2018-2019学年下学期高一年级期末考试试卷数学试卷

人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不重合平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m α⊥，m n P ，则n α⊥ C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，αβ⊥，则m βP【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B2．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，32BA BC AC ===，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A ．B ．22πC ．12πD ．20π【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B3．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【来源】山西省康杰中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文)试题 【答案】B4．鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下､左右､前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖一些凹槽而成.若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根最短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个球形容器内，使鲁班锁最高的三个正四棱柱形木榫的上､下底面顶点分别在球面上，则该球形容器的表面积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．24πB ．25πC ．26πD ．27π【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】D 5．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】C6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【来源】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题 【答案】B7．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．2C ．D 【来源】西藏自治区拉萨中学2018届高三第七次月考数学（文)试题 【答案】D8．如果直线l 上的一点A 沿x 轴在正方向平移1个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是（ ） A ．3 B ．13C ．-3D ．−13【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】C9．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．8√23D ．8√2【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B10．直线y =kx +3与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M,N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[−√3,√3]B ．(−∞,−√3]∪[√3,+∞)C ．[−√33,√33] D ．[−23,0]【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】A11．已知点P(2,1)在圆C:x 2+y 2+ax −2y +b =0上，点P 关于直线x +y −1=0的对称点也在圆C 上，则实数a,b 的值为（ ）A ．a =−3,b =3B ．a =0,b =−3C ．a =−1,b =−1D ．a =−2,b =1 【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B12．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π【来源】山西省2019-2020学年高二上学期10月联合考试数学（理)试题 【答案】B13．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，AD =CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8πB ．9πC ．10πD ．12π【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】A14．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-【来源】江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是为1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ）A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行【来源】2015届福建省三明市一中高三上学期半期考试理科数学试卷（带解析) 【答案】D16． (2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°【来源】2014-2015学年湖北省安陆市一中高一下学期期末复习数学试卷（带解析)【答案】D17．如图，在直角梯形ABCD 中，0190,//,12A AD BC AD AB BC ∠====，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中，下列说法正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ACD ⊥平面ABC C ．平面ABC ⊥平面BCDD ．平面ACD ⊥平面BCD【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】B18．已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( ) A ．1B ．0C ．1-D ．222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】B19．若x 2+y 2–x +y –m =0表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A ．m >−12 B ．m ≥−12 C ．m <−12D ．m >–2【来源】2018年12月9日——《每日一题》高一 人教必修2-每周一测 【答案】A20．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③【来源】二轮复习 专题12 空间的平行与垂直 押题专练 【答案】B二、多选题21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为()4,5,3B ．点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3 D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】ACD三、填空题22．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______ 【来源】福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级期末数学试题【答案】-⎡⎣23．点E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,11B C 的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形; ②点P 在直线FG 上运动时,总有AP DE ⊥;③点Q 在直线11B C 上运动时,三棱锥1A D QC -的体积是定值;④若M 是正方体的面1111D C B A ,（含边界）内一动点,且点M 到点D 和1C 的距离相等,则点M 的轨迹是一条线段.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】①②④24．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC 与BD 所成的角为定值. ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°.④三棱锥M -ACN 体积的最大值为48. 以上所有正确结论的序号是__________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】①③④25．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，若以线段MN 为直径的圆与直线430x y a -+=有公共点，则实数a 的取值范围是___________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】[]10,10-26．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【来源】北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题27．某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为__________．【来源】黄金30题系列 高一年级数学（必修一 必修二) 小题好拿分 【答案】20328．设直线3450x y +-=与圆221:9C x y +=交于A ， B 两点，若2C 的圆心在线段AB 上，且圆2C 与圆1C 相切，切点在圆1C 的劣弧AB 上，则圆2C 半径的最大值是__________.【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】229．已知直线240x my ++=与圆22(1)(2)9x y ++-=的两个交点关于直线0nx y n +-=对称，则m n -=_______.【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】3- 30．给出下列命题： ①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； 其中说法正确的有_____（填序号）.【来源】河南省三门峡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】②③31．设直线2y x a =+与圆22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则a =________【来源】吉林省吉林市吉化第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】四、解答题32．已知圆C 的一般方程为22240x y x y m +--+=. (1)求m 的取值范围;(2)若圆C 与直线240x y +-=相交于,M N 两点，且OM ON ⊥(O 为坐标原点)，求以MN 为直径的圆的方程.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)5m <;(2)224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．如图4，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB .（1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷)文科数学全解全析 【答案】（1）证明见解析（2）d =34．已知圆的方程为228x y +=，圆内有一点0(1,2)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦．（1）当135α=︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程． 【来源】2019年12月14日《每日一题》必修2-周末培优【答案】（1（2）250x y -+=．35．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，M 是AC 与BD 的交点.求证：(1)1//D M 平面11A C B (2)求1BC 与1D M 的所成角的正弦值.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)见解析；(2)1036．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为10,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析；（237．已知圆C 的圆心在直线390x y --=上，且圆C 与x 轴交于两点(50)A ，，0(1)B ，. （1）求圆C 的方程；（2）已知圆M :221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设(,)P m n 为坐标平面上一点，且满足:存在过点(,)P m n 且互相垂直的直线1l 和2l 有无数对，它们分别与圆C 和圆M 相交，且圆心C 到直线1l 的距离是圆心M 到直线2l 的距离的2倍，试求所有满足条件的点(,)P m n 的坐标【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）22(3)4x y -+=（2）79,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 38．如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长P 为侧棱SD 上的点.（1）求证:AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P -AC -D 的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）30°39．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，侧棱1AA =E ，F 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证:1//BC 平面AEF ；（2）求异面直线AE 与1A B 所成角的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）45°40．已知直线1:2l y x =-+，直线2l 经过点(40)，，且12l l ⊥.（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与y 轴相交于点A ，2l 与y 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC V 的面积.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）40x y --=（2）941．已知曲线x 2+y 2+2x −6y +1=0上有两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)关于直线x +my +4=0对称，且满足x 1x 2+y 1y 2=0．（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程．【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析)【答案】（1）m =−1；（2）y =−x +1.42．如图，边长为4的正方形ABCD 与矩形ABEF 所在平面互相垂直，,M N 分别为,AE BC 的中点，3AF =．（1）求证：DA ⊥平面ABEF ；（2）求证：//MN 平面CDEF ；（3）在线段FE 上是否存在一点P ，使得AP MN ⊥？若存在，求出FP 的长；若不存在，请说明理由．【来源】2014届北京市东城区高三上学期期末统一检测文科数学试卷（带解析)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，94FP = 43．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，且60BAD ︒∠=，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PD 的中点.（1）证明：//EF 平面PBC .（2）若四棱锥P ABCD -的体积为A 到平面PBC 的距离.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见详解；（2.44．已知圆22:6200C x y y +--+=.（1）过点的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程；（2）已知圆M 的圆心在直线y x =-上，且与圆C 外切于点，求圆M 的方程.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）x =0x +-=；（2）224x y +=.45．已知ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A ，()2,1B --，()2,3C -．（1）求BC 边上的中线所在的直线的方程；（2）若直线l 过点B ，且与直线AC 平行，求直线l 的方程．【来源】四川省凉山彝族自治州西昌市2019-2020学年高二上学期期中数学（理)试题【答案】（1）420x y --=；（2）5110x y ++=46．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 47．已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）221x y +=；（2）n =. 48．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，22AO OC ==，PA PB AB ===AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A PD B --的余弦值.【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；49．若圆C 经过点3(2,)A -和(2,5)B --，且圆心C 在直线230x y --=上，求圆C 的方程.【来源】2010年南安一中高二下学期期末考试（理科)数学卷【答案】22(1)(2)10x y +++=50．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC .（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）求点C 到平面1A BD 的距离.【来源】吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）245。

