2014年初三中考数学专题复习第10讲 圆
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2014年初三中考数学专题复习第10讲 圆
【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义： 圆是到定点的距离等于 的点的集合
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的 叫做弦，过圆内任意一点（非圆心），最短的弦是 ，最长的弦是
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
二、垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。
三、 圆心角、圆周角定理及其推论：
1、圆心角、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，900的圆周角所对的弦是
【提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有
个2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
四、 圆内接四边形：
定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。
性质：圆内接四边形的对角 。
【提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】
五、 点与圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d 则：点P在圆内 <＝> 点P在圆上<＝>
点P在圆外 <＝>
六、 过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的 。
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等
【提醒：锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 钝角三角形的外心在三角形 】
七、直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线。
2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r
3、 切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的
【提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线
【提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】
4、 切线长定理：
⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角
5、 三角形的内切圆：
⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ⑵三角形内心的形成：是三角形
的交点
内心的性质：到三角形各
的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分
【提醒：三类三角形内心都在三角形
若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】
八、 圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有 种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则
⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>
⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>
⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>
【提醒：两圆相离（无公共点）包含 和
两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆 此时d= 】
【重点考点例析】
考点一：垂径定理
例1（2013•舟山）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）A．2 B．8 C．2 D．2
针对性练习1、（2011年苏州）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．
(1)弦长AB等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
O
A B C D
(第26题) 考点二：圆周角定理
例2 （2013年苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于
A．55° B．60° C．65° D．70
针对性练习（2013•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（ ）A．3 B．4 C．5 D．8
2．（2013•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）A．36° B．46° C．27° D．63°
考点三：切线的性质
例3：（2013•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=，求DE的长．
针对性练习：1、（2013年苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．(1)求证：BD＝BF；(2)若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半径．
考点四、切线的判定
例4：（2013年南京）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且关系，并说明理∠BCP=∠ACD（1）判断直线PC与⊙O的位置由；
（2）若AB=9，BC=6，求PC 的长. 第4题lO2O1
考点五、与圆有关的位置关系
例5：（2013年南京）如图，⊙O1、⊙O2的圆心O1、O2在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，O1O2=8cm。⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动。再此过程中，⊙O1与⊙O2没有出现的位置关系是
A．外切 B．相交
C．内切 D．内含
【聚焦江苏中考】
1．（2013•南通）如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是 的中点，CD与AB的交点为E，则 等于（ ） A．4 B．3.5 C．3 D．2.8
2．（2013•扬州）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，-7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= ．
4．（2013•盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB= ．
5、（2010年苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是
A．2 B．1 C．
D．
6．（2013•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=
．
7、（2012年苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半 圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x(2
⑴当x=时，求弦PA、PB的长度；
(2)当x为何值时PD·CD的值最大？最大值是多少？
