人教版高三数学一轮复习导数的概念及运算

导数的概念及运算一．复习目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．二．知识要点：1．导数的概念：；．2．求导数的步骤是．3．导数的几何意义是．三．课前预习：1．函数的导数是（）2．已知函数的解析式可（）3．曲线上两点，若曲线上一点处的切线恰好平行于弦，则点的坐标为（）4．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（）5．已知曲线在处的切线的倾斜角为，则，．6．曲线与在交点处的切线的夹角是．四．例题分析：例1．（1）设函数，求；（2）设函数，若，求的值．（3）设函数，求．解：（1），∴（2）∵，∴由得：，解得：或（3）例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离其中为经历的时间，，若，则下列说法正确的是（）（A）0～1s时间段内的速率为（B）在1～1+△ts时间段内的速率为（C）在1s末的速率为（D）若△t＞0，则是1～1+△ts时段的速率；若△t＜0，则是1+△ts～1时段的速率．小结：本例旨在强化对导数意义的理解，中的△t可正可负例3．（1）曲线：在点处的切线为在点处的切线为，求曲线的方程；（2）求曲线的过点的切线方程．解：（1）已知两点均在曲线C上. ∴∵∴，可求出∴曲线：（2）设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴解得：或，当时，切点为，切线方程为：当时，切点为，切线方程为：例4．设函数(1)证明：当且时，；(2)点（0<x0<1）在曲线上，求曲线上在点处的切线与轴，轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用表示）解：（1）∵，∴，两边平方得：即：，∵，∴，∴∴（2）当时，，曲线在点处的切线方程为：，即：∴切线与与轴，轴正向的交点为∴所求三角形的面积为例5．求函数图象上的点到直线的距离的最小值及相应点的坐标.解：首先由得知，两曲线无交点.，要与已知直线平行，须，故切点：（0 , －2）. .五．课后作业：班级学号姓名1．曲线在点处的切线方程为（）2．已知质点运动的方程为，则该质点在时的瞬时速度为（）120 80 503．设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）4．若，则5．设函数的导数为，且，则已知曲线（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点并与曲线相切的直线方程．7.设曲线：，在哪一点处的切线斜率最小？设此点为求证：曲线关于点中心对称.8.已知函数. 若，且，，求．9..曲线上有一点，它的坐标均为整数，且过点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.10.已知函数的图像过点.过点的切线与图象仅点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求的解析式.。

专题13导数的概念及运算最新考纲1.了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.基础知识融会贯通1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx－f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0x x y ='｜，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx－fx 0Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区(a ，b )间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin xf (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【知识拓展】1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．重点难点突破 【题型一】导数的计算 【典型例题】 求下列函数的导数 （1）y ＝2x 3﹣3x 2﹣4； （2）y ＝xlnx ；（3）．【解答】解：（1）y′＝6x2﹣6x；（2）y′＝lnx+1；（3）．【再练一题】已知函数f（x）＝e x（2﹣lnx），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1）的值为．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x（2﹣lnx）＝2e x﹣e x lnx，其导数f′（x）＝2e x﹣e x lnx，则f′（1）＝2e1﹣e1ln1e，故答案为：e．思维升华导数计算的技巧(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．【题型二】导数的几何意义命题点1 求切线方程【典型例题】32．已知曲线C：y＝x3﹣3x2+2x（1）求曲线C上斜率最小的切线方程．（2）过原点引曲线C的切线，求切线方程及其对应的切点坐标．【解答】解：（1）y'＝3x2﹣6x+2＝3（x﹣1）2﹣1，所以，x＝1时，y'有最小值﹣1，把x＝1代入曲线方程得：y＝0，所以切点坐标为（1，0），故所求切线的斜率为﹣1，其方程为：y＝﹣x+1．（2）设切点坐标为M（x0，y0），则y0＝x03﹣3x02+2x0，切线的斜率为3x02﹣6x0+2，故切线方程为y﹣y0＝（3x02﹣6x0+2）（x﹣x0），因为切线过原点，所以有﹣y0＝（3x02﹣6x0+2）（﹣x0），即：x03﹣3x02+2x0＝x0（3x02﹣6x0+2），解之得：x0＝0或．所以，切点坐标为M（0，0）或，相应的切线方程为：y＝2x或即切线方程为：2x﹣y＝0或x+4y＝0．【再练一题】已知函数y＝e x（1）求这个函数在x＝e处的切线方程；（2）过原点作曲线y＝e x的切线，求切线的方程．【解答】解：（1）函数y＝e x，f（e）＝e e，则切点坐标为（e，e e），求导y′＝e x，则f′（e）＝e e，即切线斜率为e e，则切线方程为y﹣e e＝e e（x﹣e），化简得y＝e e x﹣e e+1+e e；（2）y＝e x，y′＝e x，设切点的坐标为（x0，e x0），则切线的斜率为f′（x0）＝e x0，故切线方程为y﹣e x0＝e x0（x﹣x0），又切线过原点（0，0），则﹣e x0＝e x0（﹣x0），解得x0＝1，y0＝e，则切线方程为y＝ex．命题点2 求参数的值【典型例题】若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y＝xe x相切，则m的取值X围是（）A．（，+∞）B．（）C．（0，+∞）D．