关于实际弹簧振子运动特性的研究
摘要：本文分析和研究了实际弹簧振子的运动特性，即在考虑弹簧振子自身的质量和在运动过程中遇到摩擦阻力等情况下，对其振动的性质、周期、振幅等特性的影响，并得出了定量的表达式，同时文中对弹簧振子运动时所具有的能量也作了比较全面的论述。
这将为物理课程中该问题的教学提供了良好的参考作用。
关键词：弹簧；质量；摩擦力；系统能量等。
0 引言
在一般的物理书籍中，当述及到弹簧振子的特性时，为了讨论问题的方便，往往都是忽略了弹簧振子的质量和物体在运动时所受到的摩擦阻力的,但在实际问题中却往往不是这样，下面我们将对上述两个因素对弹簧振子运动特性的影响作系统的分析和研究，同时对平时较为少见的实际弹簧振子运动时所具有的能量问题也作了全面的论述。
1 实际弹簧振子的运动特性
在一般教学和研究中涉及弹簧振子时，通常都是指轻弹簧[1]，即在这种理想条件下抽象出弹性集中于弹簧，质量集中于振子，没有运动阻力的理想弹簧振子模型。
分析它的动力学特点，易知弹簧振子系统在运动中只受到回复力F =－k x 的作用，简谐振动的固有周期公式T =2π
k
m。
如果弹簧振子受到的摩擦力或弹簧质量不能忽略，那么这两种因素对弹簧振子的振动[2]到底会有什么影响呢？下面我们分别加以讨论。
1.1摩擦力对弹簧振子振动的影响
为简化该问题的讨论，我们不考虑弹簧质量对系统振动的影响，即忽略弹簧质量。
设弹簧的倔强系数为k ，振子与杆的滑动摩擦系数为μ，静摩擦系数为μ'，弹簧振子的质量为
m ，x 轴方向如图
弹簧振子在运动过程中所受摩擦力大小f =μm g ，其方向与振子运动方向相反。
如果我们用符号SignA 表示某任意值A 的正负号，则f =-μm g （dt
dx Sign
） 这样，当
dt dx >0时，f =-μm g ；当dt
dx <0时，f =μm g ；
当dt dx ≠O 时，弹簧振子的运动方程为：-k x -μm g （dt dx Sign ）=m 2
2dt x d
即22dt
x
d +（m k ）x =-μg （dt dx Sign ）
令2
ω=m k ，则有22dt
x d +2
ωx =-μg （dt dx Sign ） （1）
设0=t 时，x =0x ，
dt
dx
0=（此时摩擦力不应超过最大静摩擦力μ'm g ，因为μ<μ'），为了使振子开始运动，必须使拉振子回到平衡位置的弹簧的反作用力大小超过静
摩擦力，即
k |0x |>μ'm g ，|0x |>
k m g
μ'
这个不等式的成立表明振子已偏离平衡位置一段足够远的距离。
令0x >0，振子开始就向x 轴的负方向运动，即dt
dx
Sign
=-1，则（1）式变为 2
2dt x d +2
ωx =u g （2） （2）式满足起始条件的积分是
x =2
ωμg +（0x -2
ω
μg ）t Cos ω
由此得到：
dt
dx
=- ω（0x -2ωμg ）t Sin ω 在t Sin ω0> 即0<t <
ω
π时，dt
dx 仍为负值，在=
=1t t ω
π瞬时，
dt
dx
的值变为零并改变正负号，x 的值是1x =x （t 1）=-0x +
2
2ωμg
注意到21ω=m
k
，如果|1x |=|-0ω+22ωμg |>
2ωμg ' ，则振动就会停止。
在这种情况
下有
1x =-0x +
2
2ωμg
0<
这样，在1t 瞬时，振子开始向x 轴正方向运动。
这就是说，当t >1t 时，在某一时间间隔内
dt
dx 0>，Sign dt dx =1，（1）式就变为
2
2dt
x d +2
ωx =-u g （3） 注意到起始条件是当1t t =时，x =1x ，
dt
dx
=0。
同前面的讨论一样，我们会得出在 2t =
ω
π
2瞬时
2x =x （2t ）=0x -
2
4ωμg
如果 |2x |=|0x -
2
4ωμg
|> 2
ω
μg '，则振动也不会停止，同样可以证明2x 0>。
这样，弹簧振子离开平衡位置的连续最大偏位移大小是
0x ，1x =-0x +
2
2ω
μg
，2x =0x -
2
4ω
μg
，……，n x =()n
1-（-0x +
2
2ω
μg
n ）。
与之相对应，振子中止的瞬时为
t =0，1t =ω
π
，2t =
ω
π
2，……，n t =
ω
π
n
在平衡位置同一侧的两个中止瞬时之间的时间间隔等于
T =n t -1-n t =
ω
π
2
因为2
ω=
m k
，所以T =π2m
k
，即等于无摩擦时弹簧振子的振动周期。
我们很容易得到：每一偏位移其绝对值比前一偏位移减少
2
2ω
μg。
