Chap8 假设检验

第八章 假设检验

教学

要求 1．了解假设检验的基本思想；

2．掌握假设检验的基本步骤；

3．掌握正态总体的均值及方差的假设检验。

重点 单个正态总体的均值和方差的假设检验。

难点 两个正态总体的均值差和方差比的假设检验。

★知识点精讲

一．假设检验的基本思想、基本步骤和可能产生的两类错误

1．基本思想

小概率原理：概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的。

2.假设检验的基本步骤

(1)提出原假设H0，备择假设H1

(2)选择统计量K

(3)由样本值x1，x2，…，xn计算统计量之值ˆK．

(4)判断：ˆK落入拒绝域时否定H0，否则认为H0为真．

例1 用一仪器间接测量温度5次，温度(℃)值为：1250，1265，1245，1260，1275。而用另一种精密仪器测得该温度为1277℃(可看作真值)，问用此仪器测温度有无系统偏差(测量的温度服从正态分布)？ （方差未知时对均值的检验）

解： (1)提出零假设H0：＝1277,H1：≠1277．

(2)选择统计

nSxt/1277

(3)由给定的样本值，计算得到,4570,12592Sx

于是37.355.14212771259||t

(4)由检验水平＝0.05， t0.025(4)＝2.776．

拒绝域为776.2)4(||025.0tt 由于|t|＞2.776，从而否定H0.

认为≠1277。即该仪器测温度有系统误差． 3.假设检验的两类错误

（1）第Ⅰ类错误（弃真错误）：H0为真，否定H0

P{否定H0|H0为真}＝．

（2）第Ⅱ类错误（取伪错误）：H0为假，接受H0

P{接受H0|H0不真}＝

（3）当容量n一定时，变小，则变大；

相反地，变小，则变大；

取定要想使变小，则必须增加样本容量．

二、单正态总体的均值和方差的假设检验

高等数学教研室·赵俊 PAGE 1

华东船舶工业学院 概 率 论 与 数 理 统 计 2004年2月 第八章 假设检验 高等数学教研室·赵俊

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华东船舶工业学院 概 率 论 与 数 理 统 计 2004年2月 引例1某产品出厂检验规定: 次品率p不超过4%才能出厂. 现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品, 问该批产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否出厂？01.00097.0)1()3(9331212ppCP代入04.0p解假设0.04,p04.0p这是小概率事件, 一般在一次试验中是不会发生的, 现一次试验竟然发生, 故认为原假设不成立, 即该批产品次品率则该批产品不能出厂.这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受原假设, 即该批产品可以出厂.3.0306.0)1()1(11111212ppCP若不采用假设检验, 按理也不能够出厂.注04.0083.0121直接算高等数学教研室·赵俊 PAGE 3

华东船舶工业学院 概 率 论 与 数 理 统 计 2004年2月 若原假设正确, 则)366.3,68(~2NX故66.368X取较大值是小概率事件.因而68)(XE,即X偏离68不应该太远,偏离较远是小概率事件,由于68~(0,1)3.6/6XN规定为小概率事件的概率大小,通常取= 0.05, 0.01,…683.6/6XPc例如,取= 0.05,则96.1025.02zzc因此,可以确定一个常数c ,使得高等数学教研室·赵俊 PAGE 4

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第八章 假设检验

统计推断的另一个问题是假设检验，即在总体的分布未知或总体的分布形式已知但参数未知的情况下，为推断总体的某些性质，提出关于总体的某种假设，然后根据抽样得到的样本观测值，运用统计分析的方法，对所提的假设作出接受还是拒绝的决策，这一决策的过程称之为假设检验.假设检验分为参数假设检验和非参数假设检验,仅涉及总体分布的未知参数的假设检验称为参数假设检验,不同于参数假设检验的称作非参数假设检验.

本章介绍假设检验的基本概念以及正态总体参数的显著性检验.

§1 假设检验的基本概念

1.1 假设检验的思想与方法

下面我们通过例子说明假设检验的基本思想和方法.

例1．1 某化肥厂用自动打包机包装化肥,其均值为100kg,根据经验知每包净重X(单位: kg)服从正态分布，标准差为1 kg.某日为检验自动打包机工作是否正常,随机地抽取9包,重量如下:

99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5

试问这一天自动打包机工作是否正常?

本例的问题是如何根据样本值来判断自动打包机是否工作正常,即要看总体均值是否为100kg.为此,我们给出假设

0:100H

现用样本值来检验假设0H是否成立, 0H成立意味着自动打包机工作正常,否则认为自动打包机工作不正常.在假设检验问题中,我们把与总体有关的假设称之为统计假设,把待检验的假设称之为原假设,记为0H,与原假设0H相对应的假设称为备择假设,记为1H.本例中的备择假设为1:100H.用样本值来检验假设0H成立,称为接受0H(即拒绝1H),否则称为接受1H (即拒绝0H).

如何检验0:100H成立与否?我们知道，样本均值X是的无偏 256 估计,自然地希望用X这一统计量来进行判断,在0H为真的条件下,X的观测值x应在100附近,即100x比较小,也就是说，要选取一个适当的常数k,使得100/Xkn是一个小概率事件.我们称这样的小概率为显著性水平,记为01.一般地,取0.10,0.05,0.01等.注意到当0H为真时,统计量

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192 第八章 假设检验

2009考试内容

显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

2009考试要求

1．理解显著性检验基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。

2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。

一、 假设检验与参数区间估计的关系

1.1 参数的置信度为1的区间估计，正好是显著性水平为的假设检验的接受域。

1.2 区间估计中，假设总体中的参数是未知的，要用样本对它进行估计；而假设检验中，是先对参数做出假设，再用样本对假设作检验。在某种意义上，假设检验是区间估计的逆问题。

1.3 具有完全相同的8大枢轴量（8大枢轴量详见第七章）。

二、假设检验的基本思想及两类错误与显著性检验

比如，一个人说他射击是高手，我们将半信半疑。怎样才能确定他的话真假，最好的办法就是先假设他是高手或低手，然后让他实际打几枪，根据他射击的结果来检验。如果其射击结果命中率在90% 以上，我们就接受他的说法；如果命中率在50% 以下，我们就拒绝他的说法。但我们的判断也可能犯错误，一是他的确是高手，但在这次射击中失误了，而我们却只根据他这一次的命中率没把他当高手，也就是说我们犯了以真当假的错误—称为第一类错误。二是他本来是个低手，但这次命中率恰好超过了90% 以上，我们却把他当成了高手，实事上我们犯了以假当真的错误—称为第二类错误。这两类错误，我们都尽可能使其概率最小，但实事上做不到，因为它们是此消彼长的关系，因此，我们首先要控制主要错误（又称显著性错误）的概率。

为了说明两类错误主次关系的直观含义，我们引用一个生活例子：某人因身体不适前往医院求医。医生的职责就是通过各种生理检查，根据化验的数据作出该病员是否犯病的结论。然而再好的医生都不可避免会犯下两类错误。一种是病员确实有病，但由于生理指标未出现明显的异常现象，使医生判断为无病。另一种是病员实际上没有疾病，但生理指标呈现某种异常，使医生判断为有病。这两类错误都会导致病员的损失。然而两类错误的损失是不一样的。如果“有病判无病”—第1类错误，其结果可能延误了治病的时机造成病情的加重以致死亡；而“无病判有病” —第2类错误其结果是病员会有一些经济或其他损失，然而对生命是无碍的。因此医生总是尽可能地避免犯上述第1类错误。 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计