2020届山东省淄博市高三10月摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-≥，{}2B x x =≤，则()UA B ⋂=（ ）A ．{}02x x ≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}22x x -≤≤D ．{}22x x -<≤2．己知z 为复数，i 为虚数单位，若复数z iz i-+为纯虚数，则z =（ ）A ．2BC ．1D ．23．命题：“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x >-”的否定是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，ln 1x x ≤- B ．()0,x ∃∉+∞，ln 1x x >- C ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≤- D ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x >-4．设31log 212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log 32b =，34log32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校组织“我和我的祖国”知识竞赛活动，30名参加比赛学生的得分情况（十分制）如图所示，则得分的中位数m ，众数n ，平均数p 的大小关系是（ ）A ．m n p =<B ．m n p <<C ．n p m <<D ．p m n <=6．已知1cos 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．79B ．79-C ．9D ．9-7．函数()()sin xxf x e ex -=-部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( )A ．40B ．60C ．80D ．1009．若函数()()()2,012,0x x f x f x f x x -⎧≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()2020f =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．1610．已知函数3()()f x x a a a R x=--+∈，若方程()2f x =有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．(1B ．(1,1(1)-⋃++∞C ．(,1-∞-D ．(,1(1-∞-⋃二、多选题11．已知()sin 2f x x =，()cos2g x x =，下列四个结论正确的是（ ） A ．()f x 的图象向左平移2π个单位长度，即可得到()g x 的图象B ．当8x π=时，函数()()f x g x -C ．()()y f x g x =+图象的对称中心是,028k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈ D ．()()y f x g x =⋅在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 12．甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()P A PB PC == B ．()()()P BC P AC P AB == C ．1()8P ABC =D ．1()()()8P A P B P C ⋅⋅=13．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，满足()21234234a a a a a a a +++=++，且41a >，下列选项正确的是（ ） A ．13a a > B ．34a a >C ．12a a >D ．24a a <三、填空题14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于第______象限. 15．数列{}n a 满足13a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++⎪⎝⎭，则10a =______.16．函数()f x 同时满足条件：①偶函数；②值域为[)0,+∞；③周期为2020.请写出()f x 的一个解析式______.四、双空题 17．已知函数()121x f x x =-+，则1122f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，()()121f x f x +-≤的解集为______.五、解答题18．已知等差数列{}n a 中，33a =，22a +，4a ，62a -成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记211(1)n n n n n a b a a ++-=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n S ．19．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，A =（1）求A 的值，并求ABC 面积的最大值； （2）求b c +的取值范围.20．为了解某初中学校学生睡眠状况，在该校全体学生中随机抽取了容量为120的样本，统计睡眠时间（单位：h ）.经统计，时间均在区间[]4.5,10.5内，将其按[)4.5,5.5，[)5.5,6.5，[)6.5,7.5，[)7.5,8.5，[)8.5,9.5，[]9.5,10.5分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）世界卫生组织表明，该年龄段的学生睡眠时间ξ服从正态分布()2,N u σ，其标准为：该年龄段的学生睡眠时间的平均值8u =，方差20.5625σ=.根据3σ原则，用样本估计总体，判断该初中学校学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上是否达标？ （参考公式：()0.6826P u u σξσ-<<+=，()220.9544P u u σξσ-<<+=，()330.9974P u u σξσ-<<+=）（2）若规定睡眠时间不低于8.5h 为优质睡眠.已知所抽取的这120名学生中，男、女睡眠质量人数如下22⨯列联表所示：将列联表数据补充完整，并判断是否有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）21．已知t R ∈，m ，n 是关于x 的方程2210x tx +-=的两个不等的实根，且m n <，函数()21x tf x x +=+的定义域为[],m n ，记(){}max f x ，(){}min f x 分别为函数()f x 的最大值和最小值.（1）试判断()f x 在[],m n 上的单调性；（2）设()(){}(){}max min g t f x f x =-，若函数()()ln h t g t at =+⎡⎤⎣⎦是奇函数，求实数a 的值.22．已知函数()()sin f x ax x a R =-∈. （1）当12a =时，求函数()f x 在区间[]0,π上的最值； （2）若函数()f x 在R 上是单调函数，求实数a 的取值范围； （3）若不等式()0f x >在区间()0,∞+上恒成立，求a 的最小值.23．