前面的讨论表明：摩擦力的存在，使得弹簧振子并不严格地做简谐振动，但在正向或负向运动过程中仍分别为简谐振动，振动周期也并不发生影响，振动过程中弹簧振子偏离平衡位置的位移大小则每半周期按算术级数递减
2
2ωμg。
例1 一倔强系数为k 的弹簧起先自由伸长，其右端挂一质量为m 的物体，并把该物体所在的起始位置记作O 点，在O 点左侧桌面光滑，右侧桌面粗糙，并且摩擦系数为μ，现
在将物体压缩到A 点再释放，求物体由A →B →C 所需要的时间（如图1-1-a 所示）？
解：我们可以分五个时间段分别单独讨论，然后相加求总时间。
①. 弹簧振子从A 点运动到O 点：1t =
2πm
k ②.平衡位置左移：`把新的平衡位置记作o '（如图1-1-b 所示），
⎩
⎨⎧
=
'=+='k
mg
o o x x A A μ00
m
k =
ω A mg A k kA ''+''=μ222
1
21 A x A k
mg
A ''+=''+=⇒0μ
0x A A -=''⇒
∴ A k mg
arcCos
'
=μα（如图1-1-b ′所示）
m
k A k mg
arcCos
t '==
∴μω
α2
③．平衡位置右移时:物体运动到最右点后向左运动时（如图1-1-c 所示）
此时有0x A A -''=''' k
m t O B 2)(3π
='→ ④．A x Sin O O '
'=
→'0
)(α （ 如图1-1-c ′所示） A x
a r c S i n '
'=∴0α
∴ m
k A x arcSin
t ''=
04
⑤．k
m
t 25π
=
因此物体由A →B →C 所需要的总时间为：
54321t t t t t T ++++=
=
k
m 2π
+m
k
A k mg
arcCos
'μ +k
m 2π
+m
k
A x arcSin
''0
+k
m 2π
=
k
m 23π+m
k A k mg
arcCos
'μ+
m
k A x arcSin
''0
=k
m
A x arcSin A k mg arcCos )
23(0''+'+μπ
1. 2弹簧自身重力不能忽略
在实际情况下，弹簧自身质量往往是存在的，那么弹簧自身质量对弹簧振子的振动又会有怎么样的影响呢？
1.2.1弹簧在自身重力作用下的伸长与缩短
如图1-2-1所示，非轻质弹簧系统中弹簧和物体（质点）组成。
今有一非轻质弹簧，设弹簧质量为0m ，在任意时刻都为均匀弹性体，倔强系数为k ，物体质量为m ，如果把它放在光滑的水平面上，使之处于自然长度状态，记作0l ，现将系统放置在一倾角为α的斜面上，并且把弹簧的一端固定在O 点，那么此时它将伸长多少呢？下面我们就这一情况来研讨一下。
我们可以把弹簧截为长度相等的n 段小弹簧1l 、2l 、3l ……n l ，则根据下文提到的弹簧被截断以后新的倔强系数的确定方法，我们不难求出每小段弹簧的倔强系数为n k 。
现在弹簧下端挂一质量为m 的重物，求平衡后弹簧的总伸长量。
x
假设弹簧的总伸长量为△l ，每一小段长为1l 、2l 、3l ……n l 的弹簧的伸长量分别为 △1l 、△2l 、△3l …… △n l ，则每小段弹簧受到向下的力依次为（m g +g n
m 0
）αSin 、（m g +
n
m 0
2g ）αSin 、（m g +
g n nm 0）αSin ，则 △1l ＝nk
Sin g n m mg α
)(0+，△2l ＝nk Sin g n m mg α)2(0+……△n l ＝nk Sin g n nm
mg α)(0+， 因此△l ＝△1l ＋△2l ＋△3l ＋……＋△n l
＝nk
Sin g n m mg α)(0+
+nk Sin g n m mg α
)2(0++……+nk Sin g n nm
mg α)(0+ ＝nk nmgSin α+k
n gSin m 20α（1＋2＋3+……+n ）
＝k mgSin α
+ k n gSin m 20α（21n +）n ，
∴△l ＝
k mg
αSin +nk g m 20（1+n ）αSin ≈
k
g m mg )
2(0+
αSin ， n 越大，近似
程度越高。
当n →∞时，有△l =
k
g m mg )
2(0+αSin 或k △l =)2(0g m mg +αSin 由上式看出弹簧自身的重力对弹簧的伸长量的贡献打了½的折扣，不能与所挂物体的重力一视同仁[4]。
为什么自身的重力要打折扣呢？这是因为下部位弹簧（相对而言）的重力对上部位弹簧（相对而言）的伸长有影响，而上部位弹簧的重力对下部位弹簧伸长无影响的缘故。
