))C = arcsin(c/a*sin(A)) = arcsin(c/b*sin(B))这些关系式可以帮助我们在已知三角形的两个角度和一个边长的情况下，求解出其他未知的边长和角度。

正弦定理的应用：-在解决三角形边长和角度的问题时，特别是当已知一个角度和两个边长时，可以利用正弦定理来求解其他未知量。

-在几何学中，可以利用正弦定理来计算两个不相邻边的夹角。

余弦定理是用来计算一个三角形的任意一个角的余弦值的平方与其余两边长度的关系。

在一个三角形ABC中，余弦定理可以表达如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)其中a、b、c分别表示三角形的三个边长，A、B、C分别表示对应的角度。

根据余弦定理公式，我们可以推导出以下两个关系式：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bccos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2accos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab这些关系式可以帮助我们在已知三角形的三个边长的情况下，求解出三个角度的余弦值。

余弦定理的应用：-在解决三角形边长和角度的问题时，特别是当已知三个边长时，可以利用余弦定理来求解其他未知量。

2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理【课件】

2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理【课件】


cos B＝____2_a_c____； a2＋b2－c2
cos C＝_____2_a_b_____
④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A
解斜
①已知三边，求各角；
三角 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 角，求第三边和其他两
第四章 三角函数与解三角形
第22讲 解三角形
激活思维
1．在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为
(
A)
A．120°
B．90°
【解析C】．由60余°弦定理知 cos A＝b2＋2cb2c－a2D＝．－4125，°所以 A＝120°.
2．在△ABC 中，设 b＝5，c＝5 3，A＝30°，则 a＝
问题
个角
2．三角形常用面积公式
(1) S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)； (2) S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝b sin A __一__解____
b sin A＜a＜b ___两__解___
6＋ 2
则由正弦定理sinb B＝sinc C，得 c＝bssininBC＝2ssiinn6705°°＝2×
4 3
＝
2＋
6 3.
2
6
3 A＝4，B＝π，b＝ 3，则 a＝5______，c＝____5________．
53
【解析】由 cos A＝45，可知 A 为锐角，所以 sin A＝ 1－cos2A＝35.由正弦定理，得 a＝
1.1 正弦定理和余弦定理

1.1 正弦定理和余弦定理

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理（一）预习导学【学习目标】1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

2、能运用正统定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题。

【知识链接】下列说法中，正确的有 。

（1）在直角三角形中，若C 为直角，则sinA=ca;（2）在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B ； （3）在△ABC 中，C=л―A ―B（4）利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等；（5）在△ABC 中，若sinB=22，则B=4 ；【预习引导】1、在Rt △ABC 中的有关定理 在Rt △ABC 中，C=90°，则有：（1）A+B= ，0°＜A ＜90°，0°＜B ＜90°； （2）a 2+b 2= （勾股定理）；（3）A a sin = ； B b sin ＝ ； C csin = ；2、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ，这个比值是三角形外接圆的 。

3、解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的 。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 。

课堂讲义要点一 正弦定理的推导与证明 例1 在锐角△ABC 中，根据右图证明：A a sin =B b sin =Cc sin 。

规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有：（1）A a sin =B b sin ，B b sin =C c sin ，A a sin =C csin 。

（2）b a =B A sin sin ，c a =C A sin sin ，c b =CB sin sin 。

（3）asinB=bsinA ，asinC=csinA ，bsinC=csinB 。

（4）a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 。

跟踪演练1 在钝角△ABC 中，如何证明A a sin =B b sin =Ccsin 仍然成立？要点二 已知两角及一边角三角形例2 （1）已知△ABC 中，a=20，A=30°，C=45°，求B ，b ，c 。