2016-2017年上海市青浦区高一上学期期末数学试卷带答案

2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有10题，满分30分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1．（3分）满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}条件的集合A的个数为．2．（3分）不等式≤0的解集为．3．（3分）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）＝x2+4x（x≥﹣2），则f（12）＝．4．（3分）若x＞1，则的最小值为．5．（3分）已知函数f（x）＝ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b＝．6．（3分）函数f（x）＝log2（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为．7．（3分）若函数f（x）＝ax2+2x﹣2有且仅有一个零点，则实数a的值为．8．（3分）若函数y＝3﹣x﹣m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是．9．（3分）如果函数y＝f（x）是偶函数且有五个零点，则这五个零点之和为．10．（3分）已知方程25x﹣5x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分16分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。

11．（4分）已知M和N分别是不等式a1x+b1＞0和a2x+b2＞0的解集，其中a1，b1，a2，b2为非零常数，则M＝N是＝的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要12．（4分）已知函数f（x）是R上的增函数，它的图象经过点A（0，﹣2），B（3，2），则不等式|f（x+1）|≥2的解集为（）A．[﹣1，2]B．（﹣∞，﹣1）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）13．（4分）以下四个函数：y＝2x，y＝x2，y＝log2x，y＝中，满足当0＜x1＜x2时，f（）＞恒成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．（4分）函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x）＜f（x+1），给出以下命题：①f（x）在R上是增函数；②可能存在M＞0，使得对任意的x∈R，f（x）≤M恒成立；③可能存在x0，使得f（x0）＝f（x0+）成立；④f（x）没有最大值和最小值．则正确的命题得个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题共有4题，满分54分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

2016-2017学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}，则A∩B=．2．（3分）不等式|x﹣3|≤1的解集是．3．（3分）不等式＞4的解集是．4．（3分）已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是．6．（3分）已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是．7．（3分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是．8．（3分）函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．9．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为．10．（3分）设f（x）=log2（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围是．11．已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于函数y=h（x）的下列4个结论：①函数y=h（x）的图象关于原点对称；②函数y=h（x）为偶函数；③函数y=h（x）的最小值为0；④函数y=h（x）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为．（将你认为正确结论的序号都填上）二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）12．（4分）设全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3，4，5，6}B．{1，3，5}C．{2，4，6}D．∅13．（4分）设x∈R，则“x＜﹣2”是“x2+x≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=|x|B．y=（）x C．y= D．y=﹣x315．（4分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=6，则+的最大值为（）A．B．C．1 D．216．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（x）=．若x0∈M且f（f（x0））∈M，则x0的取值范围为（）A．（0，]B．[0，]C．（，]D．（，）17．设f（x）=5|x|﹣，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（∁U A）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．19．（10分）（1）解不等式：3≤x2﹣2x＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（x）=log2||x|﹣1|．（1）作出函数f（x）的大致图象；（2）指出函数f（x）的奇偶性、单调区间及零点．21．已知f（x）=|x|（2﹣x）（1）作出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（x）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．23．（10分）已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x 对称．（1）若f（g（x））=6﹣x2，求实数x的值；（2）若函数y=g（f（x2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n的值；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）．24．已知函数f（x）=b+log a x（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（x）的解析式；（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．四、附加题25．设函数φ（x）=a2x﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分30分，共10题）1．（3分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}，则A∩B={0，2} ．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2}，B={x|x2=2x}={0，2}，∴A∩B={0，2}．故答案为：{0，2}．2．（3分）不等式|x﹣3|≤1的解集是[2，4] ．【解答】解：∵|x﹣3|≤1，∴﹣1≤x﹣3≤1，解得：2≤x≤4，故答案为：[2，4]．3．