2018-2019学年新疆和田地区皮山县职业高中高一（下）期末数学试卷一、单选题（本题共16小题，每小题2分，共32分）A ．6B ．7C ．8D ．91．（2分）数列{a n }中，a 1=-15，且a n +1=a n +2，则当前n 项和S n 最小时，n 的值为（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2分）|x |=|y |是x =y 的（ ）A ．（x +1）2+（y -1）2=5B ．（x -1）2+（y +1）2=5C ．（x -1）2+（y +1）2=5D ．（x +1）2+（y -1）2=53．（2分）圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ）√√A ．25钱B ．45钱C ．65钱D ．75钱4．（2分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？其意思是“已知A ，B ，C ，D ，E ”五个人分重量为6钱（“钱”是古代的一种重量单位）的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．（2分）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°6．（2分）直线3x -y +1=0的倾斜角为（ ）√7．（2分）如图，为了测量某湿地A ，B 两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得∠ADC =67.5°，从C 点测得∠ACD =45°，∠BCE =75°，从E 点测得∠BEC =60°．若测得DC =23，CE =2（单位：百米），则A ，B 两点之间的距离为（ ）√√A ．6B ．3C ．22D ．23√√√A ．52B ．62C ．85D ．978．（2分）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4，AD =3，AA 1=5，且∠BAD =∠BAA 1=∠DAA 1=60o ，求AC 1的长（ ）√√√√A ．3π4B ．2π3C ．π4D ．5π69．（2分）直线3x +y +1=0的倾斜角是（ ）√A ．34B ．−34C ．43D ．−4310．（2分）若sin （π-α）=-45，cosα>0，则tanα=（ ）A ．53B ．35C ．54D ．4511．（2分）过双曲线x 2a2−y 2b2=1（a >0，b >0）的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线及其渐近线交于点M ，N （均在第一象限内），若|FM |=4|MN |，则双曲线的离心率为（ ）A ．（7，-2）B ．（7，2）C ．(5，−112)D ．(−5，−112)12．（2分）已知向量a =(1，−3)，b =(3，12)，则a +2b =（ ）→→→→A ．3B ．4C ．5D ．713．（2分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=22，a 6=16，则a 3=（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1814．（2分）在等差数列{a n }中，a 2=2，a 3=4，则a 10=（ ）15．（2分）在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=48，则等差数列{a n }的前13项的和为（ ）二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）三、解答题（本题共4小题，每小题9分，共32分）A ．104B ．52C ．39D ．24A ．52B ．7C ．6D ．4216．（2分）已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=（ ）√√17．（4分）与a =（2，-1，2）共线且满足a •b =-9的向量b =。

