第2章 插值法1

(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化

12
图2-3
13
2.
n次插值多项式
根据插值的定义
Ln ( x j ) y j
Ln (x) 应满足
( j 0,1, , n).
为构造 L
n
( x)，
先定义 n 次插值基函数.
14
定义1 若
n 次多项式 L j ( x) ( j 0,1, , n) 在 n 1 个节点
x0 x1 xn
b, Ln ( x)
( n1)
定理2 设 f
(n)
( x)
( x ) 在 ( a, b) 内
存在，节点 a x0 x1 xn
是满足条件
的插值多项式，则对任何 x [a, b] ，插值余项
Rn ( x) f ( x) Ln ( x) f
( n 1
( )
(n 1)!
11
显然，lk (x) 及 lk 1 ( x) 也是线性插值多项式，在节点 xk 及 上满足条件
lk ( xk ) 1, lk 1 ( xk ) 0, lk ( xk 1 ) 0, lk 1 ( xk 1 ) 1,
xk 1
称
lk (x) 及 lk 1 ( x) 为线性插值基函数， 图形见图2-3.
( xk 1 , yk 1 )
的直线. 如图2-2.
图2-2
10
由
L1 ( x)
的几何意义可得到表达式
yk 1 y k xk 1 xk ( x xk )
L1 ( x ) yk
（点斜式）， （两点式），
L1 ( x )
xk 1 x xk 1 xk
yk
x xk xk 1 xk

56
13.214 285 71

175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,

2.3.2 均差及其性质
差商的基本性质:
由(3.4)得差商表:
k xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 …
0 x0 f(x0) 1 x1 f(x1) 2 x2 f(x2) 3 x3 f(x3) 4 x4 f(x4) ┆ ┆┆
f[x0, x1] f[x1, x2] f[x2, x3] f[x3, x4]
。
1.0
这说明用高次插值多项
式Ln(x)近似f(x)效果并不
0.5
好，因而通常不用高次
插值，而用分段低次插值。
-5
0
5x
二、分段线性插值 所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).
二、分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
yk
0
xk
y=L1(x) y=f(x)
yk+1
xk+1
x
y
1 1 图 2-3
1
0
xk
xk+1
x
几何上就是通过三点（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的抛物线。
y 1
0
Xk-1
x xk Xk+1
图 2-4
2.2.2 拉格朗日插值多项式
需要指出(2.3)式与（2.5）式是当n=1和n=2时的特殊 情形。
例1 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36=
0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差.
§2.3 差商与牛顿插值
2.3.1 插值多项式的逐次生成