当α＝π/2时，即为弹簧垂直悬挂状态，此时弹簧自身的质量对弹簧的伸长影响最大；当α慢慢减小以后，弹簧自身的质量对弹簧的伸长影响慢慢减小，直到α＝0的时候，弹簧自身的质量对弹簧的伸长影响为零（弹簧静止）。
1.2. 2弹簧自身质量对弹簧振子振动的影响
设弹簧振子系统由质量为m '、倔强系数为k ，原长为0x 、横截面积为S 、体密度为ρ（假设S ，ρ在运动中为衡量）的弹簧与质量为m 的刚性体振子所组成。
并假设运动中振子与杆的摩擦阻力足够小，可以忽略不计。
m '远小于m ，但m '不能忽略。
起始条件，0t t =时刻，弹簧振子系统处于平衡状态，振子m 位于0x 处；弹簧中io x 处
的质元为io m d ' =ρS d io x （如图1-2-2所示）。
系统振动以后，在1t t =时刻，m 运动到x 处。
其速度为dt
dx
，它离开原来自身平衡位置的位移大小为|io i x x -|；与此同时，质元i m d '的位于i x 处，质元速度为dt
dx
i ，离开它自
身平衡位置位移的大小是|io i x x -|。
这样，在1t 时间，位于m 的动能为k E =
21 m （dt
dx ）2 （4） 质元io
m d '的动能为k E d '=21
io
m d '2)(dt
dx i （5） 由弹簧应变定义，我们得到下面的关系式
0x x x o -=0
i io
i x x x - （6）
对（6）式两端求导数有
dt dx i =o io x x .dt
dx （7） 对（7）式代入（5）式，则有
k
E d '=21io m d '（dt dx i ）2=2
2
2x sx io ρ..
( dt dx )2. io dx (8) 对整个弹簧积分，即得到弹簧由于自身质量m '所具有的动能，即
k
E ' = ⎰'k E d =⎰0
2
20
)(
)(
2x io io
dx dt
dx x x s ρ=（60sx ρ）.（dt dx ）2 因为m '=ρs 0x ，所以k
E ' = （6m '
）（dt
dx ）2 又因为弹簧势能p E =
21×应变×应力×体积，其中弹簧应变=0
x x x o
-， 应力=
s
k
（0x x -），体积=0x s ， 所以，p E =2
1k （0x x -）
2
因此，弹簧振子系统的总能量为
E = k E +k
E '+ p E =21 m （dt dx ）2 +（6m '）（dt dx ）2
+
2
1
k （0x x -）2 （9）
对（9）式两端求导数而得到
（m +3m '）（22dt
x
d ）+k （0x x -）= 0
即（22dt
x d ）+）
（3
m k
'+（0x x -）=0 （10）
令2
ω=
）
（3
m m k
'+，则（10）式就变为
（22dt
x d ）+ 2
ω（0x x -）=0 （11） （11）式表明，虽然振子质量m 远大于弹簧质量m '，但m '不能忽略时，m '并不影响弹簧振子系统作简谐振动的特点，也就是说，同时考虑m 与m '时，该系统仍作简谐振动。
因为T =
ω
π
2，将
2
1ω=
k
m m ）
（3'+
代入
则T =2π
k
m m ）
（3'+
（12）
（12）式说明，虽然弹簧自身质量m '并不影响弹簧振子系统作简谐振动的性质，但系统作简谐振动的周期有所增加，m '对振动周期的影响相当于在振子m 上附加上一个
3
1m '的等效质量。
当m >>m '而又允许忽略m '时，则（12）式变为T =2π
k
m
，即回到理想状态下弹簧振子振动周期，这与教材中所表示的公式相吻合。
例2 如图1-2-2-a 所示，一质量为m 的弹簧，其左端固定在墙上，右端挂一质量为M 的物体，并且M >m ，让我们求此时弹簧的振动周期为多少？
解：如图1-2-2-b 所示，假设弹簧原长为L ，某时突然给M 向右运动的速度为υ，因为速度传递有时间先后性，所以其左端速度为0（因为左端固定）。
在弹簧上取一段dl ，其相应质量为dm ，距离左端长为l ，我们可以根据大学物理的方法求出k E 。
m L dl dm =；υυL l d =；221）（υd dm dE k =22221υL l dl L m =dl L
l m 3
2221υ= =
=⎰L
k k dE E 0
L
l L m 0332
3121υ=2
3
121υm ⋅
222121υυM E M k '=+∑ 即 222
2
132121υυυM m M '=+ M '
=3
m
M +
=T π
2k
m M 3+
2 弹簧振子系统能量
在一般教学和研究中涉及弹簧振子时，通常是忽略弹簧质量的，就更不用说弹簧质量的势能问题了。