（）【解答】解：设切点为（x0，y0），过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为m，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到f′（x）＝（﹣x﹣1）（x+2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故得到f（﹣2）＜m＜f（﹣1），即故选：D．【再练一题】已知函数f（x）＝e x+ax2（a∈R），若曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（m＞1）处的切线为l，且直线l 在y轴上的截距小于1，则实数a的取值X围是（）A．（，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[，+∞）D．（﹣1，）【解答】解：函数f（x）＝e x+ax2的导数为f′（x）＝e x+2ax，可得曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（m＞1）处的切线斜率为e m+2am，即有切线的方程为y﹣（e m+am2）＝（e m+2am）（x﹣m），可令x＝0可得y＝e m﹣me m﹣am2，由题意可得e m﹣me m﹣am2＜1对m＞1恒成立，则a，由g（m）1，由e m﹣me m﹣1+m2＝（1﹣m）（e m﹣1﹣m），由m＞1可得1﹣m＜0，由y＝e x﹣1﹣x的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，y′＞0，函数y递增；当x＜0时，y′＜0，函数y递减，可得y＝e x﹣1﹣x的最小值为e0﹣1﹣0＝0，可得m＞1时，e m﹣1﹣m＞0，则（1﹣m）（e m﹣1﹣m）＜0，即g（m）＜0，则1恒成立，可得a≥﹣1，即a的X围是[﹣1，+∞）．故选：B．命题点3 导数与函数图象【典型例题】已知三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则．【解答】解：f′（x）＝3ax2+2bx+c；根据图象知，x＝﹣1，2是f（x）的两个极值点；∴x＝﹣1，2是方程3ax2+2bx+c＝0的两实数根；根据韦达定理，；∴2b＝﹣3a，c＝﹣6a；∴．故答案为：1．【再练一题】如图所示，y ＝f （x ）是可导函数，直线l ：y ＝kx +3是曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线，若h （x ）＝xf （x ），则h ′（1）＝．【解答】解：∵直线l ：y ＝kx +3是曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线， ∴点（1，2）为切点，故f ′（1）＝k ，f （1）＝k +3＝2， 解得k ＝﹣1，故f ′（1）＝﹣1，f （1）＝2， 由h （x ）＝xf （x ）可得h ′（x ）＝f （x ）+xf ′（x ）， ∴h ′（1）＝f （1）+f ′（1）＝1， 故答案为：1．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．基础知识训练1．点P 在曲线上移动，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值X 围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，即切线的斜率X围是，那么倾斜角的X围是，故选A．2．已知，若，则a的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，所以，解得.3．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题中图象知由导数的几何意义知.∴4．下面说法正确的是（）A．若不存在，则曲线在点处没有切线B．若曲线在点处有切线，则必存在C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在【答案】C【解析】()0,2-的几何意义是曲线在点处切线的斜率．当切线与x轴垂直时，切线斜率不存在，可知选项A，B，D不正确.5．函数在处的导数的几何意义是（ ）A ．在点处的斜率B ．在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C ．曲线在点处切线的斜率D ．点与点连线的斜率【答案】C【解析】由导数的几何意义可知，函数在的导数为曲线在点处的切线的斜率． 6．函数在闭区间内的平均变化率为（ ）A ．B ．C ．20t s =D ．20t s = 【答案】D 【解析】∵，∴该函数在区间内的平均变化率为，故选D.7．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据导数的定义可知，所以，故选B.8．已知为的导数，且，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】．9．【某某省某某市2019届高三第二次模拟考试】曲线处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，且，所以切线方程为，即，此直线与轴、轴交点坐标分别为，所以切线与坐标轴围成的三角形面积是，故选B.10．【某某省某某市2019届高三第一次模拟考试】过点引曲线的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设切点坐标为，即.解得，即.故.故选：B11．【甘青宁2019届高三3月联考】若直线与曲线相切，则（）A．3 B．C．2 D．【答案】A【解析】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，故选A.12．【某某省某某市2019届高三总复习质检】设点P在曲线上，点Q在曲线上，点R 在直线上，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时PR的最小值为，的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时RQ的最小值为，则P，Q重合为，R为，取得最小值为．故选：D．13．【某某壮族自治区某某市2019届高三毕业班3月模拟考试】已知函数的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数的取值X围是______．【答案】【解析】函数的图像上存在关于原点对称的对称点，∴方程，即上有解，∴方程有解．设，且的切线，设切点为，由，则有，解得．由图象可得，要使直线的图象有公共点，则，解得．所以实数的取值X围是．故答案为：．14．【2019年3月高三第一次全国大联考（新课标Ⅱ卷)】若曲线处的切线与直线垂直，则切线、直线轴围成的三角形的面积为____________．