（3分）不等式＞4的解集是（2，12）．【解答】解：∵＞4，∴＞0，即＜0，解得：2＜x＜12，故答案为：（2，12）．4．（3分）已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为1．【解答】解：f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），∵函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），原函数与反函数的图象关于y=x对称∴f（x）=3x+a的图象经过（1，4），即3+a=4，解得：a=1．故答案为：1．5．（3分）命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”．【解答】解：命题“若实数a，b满足a≠4或b≠3，则a+b≠7”的否命题是“若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”，故答案为：若实数a，b满足a=4且b=3，则a+b=7”6．（3分）已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围是k≤﹣1．【解答】解：∵p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x≤3，且p是q的必要条件，∴（﹣1，3]⊆[2k﹣1，﹣3k]，∴，解得：k≤﹣1，故答案为：k≤﹣1．7．（3分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且在区间（0，+∞）单调递增，若f（﹣2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（0，2）．【解答】解：函数y=f（x）是R上的奇函数，在区间（0，+∞）单调递增∴函数y=f（x）在R上单调递增，且f（0）=0∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0．∴当x＜﹣2时，f（x）＜0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，那么：xf（x）＜0，即或，∴得：﹣2＜x＜0或0＜x＜2．故答案为（﹣2，0）∪（0，2）．8．（3分）函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为a=0或a＞4．【解答】解：函数g（x）=|x2﹣4|的图象如图所示，∵函数f（x）=|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，∴a=0或a＞4．故答案为：a=0或a＞4．9．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））=2，则实数a的值为﹣，，16．【解答】解：由f（x）=，f（f（a））=2，当log2a≤0时，即0＜a≤1时，（log2a）2+1=2，即（log2a）2=1，解得a=，当log2a＞0时，即a＞1时，log2（log2a）=2，解得a=16，因为a2+1＞0，log2（a2+1）=2，即a2+1=4解得a=（舍去），或﹣，综上所述a的值为﹣，，16，故答案为：﹣，，16，10．（3分）设f（x）=log2（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围是（﹣1，）．【解答】解：函数f（x）=log2（2+|x|）﹣，是偶函数，当x≥0时，y=log2（2+x），y=﹣都是增函数，所以f（x）=log2（2+x）﹣，x≥0是增函数，f（x﹣1）＞f（2x），可得|x﹣1|＞|2x|，可得3x2+2x﹣1＜0，解得x∈（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．11．已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于函数y=h（x）的下列4个结论：①函数y=h（x）的图象关于原点对称；②函数y=h（x）为偶函数；③函数y=h（x）的最小值为0；④函数y=h（x）在（0，1）上为增函数其中，正确结论的序号为②③④．（将你认为正确结论的序号都填上）【解答】解：∵函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=，∴h（x）=g（1﹣x2）=，故h（﹣x）=h（x），即函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，故①错误；②正确；当x=0时，函数取最小值0，故③正确；当x∈（0，1）时，内外函数均为减函数，故函数y=h（x）在（0，1）上为增函数，故④正确；故答案为：②③④二、选择题（本大题满分20分，每小题4分，共6小题）12．（4分）设全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}，B={x=2k﹣1，k∈Z}，则A ∩（∁U B）=（）A．{1，2，3，4，5，6}B．{1，3，5}C．{2，4，6}D．∅【解答】解：全集U=Z，集合A={x|1≤x＜7，x∈Z}={1，2，3，4，5，6}B={x=2k﹣1，k∈Z}，∴∁u B={x=2k，k∈Z}，∴A∩（∁u B）={2，4，6}，故选：C．13．（4分）设x∈R，则“x＜﹣2”是“x2+x≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“x2+x≥0”，解得：x＞0或x＜﹣1，故x＜﹣2”是“x＞0或x＜﹣1“的充分不必要条件，故选：A．14．（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=|x|B．y=（）x C．y= D．y=﹣x3【解答】解：对于A：y=f（x）=|x|，则f（﹣x）=|﹣x|=|x|是偶函数．对于B：，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数．对于C：定义为（﹣∞，0）∪（0，+∞），在其定义域内不连续，承载断点，∴在（﹣∞，0）和在（0，+∞）是减函数．对于D：y=f（x）=﹣x3，则f（﹣x）=x3=﹣f（x）是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数．故选D．15．（4分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=6，则+的最大值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：设x，y∈R，a＞1，b＞1，a x=b y=3，a+b=6，∴x=log a3，y=log b3，∴+=log3a+log3b=log3ab≤log3（）=2，当且仅当a=b=3时取等号，故选：D16．（4分）设集合M=[0，），N=[，1]，函数f（x）=．若x0∈M且f（f（x0））∈M，则x0的取值范围为（）A．（0，]B．[0，]C．（，]D．（，）【解答】解：∵0≤x0＜，∴f（x0））∈[，1]⊆N，∴f（f（x0））=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0），∵f（f（x0））∈M，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤∵0≤x0＜，∴＜x0＜故选：D17．设f（x）=5|x|﹣，则使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）【解答】解：函数f（x）=5|x|﹣，则f（﹣x）=5|﹣x|﹣=5|x|﹣=f（x）为偶函数，∵y1=5|x|是增函数，y2=﹣也是增函数，故函数f（x）是增函数．那么：f（2x+1）＞f（x）等价于：|2x+1|＞|x|，解得：x＜﹣1或使得f（2x+1）＞f（x）成立的x取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选D．三、解答题（本大题慢点50分，共7小题）18．