某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量X有如下关系：欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？参考答案1．B 【分析】求出集合,u A C A ，再求()u C A B .【详解】由22x -≥，得22x -≥或22x -≤-，即4x ≥或0x ≤.{4A x x ∴=≥或}0x ≤，{}04u C A x x ∴=<<. (){}02u C A B x x ∴⋂=<≤.故选：B . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2．C 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出. 【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，∴复数222222(1)[(1)][(1)]12(1)(1)(1)z i a b i a b i a b i a b aiz i a b i a b a b -+-+--++--===+++++++为纯虚数， 221,0a b a ∴+=≠.||1z ∴==.故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 3．C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可得答案.注意“一改量词，二改结论”.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x >-”的否定是“()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≤-”. 故选：C . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4．D 【分析】先根据对数函数3log y x =的单调性比较,,a b c 的指数的大小，再根据指数函数2xy =的单调性比较,,a b c 的大小. 【详解】3331log 12log log 221222a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1333332234416log log log 2log log 332339=-===， 函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，且316229<<， 333316log log log 229∴<<. 函数2xy =在R 上单调递增，333163log log log 292222∴<<，即b c a <<.故选：D . 【点睛】本题考查对数的运算性质，考查对数函数、指数函数的单调性，属于基础题. 5．A 【分析】由条形图求出,,m n p ，即得答案. 【详解】由条形图可得33246510647293106,6, 6.130m n p ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯====，m n p ∴=<.故选：A . 【点睛】本题考查条形图，属于基础题. 6．A 【分析】 由2224ππαπα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式和倍角公式可求值. 【详解】2224ππαπα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 2cos 2cos 2cos 212cos 2444ππππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2171239⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：A . 【点睛】本题考查三角函数诱导公式和简单的三角恒等变换，属于基础题. 7．B 【分析】函数()f x 的定义域为R ，判断()f x 的奇偶性，再根据特殊值即得答案. 【详解】函数()f x 的定义域为R .()()()()()sin sin x x x x f x e e x e e x f x ---=--=-=，()f x ∴为偶函数，排除,A C .又()()11sin10,f e e -=->∴排除D .故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性识别图象，属于基础题. 8．A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 36240C = 种.本题选择A 选项. 9．A 【分析】由题意，当0x >时，可推出()()6f x f x +=.故当0x >时，()f x 是周期为6的周期函数，则()()20204f f =，再根据()f x 的解析式去求()4f ，即得答案. 【详解】 当0x >时，()()()()()()()6544343f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=+-+-+=-+()()()()()()2111f x f x f x f x f x f x =-+-+=-+--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.∴当0x >时，()f x 是周期为6的周期函数， ∴()()20204f f =.又()()()()()()()()()432212101f f f f f f f f f =-=--=-=---⎡⎤⎣⎦()()10=10221f f --=-=.即()20201f =. 故选：A . 【点睛】本题考查函数的周期性，考查分段函数求值，属于中档题. 10．D 【分析】先将()2f x =有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果. 【详解】由()2f x =得32x a a x --+=，即32x a a x-+=+，设()h x x a a =-+，()3g x 2x=+,()h x x a a =-+的顶点()a,a 在直线y x =上，而y x =与()h x 的交点坐标为()2,2,()1,1--,联立232y x a y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩,可得()2x 2230a x +-+=,由()222120a =-==，得a 1=结合函数()h x x a a =-+，()3g x 2x=+的图像可得，要使()2f x =有且只有三个不同的实数根，只需((),11a ∈-∞⋃. 故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题. 11．CD 【分析】对选项逐一验证，即得答案. A 项，求出()f x 向左平移2π个单位长度后的函数解析式，可得A 的正误；B 项，令()()()h x f x g x =-，由辅助角公式可得()24h x x π⎛⎫-⎝=⎪⎭，从而可判断B 的正误；C项，由辅助角公式可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求其对称中心，从而可判断C 的正误；D 项，由倍角公式可得1sin 42y x =，可判断它在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得D 的正误. 