【答案】【解析】由题可得，故切线的斜率为，又切点坐标为，所以切线的方程为，因为切线与直线垂直，所以，所以直线的方程为，易得切线与直线的交点坐标为，因为切线轴的交点坐标为，直线轴的交点坐标为，所以切线、直线轴围成的三角形的面积为．15．【某某省揭阳市2019届高三一模】在曲线的所有切线中，斜率为1的切线方程为________.【答案】【解析】，所以切点为，切线方程为16．【某某省某某市2019届高三上学期期末教学质量检测】曲线在点处的切线与圆相切，则______．【答案】【解析】的导数为，可得切线的斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为，由切线与圆相切，可得，可得．故答案为：．17．已知曲线.（1）试求曲线在点处的切线方程；（2）试求与直线平行的曲线的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】（1）∵，∴，求导数得，∴切线的斜率为，∴所求切线方程为，即．（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为．又∵所求切线与直线平行，∴，解得，代入曲线方程得切点为或，∴所求切线方程为或，即或．18．在赛车中，赛车位移与比赛时间存在函数关系（的单位为，的单位为）．求：（1），时的与；（2）时的瞬时速度．【答案】（1），（2）【解析】（1）..（2）.当，时，.答：，时的为，为，在时的瞬时速度为.19．求下列函数的导数:(1)f(x)=(x+1)2(x-1); (2)f(x)=2-2sin2;(3)f(x)=; (4)f(x)=2tan x.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】(1)因为f(x)=(x+1)2(x-1)=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,所以f '(x)=3x2+2x-1.(2)因为f(x)=2-2sin2=1+cos x,所以f '(x)=-sin x.(3)f '(x)=.(4)因为f(x)=2tan x=,所以. 20．求满足下列条件的函数.(1) 是三次函数,且(2) 是二次函数,且.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意设则由已知得解得,故(2)由题意设,则．所以,化简得,因为此式对任意x都成立,所以,解得,故.能力提升训练1．【某某某某一中(西校区)2018-2019学年高二下学期第一次月考】下列式子不．正确的是 ( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】对于选项C，，C错误故选C2．【某某省棠湖中学2018-2019学年高二下学期第一次月考】若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()A．1 B．2 C．0 D．－1【答案】C【解析】依题意，令，解得，故选C.3．【某某省部分重点中学2019届高三第二次联考高三】已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，∴函数为奇函数，∴，∴．∴，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选B．4．【某某省某某市普通高中2019届高三质量监测（二)】已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.5．【某某省日照市2017届高三下学期第一次模拟考试】曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为．则直线l方程为，即，可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为，在△O AB中，，当且仅当2＝2时取等号．由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，则△OAB外接圆面积，故选：C．6．【某某省某某外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次】等比数列中，，函数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，所以，令，则=，故选C7．【某某省双流县棠湖中学2019届高三上学期期末考试】已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，由可得，设公切线在上的切点坐标为，在上的切点坐标为，利用导函数研究函数切线的性质可得：，整理可得：，①结合斜率公式有：，②将①代入②中整理可得：，则的解析式可能为.本题选择B选项.8．【某某省某某市阆中中学2018-2019学年高二3月月考】已知函数(1)求(2)求曲线在点处的切线的方程；【答案】（1）（2）【解析】(1)(2)可判定点在曲线上．在点处的切线的斜率为.切线的方程为即9．【某某省某某市八一中学、洪都中学等七校2018-2019学年高二上学期期末考试】设函数f（x）=ae x lnx+，（1）求导函数f′（x）（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x﹣1）+2,求a，b．【答案】(1)见解析（2）a=1,b=2【解析】（1）由f（x）=ae x lnx+，得;（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，将x=1代入切线方程得：y=2．将x=1代入函数f（x）得：f（1）=b．∴b=2．将x=1代入导函数，则f'（1）=ae=e．∴a=1．10．【某某省某某华侨学校2018-2019学年高二上学期第三次月考】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）6x-sinx；；（3）lnx+【解析】（1）y′=6x-sinx（2）y′=（3）y′==lnx+故答案为：6x-sinx；；lnx+。