2018-2019学年新疆喀什地区喀什十五中职业学校高中班高一（下）期末数学试卷一、单选题（本题共16小题，每小题2分，共32分）A ．38B ．39C ．41D ．421．（2分）在等差数列{a n }中，已知a 1=2，a 2+a 3+a 4=24，则a 4+a 5+a 6=（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2分）已知直线l 1：ax +y -1=0，l 2：（a -1）x -2y +1=0，则“a =2”是“l 1⊥l 2”的（ ）A ．[-18，6]B ．[-2，6]C ．[-2，18]D ．[4，18]3．（2分）若圆C ：x 2+y 2-6x -6y -m =0上有到（-1，0）的距离为1的点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．652B ．65C ．130D ．1504．（2分）已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 24+a 26+40d =a 28+a210，则该数列{a n }的前13项的和为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．（2分）直线y =33x +1的倾斜角为（ ）√A ．直线l 的倾斜角为π6B ．直线l 的法向量为(3，1)C ．直线l 的方向向量为(1，3)D ．直线l 的斜率为−36．（2分）已知直线l ：3x −y +3=0，下列结论正确的是（ ）√√√√7．（2分）已知正n 边形的边长为a ,内切圆的半径为r ,外接圆的半径为R ，则R +r =a2tanβ，其中β=（ ）A ．πnB ．π2nC ．π3nD ．π4nA ．24bB ．22bC ．4+24bD ．4+22b8．（2分）已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，a 与b 的夹角为π4，则a +b 在b 上的投影向量为（ ）→→→→→→→→→√→√→√→√→A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．（2分）直线3x +3y +1=0的倾斜角α=（ ）√A ．−2425B ．725C ．2425D ．-72510．（2分）若角α的终边过点P （-3，4），则cos 2α=（ ）A ．2B ．2或18C ．18D ．1611．（2分）设P 是双曲线x2a2-y 29=1左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是3x +4y =0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|=10，则|PF 2|等于（ ）A ．-3B ．-32C ．3D ．3212．（2分）已知向量a =（3，0），b =（x ,-2），且a ⊥（a -2b ），则x =（ ）→√→→→→√√√√A ．110B ．78C ．55D ．4513．（2分）若等差数列{a n }满足2a 8-a 9=6，则它的前13项和为（ ）A ．99B ．66C ．297D ．14414．（2分）等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39，a 3+a 5+a 9=27，则前9项的和S 9=（ ）15．（2分）已知等差数列前n 项和为S n ．且S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为（ ）二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）三、解答题（本题共4小题，每小题9分，共36分）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项A ．多821斤B ．少821斤C ．多13斤D ．少13斤16．（2分）我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）17．（4分）已知向量a =（1，m ），b =（2，-2），且 a ⊥b ，则m =．→→→→18．（4分）等比数列{a n }中，a 4，a 8是关于x 的方程x 2-10x +4=0两个实根，则a 2a 6a 10=。

山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式，化简即可得到答案。

【详解】由诱导公式可得所以选D【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题。

2.已知向量，，且，则（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据向量减法的坐标运算，表示出，再由向量垂直的坐标关系即可求得m的值。

【详解】因为向量，，由向量减法的运算可得又因为，则即解得所以选C【点睛】本题考查了向量减法和乘法的坐标运算，属于基础题。

3.若，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 将左右两边同时平方，结合同角三角函数关系式及正弦的二倍角公式即可求得的值。

【详解】因为，左右两边同时平方得因为化简可得即所以选A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式的简单应用，属于基础题。

4.已知向量，，且，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，结合正弦二倍角公式即可求得的值，代入即可得解。

详解】向量，，且所以根据向量平行的坐标运算可得由正弦二倍角公式化简可得因为所以则所以选A【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系，正弦二倍角公式的简单应用，三角函数值的求解，属于基础题。

5.圆与圆的位置关系是（）A. 外切B. 相离C. 相交D. 内切【答案】C【解析】【分析】根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系。

【详解】因为圆与圆所以两个圆的圆心距两个圆的半径分别为因为所以两个圆相交所以选C【点睛】本题考查了根据两个圆的半径判断圆与圆位置关系，属于基础题。

6.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得平移后的函数解析式，再根据余弦函数的对称轴即可求解。

