第2章 插值法

则Hermite插值多项式为 插值多项式为
H i ( x j ) = 0 ( i , j = 0,1, , n) h' i ( x j ) = 0 ( i , j = 0,1, , n)
H ( x) =
∑ [h ( x ) y
n i=0 i
i
+ H i ( x ) y'i ]
从而可设 :
hi ( x ) = [a + b( x x i )] [l i ( x )]
2
这里l 为拉格朗日插值基函数 这里 i(x)为拉格朗日插值基函数
把 hi ( x i ) = 1 h' i ( x i ) = 0 ( i = 0,1, , n) 代入得
a = 1; b = 2 l ' i ( x i )
从而有 :
同理可得
hi ( x ) = [1 2( x x i )l i ' ( x i )] [l i ( x )]
i ( x )是线性函数
则称 是 上的分段线性插值多项式。 则称(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值多项式。 在 上的分段线性插值多项式
二、分段线性插值多项式的构造
分段表达式
x x i +1 x xi ( x) = yi + y i +1 ( x i ≤ x ≤ x i +1 ) x i x i +1 x i +1 x i
第2章插值 章
第4节
Hermite插值
一、 Hermite插值的基本思路
插值问题的一般要求：
( xi ) = yi
( i = 0 ,1, 2 ,... n )
插值问题的较高要求：
(1 ) (2)

1 不为零。
xn
n xn xn
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
三、线性插值
假定已知区间[xk, xk+1] 的端点处的函数值 yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式 L1(x),使它满足 L1(xk)=yk
L1(xk+1)=yk+1
则L1(x)的表达式可按下式给出：
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k , k 1) l k ( x k ) 1, l k ( x j ) 0( j k 1, k 1) (28) l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k 1, k ) 满足（28 ）式的插值基函数很容 易求出的，例如求 l k 1 ( x)，因为它有两个零点 k 和x k 1，故可表达为： x l k 1 ( x) A( x x k )(x x k 1 ) 其中A为待定系数可由 k 1 ( x k 1 ) 1定出： l 1 A ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k )(x x k 1 ) 于是l k 1 ( x)＝ ，同理可得 ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k－1 )(x x k 1 ) ( x x k 1 )(x x k ) l k ( x)＝ ，l k 1 ( x)＝ ( x k x k－1 )(x k x k 1 ) ( x k＋1 x k 1 )(x k 1 x k )
解：2、抛物插值

例 已知 f ( x) sh ( x) 表如下 xk 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 f ( xk ) 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 用 Newton 插值公式求 f (0.596) 的近似值。
第二章 插值与拟合
例2.1 已知 100 10 , 121 11 , 利用线性插值求 y 115
解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线 性插值
x 121 x 100 L1 ( x) 10 11 100 121 121 100
第二章 插值与拟合
例1：已知x0=100, x1=121, x2=144, 求 f ( x)
x
在x=115时的近似值。
x 121 x 100 L1 ( x ) 10 11 100 121 121 100
x 144 x 121 ~ L1 ( x ) 11 12 121 144 144 121
为克服这一缺点，通常可用逐次线性插值方法求得高次插 值。例如在例2.1-2.1*中：
115 121 115 100 11 10.714 100 121 121 100 115 144 115 121 ~ 115 L1 (115) 11 12 10.739 121 144 144 121 115 L1 (115) 10
x x0 x x1 x x2 x x3 x x4
第二章 插值与拟合
例：已知 sin 1 , sin 1 , sin 3 6 2 4 2 3 2 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值和牛顿插 值计算 sin 50。

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。