【详解】A 项，()f x 的图象向左平移2π个单位长度可得()sin 2sin 2sin 22y x x x ππ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，而()cos2g x x =，故A 错误.B 项，令()()()h x f x g x =-，则()sin 2cos 224h x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当8x π=时，20884h πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.C 项，sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.令2,4x k k Z ππ+=∈，,28k x k Z ππ∴=-∈. ∴函数()()y f x g x =+图象的对称中心是8,0,2k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故C 正确. D 项，1sin 2cos 2sin 42y x x x ==.当3,82x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时函数1sin 42y x =单调递增，故D 正确.故选：CD . 【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题. 12．ABD 【分析】根据题意，分别求得(),(),()P A P B P C 可判断A ，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD. 【详解】 由已知22221()44442P A =⨯+⨯=，21()()42P B P C ===， 由已知有1()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4P BC =， 所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；事件A 、B 、C 不相互独立，故1()8P ABC =错误，即C 错误1()()()8P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确；综上可知正确的为ABD. 故选:ABD ． 【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题. 13．AD 【分析】设公比为q .由()21234234a a a a a a a +++=++，41a >得23221111111q q q q q ⎛⎫+++>++ ⎪⎝⎭，整理得43211210q q q q+++<，即32210q q q +++<.令()3221f x x x x =+++，利用导数判断()f x 的零点0x 在()2,1--上，即01q x <<-，从而可以判断选项的正误. 【详解】1234,,,a a a a 成等比数列，设公比为q .()2244444123423444322,a a a a a a a a a a a a a a q q q q q ⎛⎫+++=++∴+++=++ ⎪⎝⎭， 2244322322111111111111,1,11a a q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫∴+++=++>∴+++>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得43211210q q q q+++<，即32210q q q +++<. 令()3221f x x x x =+++，则()()()'2341311f x x x x x =++=++.由()'0fx >，得13x >-或1x <-；由()'0f x <，得113x -<<-，()f x ∴在(),1-∞-上单调递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.()f x ∴的极大值为()11f -=，极小值为1230327f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭. 又()210f -=-<，()f x ∴在区间()2,1--上有一个零点0x .即32210q q q +++<时，01q x <<-，21q ∴>.41a >，∴等比数列1234,,,a a a a 中，13,a a 均为负数，24,a a 均为正数.23122124,a q a a a q a a ∴=<=>.故选：AD . 【点睛】本题考查导数的应用，考查等比数列通项公式，属于较难的题目. 14．三 【分析】由欧拉公式可得4cos 4sin 4i e i =+，则4i e 表示的复数在复平面中对应的点为()cos4,sin 4.判断点()cos4,sin 4所在的象限，即得答案. 【详解】由欧拉公式可得4cos 4sin 4i e i =+，则4i e 表示的复数在复平面中对应的点为()cos4,sin 4.34,cos 40,sin 40,2ππ∴<<∴<<∴点()cos4,sin 4在第三象限， 即4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为：三. 【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题. 15．3ln10+ 【分析】由11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得()11ln 1ln 1ln n n a a n n n +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭-，累加法可求10a . 【详解】()1111ln 1,ln 1ln 1ln n n n n a a a a n n n n ++⎛⎫⎛⎫=++∴-=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()2132431ln 2ln1,ln3ln 2,ln 4ln3,,ln ln 1n n a a a a a a a a n n -∴-=--=--=--=--,以上各式两端分别相加，得1ln ln1ln n a a n n -=-=.1103,3ln ,3ln10n a a n a =∴=+∴=+.故答案为：3ln10+. 【点睛】本题考查累加法，考查计算能力，属于基础题. 16．()tan 2020f x x π=，()12log sin2020f x x π=，()21cos11010f x x π=-+等【分析】根据函数()f x 同时满足的3个条件写出()f x 的解析式，答案不唯一. 【详解】函数()f x 同时满足条件：①偶函数；②值域为[)0,+∞；③周期为2020，()f x ∴的解析式可以为：()tan2020f x x π=或()12log sin2020f x x π=或()21cos11010f x x π=-+等（答案不唯一）.故答案为：()tan 2020f x x π=，()12log sin2020f x x π=，()21cos11010f x x π=-+等.【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的解析式，属于中档题. 