2018-2019学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．（5分）若集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．∅2．（5分）连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x2B．y＝|x|C．y＝sin x D．y4．（5分）如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A．B．2πC．3πD．4π5．（5分）已知函数f（x）＝cos x，下列结论不正确的是（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为2πB．函数y＝f（x）在区间（0，π）内单调递减C．函数y＝f（x）的图象关于y轴对称D．把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度可得到y＝sin x的图象6．（5分）已知直线l是平面α的斜线，则α内不存在与l（）A．相交的直线B．平行的直线C．异面的直线D．垂直的直线7．（5分）若a＞0，且a≠1，则“a”是“函数f（x）＝log a x﹣x有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）如图，△ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则（）A．B．C．D．9．（5分）英国数学家布鲁克•泰勒（TaylorBrook，1685～1731）建立了如下正、余弦公式：sin x＝x（﹣1）n﹣1，cos x﹣1（﹣1）n其中x∈R，n∈N*，n！＝1×2×3×4×…×n，例如：1!＝1，2！＝2，3！＝6．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01）（）A．0.99B．0.98C．0.97D．0.9610．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x+m2﹣2，若存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]B．[﹣2，0）∪（0，1]C．[﹣2，0）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题：本大题共6小题，共32分，其中第11-14题，每小题5分，第15、16小题，每小题都有两个空、每个空3分.11．（5分）设i为虚数单位，复数z＝i（4+3i）的模为．12．（5分）已知（2，4），（1，3），则•．13．（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7．现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为．14．（5分）某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有人．15．（6分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则ω＝；tanφ＝．16．（6分）棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm（如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥A﹣A1BC（如图2），则a＝；h＝．三、解答题：本大题共5小题，第17题12分，其余每小题12分，共68分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＞c，且2c sin A a．（1）求角C的大小；（2）若c＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且∠AOP，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q（a，b）．（1）当θ 时，求ab的值：（2）设θ∈[，]，求b﹣a的取值范围．19．（14分）某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：（2）根据以上图表数据，计算得样本的平均数为28.5km，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点：（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？20．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点．（1）求证：平面EFC⊥平面BB1D；（2）请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O（保留必要的辅助线），写出画法，并计算的值（不必写出计算过程）．注：请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑．21．（14分）己知函数f（x），，，＞，其中a∈R．（1）当a＝l时，求f（x）的最小值；（2）设函数f（x）恰有两个零点x1，x2，且x2﹣x1＞2，求a的取值范围．2018-2019学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．（5分）若集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．∅【解答】解：∵集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2}．故选：B．2．（5分）连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率：P．故选：C．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x2B．y＝|x|C．y＝sin x D．y【解答】解：对于A．y＝x2，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于B．y＝|x|，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于C．y＝sin x，奇函数，不满足题意，对于D．y，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选：D．4．（5分）如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A．B．2πC．3πD．4π【解答】解：如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体，∴该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积：S3π．故选：C．5．（5分）已知函数f（x）＝cos x，下列结论不正确的是（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为2πB．函数y＝f（x）在区间（0，π）内单调递减C．函数y＝f（x）的图象关于y轴对称D．把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度可得到y＝sin x的图象【解答】解：由余弦函数f（x）＝cos x的性质可知，函数的周期是2π．A正确．余弦函数f（x）＝cos x在区间（0，π）内单调递减，所以B正确；余弦函数是偶函数，所以C正确；函数的图象把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度可得到y＝﹣sin x的图象，所以D不正确．故选：D．6．（5分）已知直线l是平面α的斜线，则α内不存在与l（）A．相交的直线B．平行的直线C．异面的直线D．垂直的直线【解答】解：直线l是平面α的斜线，则α内不存在与l平行的直线，故选：B．7．（5分）若a＞0，且a≠1，则“a”是“函数f（x）＝log a x﹣x有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a时，函数f（x）＝log a x﹣x在（0，+∞）是单调递减函数，∵f（）＞0，f（1）＝﹣1＜0，∴f（）•f（1）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上存在零点，即充分性满足；又当a时，同理可推出函数f（x）存在零点，即必要性不满足；故“a”是“函数f（x）＝log a x﹣x有零点”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）如图，△ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则（）A．B．C．D．【解答】解：据题意得，G为△ABC的重心；∴．故选：C．9．