2023年高考数学一轮总复习第14讲：导数的概念与运算【教材回扣】1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx→0ΔyΔx ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作________，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数，记作f ′(x )或y ′.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝________．3．基本初等函数的导数运算基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝________f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝________f (x )＝sin x f ′(x )＝________f (x )＝cos x f ′(x )＝________f (x )＝e x f ′(x )＝________f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝________f (x )＝ln x f ′(x )＝________f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝□10________4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝□11________________；(2)[f (x )g (x )]′＝□12________________；(3)f (x )g (x )′＝□13________________(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝□14________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()2．导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．()3．曲线f (x )＝x 3在原点(0,0)处的切线方程为y ＝0.()4．函数f (x )＝ln(1－x )的导数是f ′(x )＝11－x.()题组二教材改编1．(多选题)下列导数运算正确的是()A ．(x n e x )′＝nx n －1e x ＋x n e x′＝2x ＋1－x22x ＋12x ＋1＝3x ＋22(2x ＋1)2x ＋1′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x ＋sin x )(sin x ＋cos x )2＝cos x －sin x sin x ＋cos xD ．[(3x ＋1)2ln(3x )]′＝[(3x ＋1)2]′ln(3x )＋(3x ＋1)2·(ln 3x )′＝6(3x ＋1)ln(3x )＋(3x ＋1)2x2．曲线y ＝x 2＋3x在点(1,4)处的切线方程为________．3．已知函数f (x )满足f (x )＝f x －cos x ，则f ________.题组三易错自纠1．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是()2．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于()A.193 B.163C.133 D.1033．(一题两空)已知函数f (x )＝(bx －1)e x ＋a (a ，b ∈R )．若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝________.题型一导数的运算[例1](1)函数f (x )＝2x ＋1的导函数f ′(x )＝()A ．22x ＋1 B.22x ＋1C.122x ＋1D.12x ＋1(2)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)等于()A.92B.94C.174D.178(3)[2021·山东师大附中模拟]设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，则a ＋b ＝________.[听课记录]类题通法(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的求导，这样可以减少运算，提高运算速度减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.巩固训练1：(1)已知f (x )＝－2cos f ′(x )＝________.(2)设f ′(x )是函数f (x )＝cos xex ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________．(3)若函数f (x )＝e ax＋ln(x ＋1)，f ′(0)＝4，则a ＝________.题型二导数的几何意义高频考点角度|求切线方程[例2][2021·山东新高考质量测评联考]设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －1)x ，(x ∈R )为奇函数，则曲线y ＝f (x )x2在点(1,0)处的切线方程为()A ．y ＝－2x ＋2B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝x －1[听课记录]类题通法求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.巩固训练2：[2020·全国卷Ⅰ]函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为()A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1角度|求切点坐标[例3]设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为()A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)[听课记录]类题通法求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式，求出切点的纵坐标.巩固训练3：设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋aex 的导数是f ′(x )，且f ′(x )是偶函数．若曲线y＝f (x )的一条切线的斜率是52，则切点的横坐标为________．角度|求参数的值(或范围)[例4]函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)[听课记录]类题通法利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)切点既在切线上，又在曲线上.巩固训练4：直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于()A ．2B ．－1C ．1D ．－2角度|两曲线的公切线问题[例5]若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.[听课记录]类题通法解决公切线问题的思路分别设出两切线的切点坐标，然后求导得到切线的斜率，则求得两条切线方程，接着让两切线方程的斜率和截距分别相等，得到两个关于切点的方程组，解方程组即可.