弹 簧 振 子 运 动 的 研 究
如图（1）所示，把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动。小球在水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计。这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称作振子。
图（1）
由弹簧振子的定义可以看出，振子在运动的过程中，由于合外力时刻在改变，从而导致了加速度。速度跟着不断改变，因此它的运动就显得较为复杂。为了能够更好的掌握它的运动规律，同时锻炼我们对运动的研究能力，我们对它进行了初步的研究。
一、弹簧振子的周期和运动表达式 1.周期规律
可能影响因素：小球的质量（M ），弹簧的劲度系数（K ）以及振子的振幅（A ）。
（1）周期与振幅（A ）的关系。
质量为m 的小球，前后两次振幅分别为1A ，2A ，弹簧的劲度系数为K ，前后两次振动的周期分别为T 1，T 2。
推论：在前后两个运动过程中分别取两小段位移1x ，2x ，使得q A A x x ==2
1
21，根据胡克定律及牛顿第二定律，得
m kx a 11-
=，m kx a 22-= ∴q A A
a a ==2121 由于位移x 是任意的，且q 为定值。 ∴
q A A a a ==
2
1
2
1 而2
222
1112112
1)4
()4(44T a T
a T v T v A A ⋅⋅=⋅⋅
=
∴21T T =
△结论：弹簧振子的周期与振幅无关。
（2）周期与振子质量和劲度系数的关系。
有两个弹簧振子，振子的质量分别为1m ，2m ，弹簧的劲度系数分别为1k ，2k ，并且振子的振幅相同（因为周期与振幅无关，所以不用考虑它的影响）
推论：在两个运动中都取一小段位移x （任意的），同样有
12212
2
112
1m k m k m x
k m x
k a a =--
=
由于是任取的，
1
22
121m k m k a a = 同样可得22
122
1212
2221121)4
()4(T m k T m k T a T a A A =⋅⋅=
所以2
2221211m T k m T k =
因此有k m
T ∝ 由此可以看出：弹簧振子的周期与振子的质量的算术根成正比，与弹簧劲度系数的算术根成反比，即k
m
n
T
=（其中n 是一个与小球质量，弹簧劲度系数，振子振幅等无关的常数）。
2.振子位移，速度，加速度的变化规律
根据沙漏实验（图2）可知：弹簧振子的位移——时间图像是一条余弦曲线。因为右图沙漏实验得到的余弦曲线，实际上是由x 方向上的匀速直线运动和y 方向的振动的合成，因此y 方向上弹簧振子的振动图像也应为余弦曲线。
图（2）
如图（3），以经平衡位置向右运动开始计时，则其初相为
2
π
图（3）
设)2
cos(π
ω+
=t A x t （A ，ω>0）
∴)2
sin('π
ω+-==t A x v t t . )2
cos("2π
ωω+
-==t A x a t t
∵t t ma kx F
=-=
∴2
21
)
2
cos()
2
cos(ω
π
ωωπ
ω-=+
-+
=
-=t A t A k
m a x
∴m
k
=
ω ∴)2
cos(
π+=t m k A x t
)2sin('π+-==t m k A x v t t . )2
cos(π
+-=t m k m k A a t
如图（4）是弹簧振子运动的x-t 图象。
图（4）
由图像可见k
m
T
π
ωπ
22==
（即正面的常数 η=2π）；当4π+=nT t 时，x 达
到正向最大，此时振子速度ν=0（振子ν-t 图象如图（5）所示）；当2
)12(T
n t ⋅+=时，
振子位移为0，速度达到反向最大。
图（5）
（3）振子机械能的变化规律
取任意时刻t ，则此时系统的总机构能为：
222222
1)]2sin([21)]2cos([212121kA t m k m k A m t m k A k mv kx E =+⋅⋅++⋅=+=
ππ
如图（6）是振子动能和弹簧势能的关系图，亦可见其机械能总量E 恒等于2
2
1
kA
图（6）
△结论：弹簧振子在运动过程中机械能守恒，恒为22
1kA E =
上述弹簧振子均为理想化模型，在实际生活中，由于各种阻力的存在，导致振子周期出现偏差，与理论不相符；振子的振幅也会逐渐减小，机械能逐渐减小。
4.恒力作用下的弹簧振子
如图（7）是竖直方向上的弹簧振子，振子受到一个恒力--重力的作用。设弹簧的劲度系数为K ，自然长度为0l ，振子静止时弹簧伸长量为△x ，则有：mg=k △x 。现将振子向下拉伸x ，则：
kx x k x x k mg F F =∆-∆+=-=∑)(弹 因为ΣF 与x 反向，所以矢量式为kx F -=∑
∴k
m T
π
2= 由此可见，恒力作用下的弹簧振子（此时平衡位置为静止放置时振子
所在处）周期不变，运动表达式不变。
二.实验验证周期公式（主要验证周期与质量和振幅的关系）
图（7）