（5分）英国数学家布鲁克•泰勒（TaylorBrook，1685～1731）建立了如下正、余弦公式：sin x＝x（﹣1）n﹣1，cos x﹣1（﹣1）n其中x∈R，n∈N*，n！＝1×2×3×4×…×n，例如：1!＝1，2！＝2，3！＝6．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01）（）A．0.99B．0.98C．0.97D．0.96【解答】解：由题意，只需要精确到0.01即可，∴cos0.2＝1．1﹣0.02＝0.98．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x+m2﹣2，若存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]B．[﹣2，0）∪（0，1]C．[﹣2，0）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【解答】解：由题意，m•2x+x+m2﹣2+m•2﹣x﹣x+m2﹣2＝0有解，即，又，当且仅当“2x＝1”时取等号，∴，解得m≤﹣2或0＜m≤1．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共32分，其中第11-14题，每小题5分，第15、16小题，每小题都有两个空、每个空3分.11．（5分）设i为虚数单位，复数z＝i（4+3i）的模为5．【解答】解：由z＝i（4+3i）＝﹣3+4i，得|z|．故答案为：5．12．（5分）已知（2，4），（1，3），则•﹣6．【解答】解：（2，4），（1，3），可得（1，3）﹣（2，4）＝（﹣1，﹣1）．则•2﹣4＝﹣6．故答案为：﹣6．13．（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7．现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为0.56．【解答】解：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7．现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为p＝0.8×0.7＝0.56．故答案为：0.56．14．（5分）某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有16人．【解答】解：某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，则抽到的家长有：6416．故答案为：16．15．（6分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则ω＝2；tanφ＝．【解答】解：∵A＞0，ω＞0，由函数图象可得：A＝2，T，可得：T＝π ，∴ω＝2；∴f（x）＝2sin（2x+φ），又f（）＝2sin（2 φ），可得：sinφ ，∵0＜φ＜，∴cosφ ，可得：tanφ ．故答案为：2，．16．（6分）棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm（如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥A﹣A1BC（如图2），则a＝；h＝．【解答】解：在图2中，水的体积为V S△ABC•AA1•1，即a．∴在图1中，水的体积为V S ABED•AA1，∴S ABED，∴，故，又△ABC的高为，△CDE的高为h，∴（）2，解得h．故答案为：，．三、解答题：本大题共5小题，第17题12分，其余每小题12分，共68分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＞c，且2c sin A a．（1）求角C的大小；（2）若c＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵2c sin A a．∴由正弦定理可得：2sin C sin A sin A，∵sin A≠0，∴解得sin C，∵a＞c，C为锐角，∴可得C．（2）∵C，c＝4，△ABC的面积为，∴ab sin C，解得：ab＝4，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，可得：（a+b）2＝42+3×4＝28，∴解得a+b＝2，∴△ABC的周长a+b+c＝24．18．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且∠AOP，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q（a，b）．（1）当θ 时，求ab的值：（2）设θ∈[，]，求b﹣a的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得P（cos，sin）即为（，），a＝cos（）＝cos，b＝sin，可得ab＝sin cos sin；（2）由题意可得a＝cos（ θ），b＝sin（ θ），即有b﹣a＝sin（ θ）﹣cos（ θ）sinθ，由θ∈[，]，可得sinθ∈[，1]，则b﹣a的范围是[1，]．19．（14分）某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：（2）根据以上图表数据，计算得样本的平均数为28.5km，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点：（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？【解答】解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）中位数的估计值为：5×0.02+5×0.024+5×0.026＝0.35＜0.5．0.35+5×0.036＝0.53＞0.5．∴中位数位于区间[25，30）中，设中位数为x，则0.35+（x﹣25）×0.036＝0.5，解得x≈29.2．∵28.5＜29.2．∴估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．（3）依题意可知，休闲跑者共有（5×0.02+5×0.024）×1000＝220人，核心跑者：（5×0.026+5×0.036+5×0.044+5×0.030）×1000＝680人，精英跑者1000﹣220﹣680＝100人，∴该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要：3720元．20．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点．（1）求证：平面EFC⊥平面BB1D；（2）请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O（保留必要的辅助线），写出画法，并计算的值（不必写出计算过程）．注：请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑．【解答】解：（1）证明：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点．∴BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥EC，在Rt△DCB中，tan∠，在Rt△EBC中，tan∠BEC，∴∠DBC＝∠BEC，∵在Rt△EBC中，∠BEC+∠ECB＝90°，∴∠DBC+∠ECB＝90°，∴CE⊥BD，∵BB1∩BD＝B，∴EC⊥平面BB1D，∵EC⊂平面BB1D，∴平面EFC⊥平面BB1D．（2）设BD∩CE＝M，在平面BB1D内过点M作BB1的平行线，交BD1于点O，则O即为直线DB1与平面EFC的交点O，2．21．（14分）己知函数f（x），，，＞，其中a∈R．（1）当a＝l时，求f（x）的最小值；（2）设函数f（x）恰有两个零点x1，x2，且x2﹣x1＞2，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，，，＞，则当x≤1时，f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，f（x）＞﹣1且无最小值，当x＞1时，由二次函数g（x）＝x2﹣8x+2＝（x﹣4）2﹣14知，f（x）在（1，4]单调递减，在（4，+∞）单调递增，故f（x）min＝f（4）＝﹣14．（2）当x≤1，y＝2x﹣a不能取零点时，即2x﹣a＞0恒成立，则a≤0，当a＜0时，由二次函数g（x）＝ax2﹣8x+2a的对称轴知＜0，则二次函数g（x）不能满足在x＞1有两个零点，故不符合题意；当a＝0时，亦不符合题意．当x≤1，y＝2x﹣a能取零点时，则0＜a≤2，由二次函数g（x）＝ax2﹣8x+2a知，对称轴，由，且g（1）＝3a﹣8＜0，根据对称性g（x）在（1，+∞）上，满足△＝64﹣8a2≥0，即，其必有一零点大于3，故0＜a≤2符合题意．当2＜时，在x≤1上，y＝2x﹣a亦无零点，根据题意，在x＞1时，g（x）有两零点，且满足g（1）＞0，即3a﹣8＞0，有a＜，又因x2﹣x1＞2知＞得＜，故＜＜，综上所述，a的取值范围为0＜a＜．。