（10分）已知集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，（∁U A）∩B={﹣2}，求实数p、q、r的值．【解答】解：集合A={x|x2+px+1=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∩B={1}，∴1+p+1=0，解得p=﹣2；又1+q+r=0，①（∁U A）∩B={﹣2}，∴4﹣2q+r=0，②由①②组成方程组解得q=1，r=﹣2；∴实数p=﹣2，q=1，r=﹣2．19．（10分）（1）解不等式：3≤x2﹣2x＜8；（2）已知a，b，c，d均为实数，求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．【解答】解：（1）不等式：3≤x2﹣2x＜8，即：，解得：，即x∈（﹣2，﹣1]∪[3，4）．（2）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2abcd﹣b2d2=a2d2+b2c2﹣2abcd=（ad﹣bc）2≥0∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．20．（10分）已知函数f（x）=log2||x|﹣1|．（1）作出函数f（x）的大致图象；（2）指出函数f（x）的奇偶性、单调区间及零点．【解答】解：函数f（x）=log2||x|﹣1|的定义域为：{x|x≠±1，x∈R}．函数f（x）=log2||x|﹣1|=，x=0时f（x）=0，函数的图象如图：（2）函数是偶函数，单调增区间（﹣1，0），（1，+∞）；单调减区间为：（﹣∞，﹣1），（0，1）；零点为：0，﹣2，2．21．已知f（x）=|x|（2﹣x）（1）作出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间；（2）若函数f（x）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x|（2﹣x）=，函数的图象如图：函数的单调增区间（0，1），单调减区间（﹣∞，0），（1，+∞）．（2）函数f（x）=c恰有三个不同的解，函数在x=1时取得极大值：1，实数c的取值范围（0，1）．22．（10分）如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、（1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（1）AB=2OA=2=2，∴y=f（x）=2x，x∈（0，40）．（2）y2=4x2（1600﹣x2）≤4×=16002，即y≤1600，当且仅当x=20时取等号．∴截取AD=20时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600．23．（10分）已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x 对称．（1）若f（g（x））=6﹣x2，求实数x的值；（2）若函数y=g（f（x2））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n的值；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=，∵f（g（x））=6﹣x2，∴=6﹣x2=x，即x2+x﹣6=0，解得x=2或x=﹣3（舍去），故x=2，（2）y=g（f（x2））==x2，∵定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，，解得m=0，n=2，（3）令t=（）x，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，则y=[f（x）]2﹣2af（x）+3等价为y=m（t）=t2﹣2at+3，对称轴为t=a，当a＜时，函数的最小值为h（a）=m（）=﹣a；当≤a≤2时，函数的最小值为h（a）=m（a）=3﹣a2；当a＞2时，函数的最小值为h（a）=m（2）=7﹣4a；故h（a）=24．已知函数f（x）=b+log a x（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（x）的解析式；（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．【解答】解：（1）由已知得，b+log a8=2，b+log a1=﹣1，（a＞0且a≠1），解得a=2，b=﹣1；故f（x）=log2x﹣1（x＞0）；（2）[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3，∴log2x﹣1=0或3，∴x=2或16；（3）g（x）=2f（x+1）﹣f（x）=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x++2）﹣1≥1，当且仅当x=，即x=1时，等号成立）．于是，当x=1时，g（x）取得最小值1．四、附加题25．设函数φ（x）=a2x﹣a x（a＞0，a≠1）．（1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；（2）当a=时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵φ（x）=a2x﹣a x=（a x﹣）2﹣（a＞0，a≠1），x∈[﹣2，2]，∴当a＞1时，φmax（x）=φ（2）=a4﹣a2；当0＜a＜1时，φmax（x）=φ（﹣2）=a﹣4﹣a﹣2；∴φmax（x）=．（2）当a=时，φ（x）=2x﹣（）x，由（1）知，φmax（x）=φ（2）=（）4﹣（）2=4﹣2=2，∴φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立⇔∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，即∀m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt ≥0恒成立，令g（m）=﹣2tm+t2，则，即，解得：t≥2或t≤﹣2，或t=0．∴实数m的取值范围为：（﹣∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．。

2016-2017学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（）A．6 B．8 C．7 D．92．（5分）设a，b∈R，集合A={1，a+b，a}，B={0，，b}，若A=B，则b﹣a（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣23．（5分）下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）内为增函数的是（）A．y=（）x B．y=x﹣2C．y=x2+1 D．y=log3（﹣x）5．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）下列叙述中错误的是（）A．若点P∈α，P∈β且α∩β=l，则P∈lB．三点A，B，C能确定一个平面C．若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α7．（5分）方程log2x+x=3的解所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（3，+∞）D．[2，3）8．（5分）圆x2+y2﹣ax+2y+1=0关于直线x﹣y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．±2 D．29．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为（）A．（60+4）πB．（60+8）π C．（56+8）π D．（56+4）π10．（5分）若直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[1﹣2，3]B．[1﹣，3] C．