17．1 (],1-∞ 【分析】 令12x =，可求1122f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，可求得()()1f x f x +-=.不等式()()121f x f x +-≤即为()()()()12f x f x f x f x +-≤+-，可得()()12f x f x -≤-.易知()f x 在R 上单调递减，可解不等式. 【详解】函数()1 21 xf x x=-+定义域为R.则111111122221f f⎛⎫⎛⎫+-=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.()()11111211212121211212xx x x x xxf x f x x x-+-=-++=+=+=++++++，∴不等式()()121f x f x+-≤即为()()()()12f x f x f x f x+-≤+-，()()12f x f x∴-≤-.易知()121xf x x=-+在R上单调递减，12,1x x x∴-≥-∴≤，即原不等式的解集为(],1-∞.故答案为：1；(],1-∞.【点睛】本题考查函数求值和解不等式，属于中档题.18．（1）a n＝n；（2）S2n＝221nn-+.【分析】（1）利用等比数列的通项公式列出方程求出数列的公差，然后求解通项公式．（2）化简通项公式，利用并项求和求解数列的和即可．【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，因为33a=，22a+，4a，62a-成等比数列，所以2426(2)(2)a a a=+-，所以2(3)(5)(13)d d d+=-+，化简得2210d d-+=，解得1d=．所以1321a a d=-=，所以1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=．（2）由（1）得211(1)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n n a n b a a n n n n ++-+==-=-+++， 所以21232n n S b b b b =+++⋯+1111111(1)()()()22334221n n =-+++-++⋯+++1212121nn n -=-+=++ 【点睛】本题主要考查了等差数列以及等比数列的通项公式，相加相消求和的方法，考查了运算能力，属于中档题． 19．（1）3A π=（2）(]2,4.【分析】（1）A =22sin 3cos A A =，又22sin 1cos A A =-，可求A .由222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，可得4bc ≤，再根据三角形面积公式可求ABC 面积的最大值；（2）方法1：由正弦定理可得()sin sin 3b c B C +=+，又23B C π+=.设3B x π=+，3C x π=-，其中33x ππ-<<，代入)sin sin b c B C +=+，展开，化简，可求b c +的取值范围.方法2：由余弦定理可知()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，由22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可求4b c +≤.又b c a +>，即求b c +的取值范围. 【详解】（1A =22sin 3cos A A =， 即()221cos 3cos A A -=，()()2cos 1cos 20A A ∴-+=，1cos 2A ∴=，0,3A A ππ<<∴=.2221cos 22b c a A bc +-==，222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，且2a =，4bc ∴≤，当且仅当b c =时等号成立.11sin 422ABCSbc A ∴=≤⨯=所以ABC（2）由（1）知，则sin A =，因为sin sin sin a b c A B C ==，所以b B ，3c C =，所以)sin sin b c B C +=+， 因为23B C π+=， 设3B x π=+，3C x π=-，其中33x ππ-<<，所以sin sin 4cos 33b c x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为1cos 12x <≤，所以24b c <+≤， 所以b c +的取值范围是(]2,4. 解法2：由余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()224b c a +≥， 所以4b c +≤，又因为a ，b ，c 为ABC 的边长，所以b c a +>， 所以b c +的取值范围是(]2,4.【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、不等式和两角和与差的正弦公式，属于中档题. 20．（1）该校学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上不达标；（2）列联表见解析，有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系；理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图求出a ，求出σ.根据频率分布直方图求出学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上的概率，与()220.9544P u u σξσ-<<+=比较大小，即得答案；（2）求出样本中优质睡眠学生的人数，补全列联表，计算2K ，根据临界值表可得结论. 【详解】（1）根据直方图数据，有20.050.0250.0251a a a +++++=， 解得0.225a =.由平均值8u =，样本方差20.5625σ=，得0.75σ=，2 1.5σ=， 则()22P u u σξσ-<<+即求样本数据中区间[)6.5,9.5内的概率值， 则40.90.9544a =<，该校学生睡眠时间在区间()2,2u u σσ-+上不达标.（2）根据直方图可知，样本中优质睡眠学生有()1200.2250.02530⨯+=，列联表如下：可得()22120113019608.38 6.63571493090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以，有99%的把握认为优质睡眠与性别有关系. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验，属于中档题. 21．（1）函数()f x 在[],m n 上单调递增；（2）1a =±. 【分析】（1）利用函数单调性的定义或利用导数判断()f x 在[],m n 上的单调性； （2）由（1）可知函数()f x 在[],m n 上单调递增，则(){}()max f x f n =，(){}()min f x f m =，求出()(),g t h t .由()h t 是奇函数，可得()()0h t h t +-=，即求a .