乌鲁木齐市第四中学2018-2019学年度下学期阶段性诊断测试高一年级期中考试数学试卷一、选择题（12⨯5=60分）1.已知集合41|22x A x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合{}2|3100B x x x =--≤，求A B =（ ） A. ∅ B. [3,5]C. [2,3]-D. (3,5)【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用集合交集运算律可求出集合A B 。

【详解】解不等式411222x --≥=，即41x -≥-，解得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式23100x x --≤，解得25x -≤≤，{}25B x x ∴=-≤≤， 因此，[]3,5A B =I ，故选：B 。

【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

2.10sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于( )A.12 B. 12-C.D. 【答案】C 【解析】10π2ππsin()sin sin 3332-===；故选C.3.已知向量()5,2a =r ，()3,b x =r ，()2,4c =r，且()0a b c -⋅=r r r ，则x =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】先计算出a b -的坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算律并结合条件()0a b c -⋅=r r r可得出x 的值。

【详解】()()()5,23,2,2a b x x -=-=-r rQ ，()()22421240a b c x x ∴-⋅=⨯+⨯-=-=r r r ，解得3x =，故选：B 。

【点睛】本题考查平面向量坐标的运算以及数量积的坐标运算，熟悉这些平面向量坐标运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

4.下列命题正确的是（ ） A. 若a b >，则()()a b c b a c ->-B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd >D. 若0a b >>，0c d >>，则d c a b< 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法和不等式的性质来判断各选项的正误。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学命题人：李浩宾 审题人：张宏伟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（本卷共40分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式()()31210x x +->的解集是（ ）A ．}2131|{>-<x x x 或 B ．}2131|{<<-x x C ．}21|{>x x D ．}31|{->x x 2．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．643．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y xD ．072=+-y x4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（ ） A.21 B. 22C. 2D.25．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =，则AC =（ ）A ．B ．C ．D ．26．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则46a a +与52a的大小关系是（ ）A ．46a a +＞52aB ．46a a +＜52aC ．46a a +＝52aD ．46a a +与52a 的大小与a 有关7．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ） A ．31010 B ．1010 C ．510 D ．5158．已知整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第70个数对是（ ）A ．()2,11B ．()3,10C ．()4,9D ．()5,8第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ． 10．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式是 ．（填写正确序号）11．已知点P (),a b 在直线23x y +=上，则24a b +的最小值为 ． 12．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB =5，BC =7，则ABC ∆的面积S=__________. 13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 ．14．等比数列{}n a 的首项为12015a =，公比12q =-．设()f n 表示该数列的前n 项的积， 则当n = 时，()f n 有最大值．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题满分12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：（1） 22150x x --< （2） 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求实数m 的值．16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．17．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<．18．（本小题满分14分）如图所示，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？19．（本小题满分14分）已知点(1,1)P 到直线l ：3(0)y x b b =+>的距离为2105.数列{a n }的首项11a =，且点列()*1,n n a a n N +∈均在直线l 上.（Ⅰ)求b 的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （III ）求数列{}n na 的前n 项和n S .20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足2n S n =，数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}nb 的前n 项和.（Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（III ）是否存在正整数m ，n （1＜m ＜n ），使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由.高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学参考答案一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．2 10. ①④ 11. 12．4 13. 1214. 126612015()2⨯14.解112015()2n n a -=⨯-，(1)21()2015()2n n nf n -=⋅- ∵|(1)|2015|()|2nf n f n +=，∴当n ≤10时，|(1)|2015|()|2nf n f n +=＞1，∴ | f (11) |＞| f (10) |＞…＞| f (1) |； 当n ≥11时，|(1)|2015|()|2n f n f n +=＜1，∴ | f (11) |＞| f (12) |＞…∵(11)0,(10)0,(9)0,(12)0f f f f <<>>，∴()f n 的最大值为(9)f 或(12)f 中的最大者．∵126633031093612015()(12)1201522015()()11(9)222015()2f f ⨯==⨯=>⨯-，∴ 当n =12时，()f n 有最大值为12661(12)2015()2f =⨯．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：1． 22150x x --< 2． 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求m 的值． 解：（Ⅰ）1. 22150x x --<的解集为5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭3分2．23x ≥-的解集为()20,,3⎛⎤+∞-∞- ⎥⎝⎦ 7分（Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，则0,2是2122x x mx -+=的解．故 2122222m -+⋅=，解得1m =，所以1m = 12分 16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．(1) (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c = 5分 (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-6cos 5AB AC A ABAC-∠===sin 5A ∠==12分 17．（本小题14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S . （III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

