word 1 / 11 热点探究课(二) 函数、导数与不等式
[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的X围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有.
热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)
函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的X围.
(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值X围.
【导学号：62172114】
[思路点拨] (1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a的X围．
[规X解答] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.2分
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.3分
若a>0，则当x∈0，1a时，f′(x)>0；
当x∈1a，＋∞时，f′(x)<0.5分
所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.6分
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝1a处取得最大值，最大值为
f1a＝ln1a＋a1－1a＝－ln a＋a－1.11分
江苏省2016年高考一轮复习专题突破训练
三角函数
一、填空题
1、（2015年江苏高考）已知tan2，1tan()7，则tan的值为_________3_________。
2、（2014年江苏高考）已知函数xycos与)0)(2sin(xy，它们的图象有一个横坐标为3的交点，则的值是 ▲ ．
3、（2013年江苏高考）函数)42sin(3xy的最小正周期为 。
4、（2015届南京、盐城市高三二模）已知,均为锐角，且sinsin)cos(，则tan的最大值是
5、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））若函数π()2sin3fxx(0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数的值为 ▲
6、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））函数3sin(2)4yx的图象向左平移(0)2个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则 ▲
7、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）设函数π()3sin(π)3fxx和π()sin(π)6gxx的图象在y轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M、N，已知O为原点，则OMON ▲
8、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）若角+4的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线12yx上，则tan的值为 ▲ .
9、（苏州市2015届高三上期末）已知函数()sin()5fxkx的最小正周期是3，则正数k的值为
10、（泰州市2015届高三上期末）函数()sin(3)6fxx 的最小正周期为 ▲
11、（无锡市2015届高三上期末）已知角a的终边经过点(),6Px-,且3tan5a=-,
要点导学 各个击破
基本不等式在方程与函数中的应用
(2014·成都模拟)已知二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),那么+的最小值为 .
[答案]3
[解析]由题意得a>0,且Δ=16-4ac=0⇒ac=4,所以+≥2=3.
(2014·湖北模拟)已知不等式xy≤ax2+2y2对于任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,那么实数a的取值范围是
.
[答案][-1,+∞)
[解析]由题意知a≥=-2,对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=,则a≥t-2t2,易知t∈[1,3],所以t-2t2∈[-15,-1],故a≥-1.
基本不等式在数列、三角函数等问题中的应用
已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=4a1,则+的最小值为 .
[思维引导]首先根据条件找出m,n的关系式,再利用基本不等式求出+的最小值.
[答案]
[解析]设正项等比数列{an}的公比为q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.
由=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.
故+=(m+n)=+（+）≥+=,当且仅当n=2m时等号成立.
[精要点评]将m+n=6表示为(m+n)=1,利用“1”的变换是解决问题的关键.
(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是 .
[答案] [解析]由已知sinA+sinB=2sinC及正弦定理可得a+b=2c,cosC===≥=,当且仅当3a2=2b2即=时等号成立.
基本不等式在解析几何中的应用
(2014·扬州中学模拟)如图,已知椭圆C:+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆上,且异于点A,B,直线AP,BP与直线l:y=-2分别交于点M,N.
(例3)
(1) 设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;
1 【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 2.12导数的应用（一）随堂训练 文
1．函数y＝x－ln x的单调减区间是( )
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0,2)
解析：函数的定义域为{x|x>0}，y′＝1－1x<0，∴0
答案：B
2.
已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
解析：使导函数y＝f ′(x)>0的x的取值范围为增区间；使导函数y＝f ′(x)<0的x的取值范围为减区间．
答案：C
3．(2015·四川内江三模)已知函数f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________．
解析：由题意可知f′(x)＝x2－x＋c＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c>0⇒c<14.
答案：－∞，14
4．设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．
(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解：f′(x)＝ex＋ax2－2axex＋ax22＝ 2 ax2－2ax＋x＋ax22.①
(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则43x2－83x＋1＝0.即4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.
结合①，可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x －∞，12 12 12，32 32 32，＋∞
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
所以x1＝32是f(x)的极小值点，x2＝12是f(x)的极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．