那么下面我们就来探讨一下弹簧质量的势能问题以及由此引出的弹簧系统的能量公式。
如图2-1所示,非轻质弹簧系统由弹簧和物体(质点)组成。
设弹簧质量为0m ，在任意时刻都为均匀弹性体，倔强系数为k ，物体质量为m 。
将系统放置在一倾角为α的斜面上，一端固定。
取距固定端距离为l 的O 点为坐标原点，沿斜面向下为正，坐标1x 为弹簧原长位置，0x 为系统平衡位置，2x 为重力势能零点，x 3为弹簧弹性势能零点位置，x 为物体
m 在时刻t 的位置。
2.1 系统势能p E
系统的总势能p E 为弹簧的弹性势能1p E 、物体的重力势能2p E 以及弹簧的重力 势能3p E 之和。
按定义，1p E 、2p E 以及3p E 分别由以下几式决定[5]：
1p E ＝ dx x x k x
x ⎰---31）
（ ＝dx x x x x x x k x
x ][100333
）（）（）（
-+-+-⎰
））（（））（（）（3103032
32
1x x x x k x x x x k x x k --+--+-=
(13) 2p E αSin x x mg ）（2--= (14)
3p E ααSin x x x x l x g m Sin x l x l l x g m 22220220）（）（）（）（--+-+++=
=αSin x x l g m ）（2022
1
+- (15)
p E =1p E +2p E +3p E =2321）（x x k -））（（303x x x x k --+）
）（（310x x x x k --+ αSin x x mg ）（2--+αSin x x l g m ）（2022
1+- (16) 又∵0x 为系统平衡位置，∴k ）（10x x -=mg αSin +g m 0αSin (17) 因为（16）式比较冗长，在实际运用时，在不影响结果正确的前提下，为了方便起见，可对其通过两种途径进行简化，有以下两种途径。
A ． 系统平衡位置为中心进行简化。
定义弹性势能零点3x 、重力势能零点2x 及坐标原点0都在系统平衡位置0x 处，即2x =3x =0x =0,注意到式（17），此时系统势能p E 为
p E 221kx =1kxx -αmgxSin -αgxSin m 021-αglSin m 02
1+ 221kx =）（ααgSin m mgSin kx x 0121++-αglSin m 02
1+ 221kx =αgxSin m 021+αglSin m 02
1+ (18) 需注意的是，式中第一项虽与弹性势能的形式一样，但本质不同，它包括了系 统的弹性势能和部分重力势能；式中后二项也并不代表弹簧的全部重力势能，其 中最后一项为常量。
B 。
弹簧原长位置进行简化。
定义弹性势能零点3x 、重力势能零点2x 及坐标原点0都在弹簧原长位置1x 处，即0132===x x x ，此时系统势能p E 为
p E 221kx =-αmgxSin ―αgxSin m 021αglSin m 02
1+ 221kx =-(021m m +) αgxSin +αglSin m 02
1 221kx =+αgxSin m 021+αglSin m 02
1 (19)
式中第一项为弹性势能，第二项相当于在振子（质量m ）上附加了一个质量为021m 的物体的重力势能，最后一项同式（18）中一样为常量，且与其相等。
当式（18）、（19）中α为零时，系统势能就是弹簧的弹性势能，而且两式的推导过程均与斜面有无摩擦没有关系。
比较两式可知，不计弹簧质量，即0m 0=时，（18）式明显比（19）式简单，应用起来也更为方便，这也正是对轻弹簧振子系统常常采用的定义势能以及坐标原点和系统平衡位置重合的原因，而当考虑弹簧质量时，（18）式并不比（19）式简单，事实上，（19）式中各项
的物理意义比（18）式各项更加明确；（18）、（19）两式中都有相同的常量αgSin m 02
1，在实际计算系统两个状态间能量之差时可以不计。
由前述推导可知，由于系统平衡位置可能多与一处，而弹簧原长位置只可能是一处，因此使用（18）式建立方程时就可能有几种形式，而利用（19）式时则只能是一种形式。
应该说这两种表达式形式简单明了，两种简化式各有千秋，并且这种方法对有无摩擦问题均可使用。
2.2系统动能k E
系统的总动能k E 为弹簧动能1k E 和物体动能2k E 之和。
如图2-2所示，由于弹簧为均匀弹性体，所以当弹簧与物体的连接端和物体同时运动时，若物体速度为υ，坐标为x （考虑到弹簧被完全压缩时仍有一定长度，因此x ≠—l ），则弹簧上坐标为y 处的微元dy 的动能为