【详解】（1）解法一：对于1x ∀，[]2,x m n ∈，设12x x <则()()()()()()()()221221121222221212111111x t x x t x x t x t f x f x x x x x ++-++++-=-=++++， ()()()()()()()()()22122112212112122222121211111x x x x x x t x x x x x x t x x x x x x -+-+--++-⎡⎤⎣⎦==++++，因为1x ，[]2,x m n ∈，所以211210x tx +-≤，222210x tx +-≤，所以()221212220x x t x x +++-≤，因为2212122x x x x <+，所以()12122220x x t x x ++-<，即()121210x x t x x ++-<，又210x x ->， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在[],m n 上单调递增. 解法二：设[],x m n ∈，()()()222211x tx f x x-+-'=+，因为m ，n 是关于x 的方程2210x tx +-=的两个不等的实根， 所以2210x tx +-≤，所以()0f x '≥，等号当且仅当x m =或x n =时成立，所以函数()f x 在[],m n 上单调递增.（2）由（1）可知函数()f x 在[],m n 上是单调递增的， 所以(){}()max f x f n =，(){}()min f x f m =， 所以()()()()()()()22111m n mn t m n g t f n f m n m -++-⎡⎤⎣⎦=-=++，因为m ，n 为方程2210x tx +-=的两个实根， 所以2m n t +=-，1mn =-，所以n m -===所以()g t =所以())lnh t at =，因为()h t 是奇函数，所以()()0h t h t +-=对任意t R ∈都成立，即))lnln0at at +=恒成立，()22ln 110a t ⎡⎤-+=⎣⎦，所以()22111a t -+=， 即()2210at-=，所以21a =，即1a =±. 【点睛】本题考查利用函数单调性的定义或利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于较难的题目.22．（1）函数()f x 的最大值为2π，函数()f x 的最小值为62π-；（2）1a ≥或1a ≤-；（3）1. 【分析】（1）求()f x '，判断()f x 在区间[]0,π上的单调性，即求函数()f x 在区间[]0,π上的最值；（2）函数()f x 在R 上是单调函数，则()0f x '≥或()0f x '≤在R 上恒成立，即得实数a 的取值范围；（3）求出()f x '.分0a ≤，1a ≥，01a <<三种情况讨论，求出不等式()0f x >在区间()0,∞+上恒成立时，实数a 的取值范围，即求a 的最小值.【详解】 （1）当1a =时，()()1sin f x x x a R =-∈，()1cos f x x '=-，显然02π>，则函数()f x 的最大值为()2f ππ=，函数()f x 的最小值为36f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）当函数()f x 在R 上单调递增时，当且仅当()0f x '≥，即()cos 0x a x f '=-≥恒成立，得1a ≥； 当函数()f x 在R 上单调递减时，当且仅当()0f x '≤，即()cos 0x a x f '=-≤恒成立，得1a ≤-；综上，若函数()f x 在R 上是单调函数，实数a 的取值范围为1a ≥或1a ≤-； （3）()cos f x a x =-'，且()00f =， 当0a ≤时，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上()cos 0f x a x '=-<，得()0f x <； 当1a ≥时，在区间()0,∞+上()cos 0x a x f '=-≥，得()0f x >恒成立；当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=，故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()00cos 0f x a x '=-=成立，同时在区间()00,x 上，()0f x '<，()f x 在区间()00,x 上单调递减，()00f =，所以()f x 在区间()00,x 上小于零.综上，不等式()0f x >在区间()0,∞+恒成立时，1a ≥. a ∴的最小值为1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、单调性和不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于较难的题目.23．（1）0.9477；（2）应安装发电机2台. 【分析】（1）由题意求出年入流量X 在3个范围：4080X <<，80120X ≤≤，120X >的概率123,,P P P .由二项分布可得在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）记水电站年净利润为Y （单位：万元）.分别求安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机的数学期望EY ，选择EY 最大的方案. 【详解】（1）依题意，()11040800.250P P X =<<==， ()235801200.750P P X =≤≤==，()351200.150P P X =>== 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：()()04343014343339191140.9477101010P C P C P P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）记水电站年净利润为Y （单位：万元） ①当安装1台发电机时.由于水库年入流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1. 此时的年净利润5000Y =，500015000EY =⨯=； ②当安装2台发电机时.此时，若4080X <<，则只有1台发电机运行，此时50005004500Y =-=，因此()()1450040800.2P Y P X P ==<<==若80X ≥，则2台发电机都能运行，此时5000210000Y =⨯=，因此()()2310000800.8P Y P X P P ==≥=+=由此得Y 的概率分布列如下：所以，45000.2100000.88900EY =⨯+⨯=. ③当安装3台发电机时.此时，若4080X <<，则只有1台发电机运行，此时500050024000Y =-⨯=，因此()()1400040800.2P Y P X P ==<<==若80120X ≤≤，则有2台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此()()29200801200.7P Y P X P ==≤≤==若120X >，则3台发电机同时运行，此时5000315000Y =⨯=，因此()()3150001200.1P Y P X P ==>==由此得Y 的概率分布列如下：所以，40000.292000.7150000.18740EY =⨯+⨯+⨯= 综上，欲使水电站年净利润最大，应安装发电机2台. 【点睛】本题考查二项分布，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于难题.。