2022年高一年级下期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．若复数z ＝（i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ． B ．1C ．5D ．2．已知全集R U =，集合}32|{<<-=x x A ，}1{{<=x x B ，则=)(B C A U ( ). A ．}12|{<<-x x B ．}31|{<<x x C ．}31|{<≤x xD ．}2|{-≤x x3.在ABC ∆中，6a =，4b =，120A =︒，则cos B = （ ） A ．32 B ．63 C ．33 D ．234．如图，△A 'B 'C '是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，△A 'B ′C ′为等腰直角三角形，其中O ′与A ′重合，A 'B ′＝6，则△ABC 的面积是（ ） A ．9 B ．9C ．18D ．185．已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（ ） A ．﹣72B ．72C ．84D ．﹣846.已知432a =，254b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b <<7.在长方体1111ABCD A B C D -中， 1AB BC ==，12AA =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A 1510．0 D 68.已知三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=4，BC=23BAC=60°，则三棱锥S-ABC 外接球的表面积为( )A.32πB.64πC.80πD.128π二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为真命题的有（ ）A ．m α⊥，//m βαβ⊥⇒B ．//m n ，//n m αα⊂⇒C ．m α⊥，m βαβ⊂⇒⊥D ．m α⊥，//n m n α⊥⇒10．已知复数z ＝cos α+（sin α）i （α∈R ）（i 为虚数单位），下列说法正确的有（ ）A ．当α＝﹣时，复平面内表示复数z 的点位于第二象限 B ．当α＝时，z 为纯虚数C ．|z |最大值为D ．z 的共轭复数为＝﹣cos α+（sin α）i （α∈R ） 11.在下列函数中,最小值为2的是( )A.1y x x=+B.22x x y -=+C.1πsin ,0,sin 2y x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D.223y x x =-+12．已知函数f （x ）＝sin （ωx ﹣）（ω＞0）在[0，π]有且仅有3个零点，下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期T ＜πB ．函数f （x ）在（0，π）上存在x 1，x 2，满足f （x 1）﹣f （x 2）＝2C ．函数f （x ）在（0，）单调递增D ．ω的取值范围是[，）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合{}2|20A x x x =--≤,集合B 为整数集,则A B ⋂= . 14．已知幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则(16)f = .15．如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，VA ＝VB ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，VC ＝2，则二面角A ﹣VC ﹣B 的余弦值为 ．16．定义：如果函数y ＝f （x ）在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足f （x 0）＝，则称函数y ＝f （x ）是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．已知f （x ）＝x 4是[﹣1，1]上的平均值函数，则它的均值点为 ；若函数g （x ）＝﹣x 2+mx +1是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知向量a ，b 满足()1,3a =，3b =，且()7a a b ⋅+=．（1）求a 和b 的夹角θ的大小； （2）在ABC 中，若AB a =，AC b =，求BC ．18．（1）已知，求αα2sin 2co 2+s 的值；（2）若tan β＝tan （π﹣α），求的值．19．如图，直三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '中，D 是AB 的中点．（1）求证：直线BC ′∥平面A 'CD ；（2）若AC ＝CB ，求异面直线AB '与CD 所成角的大小．20．（12分）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得40CD =米，135ADB ∠=︒，415BDC DC ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒．（1）求B ，D 两点的距离； （2）求A ，B 两点的距离．21．如图，PA 垂直于⊙O 所在的平面，AC 为⊙O 的直径，AB ＝3，BC ＝4，PA ＝3，AE ⊥PB ，点F 为线段BC 上一动点． （1）证明：平面AEF⊥平面PBC ；（2）当点F 移动到C 点时，求PB 与平面AEF 所成角的正弦值．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？2022年高一年级下期期末数学答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C B D A A A A ACD BC BD ABD13.{}-14. 4 15. ．16.0; (0,2).1,0,1,212.【分析】设f（x）在[0，π]有且仅有3个零点a1，a2，a3，且0≤a1＜a2＜a3≤π．A，最小正周期T＝a3﹣a1即可判断；B，取x1＝，x2＝，满足f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，即可判断；D，结合正弦函数的零点，计算可得函数在y轴右侧的前4个零点分别是，，，，再列出不等式，解之即可判断；C，由选项D可知，可取ω＝3，此时f（x）＝sin（3x﹣），比较f（）和f（）的大小即可判断．解：设f（x）在[0，π]有且仅有3个零点a1，a2，a3，且0≤a1＜a2＜a3≤π，对A，最小正周期T＝a3﹣a1＜π，即A正确；对B，在（0，π）上存在x1＝，x2＝，满足f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，所以f（x1）﹣f（x2）＝2可以成立，即B正确；对D，令ωx﹣＝kπ，k∈Z，则函数的零点为x＝，k∈Z，所以函数在y轴右侧的前4个零点分别是，，，，因为f（x）在[0，π]有且仅有3个零点，则，解得ω∈[，），D正确；对C，由D选项可知，ω∈[，），不妨取ω＝3，此时f（x）＝sin（3x﹣），所以f（）＝sin（﹣）＝，f（）＝sin（π﹣）＝，即f（）＞f（），并不满足在（0，）单调递增，即C 错误． 