1k dE =21x l m +0dy .2）（x l y l ++ .2υ= 22υ.30）
（x l m +.2）（y l + dy 1k E =22υ. 30）（x l m +. ⎰-+x l
dy y l 2）（=2061υm =2061x m ' 故系统2k E 的总动能k E 为：k E = 1k E + 2k E = 20)3
1(21x m m '+ （20） 由式（20）可知，系统动能只由弹簧质量、物体质量以及物体速度决定。
2.3 系统能量E
按前述结论选取坐标后，系统的总能量为（注意两式中x 的意义不同）
E = p E +k E 221kx =+20)31(21x m m '++αgxSin m 021+αglSin m 02
1 （21）
或E = p E +k E 221kx =+20)31(21x m m '+-）（021m m +αgxSin +αglSin m 02
1 （22） 例3 质量为1m 的物体自由下落一高度h 以后，与2m 作完全非弹性碰撞，2m 与3m 之间由劲度系数为k 、质量为0m 、原长为0l 的均匀弹簧相连，如图2-3所示，今欲使2m 在碰撞后反弹起来时恰好能将下端的物体3m 提离地面，问h 至少应为多大？ 解：设o 点为弹簧原长位置，
b 点为)(21m m +反弹起来时恰好能将3m 提起的最高位置，
此时)(21m m +速度为零，c 点为2m 平衡位置，d 点为)(21m m +合为一体后的平衡位置，
υ为1m 和2m 碰撞后)(21m m +的速度，则有：⎪⎩⎪⎨⎧==+==+===k m ob x k g m m oc x gh m m m k m cd x g g 3120021112,)(2,υ
现在取O 点为坐标原点和弹性势能零点以及重力势能零点，向上为正，注意到此时坐标系与（19）所定义的区别，系统在初位置c 时0x x c -= ，在末位置b 时1x x b =，则利用
（19）式和能量守恒得
22121υ）（m m ++20)(21x k -+)(2
10021x g m m m -++）（ =2121kx +10212
1gx m m m ）（++ 2
1321032)2)((2m m m m m m m m k g h +++++= 3.倔强系数k 的确定
众所周知，弹簧的倔强系数k ，不仅与弹簧的材料有关，而且还与弹簧的形状，即其长短、粗细有关。
因此不管是几根弹簧串并联，或者还是一根弹簧被截成两段或多段等，弹簧的倔强系数k 都会随之发生变化[6]。
3.1弹簧串联
当两根倔强系数分别为1k 和2k 的弹簧（如图3-1）串联连接时，可用一根倔强系数为k 的等效弹簧来替代它们。
那么k 与1k 2k 的关系如何呢？设在外力F 的作用下两根弹簧的形变为1x 和2x ，等效弹簧的形变为x 。
因为弹簧串联，所以作用在弹簧上的外力1F =2F =F 。
即1F =1k 1x ；2F =2k 2x ；F =k x ；又x =1x +2x ，于是得到2
211 k F k F k F +=，即2
1111k k k +=。
若两根弹簧1k =2k =0k ，则k =20k 。
若n 根相同弹簧串联，则其等效倔强系数为k =k 0/n 。
3.2弹簧并联
当两根倔强系数分别为1k 和2k 的弹簧（如图3-2）并联连接时，设作用在弹簧上的外力为F ，两根弹簧上各受拉力1F 和2F ，则有F = 1F +2F ；1F =k 1x ；2F =2k 2x ；又x =1x ＝2x ；故得到k = 1k +2k 。
若1k =2k =0k ，则k =20k ；若n 根相同弹簧并联，则其等效倔强系数为k =n 0k 。
推广：若有n 根倔强系数分别为1k 、2k 、3k ……n k 的弹簧，串联时有n
k k k k k 11111321⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=；并联时`则有k =1k +2k + 3k +……+n k 。
3.3弹簧被截断以后 设一根弹簧长度为0l ，倔强系数为k ，被截出两段长度分别为1l 和2l ，相应的倔强系数分别为1k 和2k 。
如果它们各自都受衡力F 的作用，原弹簧伸长0x ，长度为1l 的弹簧伸长1x ，长度为2l 的弹簧伸长2x （如图3-3所示），我们不难看出：由于弹簧材料、性质和粗细均相同，所以在相同的力的作用下，弹簧伸长量与其长度是成正比的，即
02211l x l x l x == (23) 根据胡克定律得到：F =k x ；F =1k 1x ；F =2k 2x （24）