[﹣1，1+2]D．[1﹣2，1+2]11．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法的是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③12．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）在空间直角坐标系中，已知P（2，2，5）、Q（5，4，z）两点之间的距离为7，则z=．14．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b=．15．（5分）已知两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，则与它们等距离的平行线方程为．16．（5分）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a=2，求M∩（∁R N）；（Ⅱ）若M∪N=M，求实数a的取值范围．18．（12分）已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y﹣7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x﹣3y﹣3=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线AB的方程．19．（12分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、A1C1的中点．（Ⅰ）求证：CB1⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC1．21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（）A．6 B．8 C．7 D．9【解答】解：∵{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，∴集合A中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此满足条件的集合A为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7个．故选：C．2．（5分）设a，b∈R，集合A={1，a+b，a}，B={0，，b}，若A=B，则b﹣a（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2【解答】解：∵a，b∈R，集合A={1，a+b，a}，B={0，，b}，A=B，∴，解得a=﹣1，b=1，∴b﹣a=2．故选：A．3．（5分）下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=【解答】解：对于A，f（x）=x（x∈R），与g（x）=（）2=x（x≥0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于B，f（x）=x2（x∈R），与g（x）=（x+1）2（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数，图象不同；对于C，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于D，f（x）=|x|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数，图象相同．故选：D．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）内为增函数的是（）A．y=（）x B．y=x﹣2C．y=x2+1 D．y=log3（﹣x）【解答】解：函数y=（）x是非奇非偶函数，在（﹣∞，0）内为减函数，故A不满足条件；函数y=x﹣2既是偶函数又在（﹣∞，0）内为增函数，故B满足条件；y=x2+1是偶函数，但在（﹣∞，0）内为减函数，故C不满足条件；y=log3（﹣x）是非奇非偶函数，在（﹣∞，0）内为减函数，故D不满足条件；故选：B5．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选C6．（5分）下列叙述中错误的是（）A．若点P∈α，P∈β且α∩β=l，则P∈lB．三点A，B，C能确定一个平面C．若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α【解答】解：在A中，若点P∈α，P∈β且α∩β=l，则由公理二知P∈l，故A正确；在B中，三点A，B，C不共线时，能确定一个平面；三点A，B，C共线时，不能确定一个平面，故B错误；在C中，若直线a∩b=A，则由公理三知直线a与b能够确定一个平面，故C正确；在D中，若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则由公理一知l⊂α，故D正确．故选：B．7．（5分）方程log2x+x=3的解所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（3，+∞）D．[2，3）【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣3，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣3=0，f（3）=log23＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在[2，3]区间内∴方程log2x+x=3的解所在的区间为[2，3]，故选：D．8．（5分）圆x2+y2﹣ax+2y+1=0关于直线x﹣y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．±2 D．2【解答】解：圆x2+y2﹣ax+2y+1=0 即（x﹣）2（y+1）2=，表示以A（，﹣1）为圆心，以||为半径的圆．关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆x2+y2=1的圆心为（0，0），故有×1=﹣1，解得a=2，故选：D．9．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为（）A．（60+4）πB．（60+8）π C．（56+8）π D．（56+4）π【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1==（60+4）π，故选：A．10．（5分）若直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[1﹣2，3]B．[1﹣，3] C．[﹣1，1+2]D．[1﹣2，1+2]【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==2，b=1±2，（0，3）代入直线y=x+b，可得b=3，∵直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]，故选A．11．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法的是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③【解答】解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EH，所以结论正确；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选：C．12．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得：a∈[4，8），故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）在空间直角坐标系中，已知P（2，2，5）、Q（5，4，z）两点之间的距离为7，则z=11或﹣1．【解答】解：∵空间直角坐标系中，点P（2，2，5）、Q（5，4，z）两点之间的距离为7，∴=7，即（z﹣5）2=36．