故选：ABD ．16.【分析】由已知中的公式即可求得函数f （x ）＝x 4的均值点； 函数g （x ）＝﹣x 2+mx +1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有﹣x 2+mx +1＝＝m 在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m 的取值范围． 解：对于f （x ）＝x 4，f （0）＝＝0，故它的均值点为0．∵g （x ）＝﹣x 2+mx +1是[﹣1，1]上的平均值函数，＝m ，∴关于x 的方程﹣x 2+mx +1＝m 在（﹣1，1）内有实数根，即x 2﹣mx +m ﹣1＝0在（﹣1，1）内有实数根． 若m ＝0，方程在（﹣1，1）内无解，∴m ≠0，解得方程的根为x 1＝1，或x 2＝m ﹣1，∴必有﹣1＜m ﹣1＜1，即0＜m ＜2， ∴实数m 的取值范围是（0，2）．解答题17．（1）∵()1,3a =，∴()22132a =+=．--------------1分∵()2227a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=， ∴3a b ⋅=．-------------3分23cos 223a b a bθ⋅===⋅．--------------4分又∵[]0,πθ∈，--------------5分 ∴π6θ=．-------------6分 （2）方法1：∵BC AC AB b a =-=-，--------------7分 ∴()223461BC b a b a a b =-=+-⋅=+-=．--------------9分 ∴1BC =．--------------10分方法2：∵AB a =，AC b =， ∴2AB AB a ===，3AC AC b ===，π6A θ∠==． ∴22232cos 4322312BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯=．∴1BC =． 10分18. 解：（1）因为角α的终边过点P （1，﹣2），所以r ＝|OP |＝＝，…2分所以cos α＝＝﹣＝﹣，…4分 所以tan α＝＝＝﹣2………6分（2）tan β＝tan （π﹣α）＝﹣tan α，……7分 所以tan β＝2，……8分 ∴＝＝＝＝﹣………12分19.解：（1）证明：连接AC ′，交AC 于点O ，连接DO ，……1分 ∵直三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '中，ACC ′A ′是矩形，∴O 是AC ′中点，……3分 ∵D 是AB 的中点，∴OD ∥BC ′，……4分 ∵BC ′⊄平面A 'CD ，OD ⊂平面A 'CD ，……5分 ∴直线BC ′∥平面A 'CD ；……6分（2）解：∵AC ＝CB ，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，……7分∵直三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '中，AA ′⊥平面ABC ，∴CD ⊂平面ABC ，∴AA ′⊥CD ，……8分 ∵AB ∩AA ′＝A ，∴CD ⊥平面ABB ′A ′，……10分 ∵AB ′⊂平面ABB ′A ′，∴AB ′⊥CD ，∴异面直线AB '与CD 所成角的大小为90°．----------12分20．（1）由题意可知15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，40CD =． ∴135DCB ∠=︒，30DBC ∠=︒．----------2分在BCD 中，由正弦定理，得sin sin CD BDDBC DCB=∠∠． ----------4分∴sin 40sin 135402sin sin 30CD DCB BD DBC ∠∠︒===∠∠︒∴BD 两点间的距离为2----------6分（2）在ACD 中，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒， ∴150ADC ∠=︒，15DAC ∠=︒．----------8分∴40AD DC ==米． 在ABD 中，由余弦定理，得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠()222404022404022⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭8000=．----------11分 ∴405AB =． ∴AB 两点间的距离为405米．----------12分21.【解答】（1）证明：因为PA 垂直于⊙O 所在的平面，即PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥BC ，又AC 为⊙O 的直径，所以AB ⊥BC ，……2分因为PA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面PAB ， 又AE ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AE ，……3分 因为AE ⊥PB ，BC ∩PB ＝B ， 所以AE ⊥平面PBC ，……4分 又AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面PBC ．……6分（2）解：因为AB ＝3，PA ＝3，所以PB ＝＝3，……7分又AE ⊥PB ，所以AE ＝＝， 由AB 2＝BE •PB ，可得BE ＝，……8分 如图，过点E 作EG ∥PA 交AB 于点G ，则＝，可得EG ＝，……9分又BC ＝4，所以EC ＝＝，……10分所以S △ABC ＝AB •BC ＝6，S △AEC ＝AE •EC ＝，设点B 到平面AEC 的距离为h ，由V E ﹣ABC ＝V B ﹣AEC ，可得S △ABC •EG ＝S △AEC •h ， 解得h ＝，……11分所以当点F 移动到C 点时，PB 与平面AEF 所成角的正弦值为＝．……12分 22.解：（1）∵AC ＝40m ，BC ＝40m ，AC ⊥BC ， ∴tan B ＝＝，∴B ＝30°，∴A ＝60°， ∴AB ＝2AC ＝80，…1分 在△ACM 中，由余弦定理可得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•cos A＝1600+400﹣2×40×20×＝1200，则CM＝20，…2分∴AC2＝AM2+CM2，∴CM⊥AB，∵∠MCN＝30°，∴MN＝CM tan30°＝20，∴CN＝2MN＝40，…3分∴护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+20＝60+20，即（60+200）m；…4分（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，所以，即CN＝40sinθ，…6分在△CAN中，由，得CN＝，…7分从而40sinθ＝，即sin2θ＝，由0°＜2θ＜120°，得2θ＝45°，所以θ＝22.5°，即∠ACM＝22.5°．…8分（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知CN＝，又在△ACM中，由，得CM＝，…9分所以S△CMN＝＝，…10分，当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△CMN的面积取最小值为m2．…12分。