巩固训练5：已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为________．[预测1]核心素养——逻辑推理若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是()－12，＋∞ B.－12，＋∞C ，＋∞D ．[0，＋∞)[预测2]新题型——一题两空已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，则f (－2)＝________；曲线y ＝f (x )在点(－2，f (－2))处的切线方程为________________．状元笔记明晰求切线方程中“在”与“过”的不同求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，应先设切点，求切点坐标．[典例]若存在过点O(0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值为________．【解析】易知点O(0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O(0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x.＝2x ＝x 2＋a得x 2－2x ＋a ＝0.依题意，Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x.＝－14x ，＝x 2＋a得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.【答案】1或1642023年高考数学一轮总复习第14讲：导数的概念与运算答案[教材回扣]□1f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0□2f ′(x 0)□30□4αx α－1□5cos x □6－sin x □7e x □8a x ln a □91x□101x ln a□11f ′(x )±g ′(x )□12f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )□13f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2□14y ′u ·u ′x [题组练透]题组一1．× 2.× 3.√ 4.×题组二1．答案：AD2．解析：∵y ′＝2x －3x 2，∴y ′|x ＝1＝2－3＝－1.∴所求切线方程为：y －4＝－(x －1)，即x ＋y －5＝0.答案：x ＋y －5＝03．解析：∵f (x )＝fsin x －cos x ，∴f ′(x )＝fcos x ＋sin x ，∴f＝fcos π4＋sinπ4，即f＝22，∴f＝221－22＝2＋1.答案：2＋1题组三1．解析：由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C ；又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B ，故选D.答案：D2．解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，又f ′(－1)＝4，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.故选D.答案：D3．解析：∵f (x )＝(bx －1)e x ＋a ∴f ′(x )＝e x (bx ＋b －1)又f ′(0)＝1，f (0)＝0∴f ′(0)＝b －1＝1，－1＋a ＝0解得a ＝1，b ＝2.答案：12课堂题型讲解题型一例1解析：(1)∵f (x )＝2x ＋1＝(2x ＋1)12，∴f ′(x )＝12(2x ＋1)－12×2＝(2x ＋1)－12＝12x ＋1.故选D.(2)f ′(x )＝4x －3f ′(2)＋1x ，∴f ′(2)＝4×2－3f ′(2)＋12，∴f ′(2)＝178.故选D.(3)f ′(x )＝a e x ＋b x，（1）＝a e ＋b ＝e ，（－1）＝a e －1－b ＝1e ，＝1，＝0，∴a ＋b ＝1.答案：(1)D (2)D (3)1巩固训练1解析：(1)f (x )＝sin x2cos＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ，∴f ′(x )＝－12cos x .(2)f ′(x )＝（－sin x ）e x －cos x ·e x（e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x＋1，∴f ′(0)＝－1＋1＝0.(3)f ′(x )＝a e ax ＋1x ＋1，∴f ′(0)＝a ＋1＝4，∴a ＝3.答案：(1)－12cos x (2)0(3)3题型二例2解析：由题意知a ＝0，∴y ＝f （x ）x 2＝x 3－x x2＝x －1x ，∴y ′＝1＋1x 2，∴y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.故选C.答案：C巩固训练2解析：f ′(x )＝4x 3－6x 2，则f ′(1)＝－2，易知f (1)＝－1，由点斜式可得函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B.答案：B例3解析：f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ，由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，x 20＋2ax 0＝－1，①0＋x 30＋ax 20＝0，②由①知x 0≠0，故②可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1；当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).故选D.答案：D巩固训练3解析：∵f ′(x )＝e x －a e x ，且f ′(x )是偶函数，∴e －x －a e－x ＝e x －a e x ，得a ＝－1.设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0＋1e x 0＝52，解得x 0＝ln 2或x 0＝－ln 2.答案：±ln 2例4解析：函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x.因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2).故选B.答案：B巩固训练4解析：依题意知y ′＝3x 2＋a 3＋a ＋b ＝3，×12＋a ＝k ，＋1＝3，＝－1，＝3，＝2.所以2a＋b ＝1，故选C.