由（23）（24）得到：1k =1010
001l kl l l x kx x F ==；2k =20l kl ， 由此可见：弹簧被截下部分的倔强系数与被截下部分的长度成反比。
根据上面的推导，若已知原来弹簧的倔强系数及截下部分与原弹簧长度的比例， 那么被截下部分的倔强系数也就知道了。
举例1：把一根倔强系数为k 的弹簧截成原长的三段，求每段的倔强系数k '，我们可以把原弹簧看成是由三个倔强系数为k '的弹簧串联，即
k 1=k '1+k '1+k '1， 故k '=3k 举例2：把一根倔强系数为k 的弹簧截下7
5，求截下的倔强系数k '，首先我们把原弹簧看成是由七个倔强系数为k '的弹簧串联，即k 1=k '1+k '1+k '1+k '1+k '1+k '1+k '
1，可以得到每个弹簧的倔强系数为7k ，而截下部分又恰好是这样的五个弹簧的串联，故截下部分弹
簧的倔强系数k '＝5
7k 。
4. 结束语
在物理总复习的时候，我们常常选择一些既具有典型性又具有代表性的问题作为专题加以深入的分析和讨论，并把与之有关的物理学的各部分知识有机的结合起来。
这样做不仅加深了学生对知识的理解，而且提高了学生综合分析问题的能力和运用物理规律解决实际问题的能力。
而在这类综合题型中，弹簧问题始终是个热门话题，出题比较容易，而且难度系数相对比较大，可以出在选择题、填空题甚至计算题中的压轴题。
这主要是因为弹簧问题的应用非常广泛，它可以与有关的静力学、牛顿运动定律、功和能、动量和冲量、震动和波、气态方程和热力学第一定律以及电磁学等方面的知识综合在一起加以应用。
所以我们就弹簧问题很有必要再加以自习研究探讨。
谢辞：最后，对我的毕业论文悉心指导和帮助的胡树基老师表示我最诚挚的感谢！ 参考文献：
[1]赵近芳.大学物理学（上册）[M].北京：北京邮电大学出版社，2002.119
[2]谢利民.弹簧振子运动的实际动力学分析[J].上海师范大学学报（自然科
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[3]苏启录等.弹簧振子问题探讨[J].福州师专学报（自然科学版），1999，
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[4] 李国强（翻译）.振动弹簧的有效弹性常数和有效质量物理教师 1998，
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[5] 欧阳广义.弹簧弹性势能及简谐振动物体系势能物理教学 1981，2：
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[6] 沈邦杰.有关弹簧问题的综合研究物理教学 1989，6：17～21
Research of the characteristic about the fact that the real spring oscillator moves 物理011 陈秀君指导老师胡树基
abstract: This text analyse and study actual spring sport characteristic of oscillator, consider spring oscillator one's own quality and in meet and rub obstruction ,etc. in the sport course cases, the impact on such characteristics as the nature , cycle , amplitude of its vibration ,etc., has drawn the quantitative expression formula, at the same time in the article that oscillator have at the sport be able to quantity make comparisons overall argumentation too to spring. This will offer good reference function for teaching of this question in physics course.
Keywords: Spring; Quality; Frictional force; Systematic energy ,etc..。
