(完整版)八年级下册第一章_三角形的证明_知识点梳理

八年级数学《三角形的证明》主要知识点（1）等腰三角形1、证明三角形全等的判定方法(SSS, SAS, ASA, AAS, HL)2、全等三角形的性质是：对应边相等，对应角相等3、等腰三角形的有关知识点a.等边对等角；等角对等边；b.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）4、等边三角形的有关知识点判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；性质：等边三角形的三条边相等，三个角都是60°（2)直角三角形1、直角三角形的有关知识a.【勾股定理】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；b.【逆定理】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；c.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；d.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.（3)线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等2、角平分线性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等A BC D 第6题 第7题 第8题 第13题 八年级数学下册第一章《三角形的证明》测试题班级：________ 姓名：________ 座位号：________ 分数________一、选择题（每题3分，共24分）1.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高2.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则△ABC 的面积 是（ ）A.24cm 2B.30cm 2C.40cm 2D.48cm 23．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（ ）A.7㎝B.9㎝C.12㎝或者9㎝D.12㎝4.面积相等的两个三角形（ ）A.必定全等B.必定不全等C.不一定全等D.以上答案都不对5.一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°6.如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ）A.∠A=∠DB.∠ACB=∠FC.∠B=∠DEFD.∠ACB=∠D7．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ， 则∠A 的度数为（ ）A.30°B.36°C.45°D.70°8.如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每题3分，共24分）9.“等边对等角”的逆命题是______________________________．10．已知⊿ABC中，∠A = 090，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = .11.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是度.12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是13.如图，见上页，△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝2cm，则AC=14．Rt⊿ABC中，∠C=90º，∠B=30º，则AC与AB两边的关系是15．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是16．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度数为三.基础题（每题7分，共42分）17.如图，在△ABD和△ACD中，已知AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD是∠BAC的平分线．18.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC；D EC B A19.如下图，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，AB =AD ，求证：CD=CB .20.如图，DC⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ．21.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD.求证：D 在∠BAC 的平分线上.22.如图，ABC ∆中，DE A AC AB ，，ο50=∠=是腰AB 的垂直平分线，求DBC ∠的度数。

突破方法：通过多种类型的题目，让学生掌握不同面积计算方法的适用场景，提高学生的数学运算能力。
（4）综合应用能力的培养：学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用三角形的知识进行分析和解决。
突破方法：设计一些与实际生活相关的题目，让学生学会将实际问题转化为三角形问题，培养学生的数据分析观念和创新能力。
四、教学流程
举例：分析不同题目中给出的条件，判断哪些条件可以应用哪种全等三角形的判定方法。
（3）等腰三角形的性质与判定：重点掌握等腰三角形的底角相等、底边中线、高、角平分线重合的性质，并能应用于解决问题。
举例：通过实际图形，让学生找出等腰三角形的性质，并利用这些性质解决相关问题。
（4）相似三角形的判定与性质：掌握相似三角形的判定方法，了解相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的SSS、SAS等判定方法和相似三角形的性质。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用模型或纸片来演示全等和相似三角形的性质。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《三角形的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明三角形全等或相似的情况？”比如，在制作家具或搭建模型时，我们经常需要确定两个三角形的全等关系。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要复习三角形全等和相似的基本概念。全等三角形是指在大小和形状上完全相同的两个三角形，而相似三角形是指形状相同但大小不一定相同的两个三角形。这些概念在解决几何问题时至关重要。

2014年北师大新版八年级下册数学期末考试知识点复习第一章三角形的证明（二）一.等腰三角形海1•性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）探2.判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）探3.推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）.探4.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°;等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60。

的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形探5.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.二.直角三角形探1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.探2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定探3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,—共有5种判定方法.三.线段的垂直平分线探1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上探2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等探3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M N;作直线MN则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理，注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题四•角平分线探1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上探2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等探3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理，注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法•遇到角平分线时，要构造全等三角形第二章一元一次不等式和一元一次不等式组一.不等关系探1. 一般地,用符号“(或“w” ), “>” (或)连接的式子叫做不等式…..a 2.要区别方程与不等式：方程表示的是相等的关系；不等式表示的是不相等的关系.探3.准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语•非负数<===> 大于等于0( > 0) <===> 0 和正数<===> 不小于0非正数<===> 小于等于0( W 0) <===> 0 和负数<===> 不大于0二.不等式的基本性质探1.掌握不等式的基本性质，并会灵活运用：(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b，那么a+c>b+c，a_c>b_c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即a b如果a>b，并且c>0，那么ac>bc，——.c c(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, —bc c探2.比较大小：（a、b分别表示两个实数或整式）一般地：如果a>b,那么a-b是正数；反过来,如果a-b是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来，如果a-b等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b是负数；反过来，如果a-b是正数，那么a<b;即：a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0（由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了•三.不等式的解集：探1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.;一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式….探2.不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同•O 3.不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：①边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；②方向：大向右，小向左四• 一元一次不等式：探1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.探2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别要注意，当不等式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向•探3.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（不等号的改变问题）探4. 一元一次不等式基本情形为ax>b（或ax<b）b①当a>0时，解为x —;②当a=0时,且b<0,则x取一切实数；当a=0时，且b > 0,则无解；a③当a<0时，解为x b；aa5.不等式应用的探索（利用不等式解决实际问题）列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：①审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义；②设：设出适当的未知数；③列：根据题中的不等关系，列出不等式；④解：解出所列的不等式的解集；⑤答：写出答案，并检验答案是否符合题意 五• 一元一次不等式与一次函数 六• 一元一次不等式组探1.定义：由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组探2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集 共部分，就说这个不等式组无解•几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定• 探3.解一元一次不等式组的步骤 ： （1） 分别求出不等式组中各个不等式的解集 ；（2）利用数轴求出这些解集的公共部分 ，即这个不等式组的解集• 两个一元一次不等式组的解集的四种情况（a 、b 为实数，且a<b ）第三章平移和旋转一. 图形的平移探1・概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

第一次课第一章三角形的证明知识点一：等腰三角形1、全等三角形的性质及判定全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS.2、等腰三角形的性质定理：①等腰三角形，两底角相等（等边对等角）。

②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。

( “三线合一”)③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。

（特殊线段相等）。

等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

知识点二：等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°。

2、等边三角形的判定定理：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

知识点三：反证法步骤：①假设：假设结论不成立；②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论；③假设不成立；④原命题成立。

知识点四：直角三角形1、直角三角形性质定理：①角的角度：直角三角形，两锐角互余。

②边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、直角三角形的判定定理：①角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。

②边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形。

）3、特殊的直角三角形：①在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。

②在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为30°。

4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。

（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。

）知识点五：垂直平分线（点到点）1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。