答案：C例5解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln (x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln (x 2＋1)).则切线方程分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln (x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，依题意，＝1x 2＋1，x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 2巩固训练5解析：设l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，e x 1)，与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，ln x 2＋2).因f ′(x )＝e x ，g ′(x )＝1x ，所以l ：y ＝e x 1·x －x 1·e x 1＋e x 1y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1.x 1＝1x 21－x 1）e x 1＝ln x 2＋11＝0，2＝1，1＝1，2＝1e．∴切线方程为y ＝x ＋1或y ＝e x .答案：y ＝e x 或y ＝x ＋1高考命题预测预测1解析：f′(x)＝1x＋2ax＝2ax2＋1x(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－1x2(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞).故选D.答案：D预测2解析：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝a＝0，故a＝0，f(－2)＝－f(2)＝－(16－12)＝－4，当x<0时，－x>0，故f(－x)＝－2x3－3x2.f(x)＝－f(－x)＝2x3＋3x2，f′(x)＝6x2＋6x，f′(－2)＝12，故切线方程为：y＝12(x＋2)－4，即12x－y＋20＝0.答案：－412x－y＋20＝0。

高三一轮复习课堂讲义 导数的概念及运算★ 知 识 梳理 ★1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率x y ∆∆.（3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处 的3. 几种常见函数的导数'c =0（c 为常数）；()n x '=1n nx -（R n ∈）；'(sin )x = ；'(cos )x = ；(ln )x '=1x ； (log )a x '=1log a e x； '()x e =xe ；'()x a =ln xa a .4.运算法则①求导数的四则运算法则：'()u v ±=''u v ±；'()uv = ；'u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)v ≠.考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 考点2.求曲线的切线方程[例2] 如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s 内其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s )，求小球在t =5时的速度.1. 曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 题型1:求导运算[例4] 求下列函数的导数：（1） cos xy e x = （2）2tan y x x =+导数在研究函数中的应用★ 知 识 梳理 ★1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 判别f (x 0)是极大、极小值的方法若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 题型1.讨论函数的单调性例5． 求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）αln 22-=x y题型2.由单调性求参数的值或取值范围例6: 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.题型3.借助单调性处理不等关系 例7．求证下列不等式 （1）当0x >，求证1xe x >+（2）πxx 2sin > )2,0(π∈x题型4导数与函数的极值和最大(小)值.例8．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是例9．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间强化训练一、选择题：1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．02．已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为_______________________．3．下列求导运算正确的是( )A ．(x +211)1x x +=' B ．(log 2x )'=2ln 1x C ．(3x)'=3xlog 3e D ．(x 2cos x )'=－2x sin x 4．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞5．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0 7．函数323922yx x x x 有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 9．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 10．函数x x y ln =的最大值为（ ）A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 11．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④12．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）二、填空题：13．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 14．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．15．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。