解得z=11或﹣1．故答案为：11或﹣1．14．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b=4．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数∴a2﹣2+a=0∴a=﹣2或1∵a2﹣2＜a∴a=1∵偶函数的图象关于y轴对称，∴=0∴b=3∴a+b=4故答案为：4．15．（5分）已知两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，则与它们等距离的平行线方程为12x+8y﹣15=0．【解答】解：两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，设与它们等距离的平行线的方程为：3x+2y+b=0，由题意可得：，解得b=﹣．与它们等距离的平行线的方程为：12x+8y﹣15=0．故答案为12x+8y﹣15=0．16．（5分）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是（﹣，）．【解答】解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（﹣，﹣1），半径r=，条件是4﹣3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即＞．化简得a2+a+9＞0．由4﹣3a2＞0，a2+a+9＞0，解之得﹣＜a＜，a∈R．故a的取值范围是（﹣，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a=2，求M∩（∁R N）；（Ⅱ）若M∪N=M，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=2，则N={x|3≤x≤5}，则∁R N={x|x＞5或x＜3}；则M∩（∁R N）={x|﹣2≤x＜3}；（Ⅱ）若M∪N=M，则N⊆M，①若N=∅，即a+1＞2a+1，得a＜0，此时满足条件，②当N≠∅，则满足，得0≤a≤2，综上a≤2．18．（12分）已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y﹣7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x﹣3y﹣3=0．（1）求点C的坐标；（2）求直线AB的方程．【解答】解：（1）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），∴，解得，∴D（0，﹣1），C（1，1）；（2）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为，即3x﹣4y﹣9=0．由，解得，∴A（3，0），∴直线AB方程为：，化简整理得，3x﹣4y﹣9=0．19．（12分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．【解答】解：（1）当0＜t≤1时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，又，∴，∴（2）当1＜t≤2时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2﹣t，又，∴∴（3）当t＞2时，综上所述20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、A1C1的中点．（Ⅰ）求证：CB1⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC1．【解答】解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，∴AB⊥平面BB1C1…（2分）∵CB1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥CB1．…（4分）∵BC=CC1，CC1⊥BC，∴BCC1B1是正方形，∴CB1⊥BC1，∵AB∩BC1=B，∴CB1⊥平面ABC1．（Ⅱ）取AC1的中点F，连BF、NF．…（7分）在△AA1C1中，N、F是中点，∴NF AA 1，又∵正方形BCC 1B1中BM AA1，∴NF∥BM，且NF=BM…（8分）故四边形BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，…（10分）∵BF⊂面ABC1，MN⊄平面ABC1，∴MN∥面ABC1…（12分）21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8，圆心坐标为C（2，7），半径r=2，|QC|==4，|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4=2；（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值，即=2，∴k=2，∴k的最大值为2+，最小值为2﹣．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设g（x）=a x，（a＞0且a≠1），g（3）=a3=8，故a=2，f（x）=，任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1＜x2，考虑y=2x在R递增，∴＞＞0，∴﹣＞0，（1+）（1+）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴y=f（x）在R递减；（2）要使f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，即f（2t﹣3t2）＞﹣f（t2﹣k）成立，即f（2t﹣3t2）＞f（k﹣t2）成立，由（1）得：2t﹣3t2＜k﹣t2，即k＞﹣2t2+2t恒成立，设h（t）=﹣2t2+2t=﹣2+，h（t）max=，故k＞．。

2017-2018学年上海市杨浦区复旦大学高一年级上学期期末考试数学试卷（满分150分 完成时间：120分钟）一、填空题（每题4分，共48分）1.函数y =的定义域是 . 【答案】[)1,+∞2. 已知函数()()()135,0log ,0f x x f x x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()2017f = .【答案】1- 3.已知函数()13af x x-=的定义域是非零实数集，且在(),0-∞上是增函数，在()0,+∞上是减函数，则最小的正整数a = .【答案】34.设函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，且()()111xf x x x-=≠-+，则()g x = .【答案】()111xx x-≠-+ 5.函数()20.1log 2y x x =--的递增区间是 . 【答案】(),1-∞- 6.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于 对称. 【答案】()0,07.已知lg 2,lg3a b ==，用,a b 的代数式表示12log 25= . 【答案】222ab a-+8.函数()()()log 10,1a f x x a a =+>≠的定义域和值域都是[]0,2，则a =.9.已知函数()2121,1log ,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 .【答案】()1,0-10.若(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[)4,811.已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[]1,1x ∈-时，()21xf x =-，则函数()()lg F x f x x =-的零点有 个 【答案】10【解析】函数()()lg F x f x x =-的零点恰好对应函数()y f x =与函数lg y x =图像的交点，如图所示，则函数()F x 的零点个数为10个。