中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合
1．如图，点 A、B、C 分别是⊙O 上的点， CD 是⊙O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点， AP=AC．
（1）若∠ B=60°，求证：AP 是⊙O 的切线； （2）若点 B 是弧 CD 的中点，AB 交 CD 于点 E，CD=4，求 BE·AB 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ ADC 的度数，求出∠ P、∠ ACO、∠ OAC 度数，求出∠ OAP=90°，根据切线判定 推出即可； （2）求出 BD 长，求出△ DBE 和△ ABD 相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接 AD，OA，
即 r： 3 5 r：5，解得 r 15 ，
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OD 15 ， OB 25 ，
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8
在 Rt ODB 中， BD OB2 OD2 5 ， 2
CD BC BD 3 ， 2
3 在 Rt ACD 中， tan1 CD 2 1 ，
AC 3 2 AE 为直径， ADE 90 ， EDB ADC 90 ， 1 ADC 90 ， 1 EDB ， tanEDB 1 ．
由（1）知 AC=CE=CD， ∴ CF=CG=AC， ∵ 四边形 AEFG 是⊙C 的内接四边形， ∴ ∠ G+∠ AEF=180°， 又∵ ∠ AEF+∠ BEF=180°， ∴ ∠ G=∠ BEF， ∵ ∠ EBF=∠ GBA， ∴ △ BEF∽ △ BGA，
∴ BE BG ，即 BF•BG=BE•AB， BF BA
OA OD ，
2 3，
1 3 ，
OD / / AC ，
AC BC ，
OD BC ，
BC 是 O 的切线；
2 解：在 Rt ACB 中， AB 32 42 5，
设 O 的半径为 r，则 OA OD r ， OB 5 r ，
OD / / AC ，
BDO ∽ BCA ，
OD ： AC BO ：BA，
AB= AD2 BD2 =26，由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】 （1）连接 AD．如图 1，设∠ BDC=α，∠ ADC=β，
则∠ CAB=∠ BDC=α，
∵ 点 C 为弧 ABD 中点，∴ AC = CD ，∴ ∠ ADC=∠ DAC=β，∴ ∠ DAB=β﹣α，
（2）P 为 x 轴正半轴上一点，且 PA=OA，连接 PC，试判断 PC 与⊙O 的位置关系，并说明 理由； （3）有一动点 M 从 A 点出发，在⊙O 上按顺时针方向运动一周，当 S△ MAO=S△ CAO 时，求 动点 M 所经过的弧长，并写出此时 M 点的坐标．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的 M 点坐标分别为：M1（2，﹣2 3 ）、M2 （﹣2，﹣2 3 ）、M3（﹣2，2 3 ）、M4（2，2 3 ）．
4
4
4
∴ DC2= 27 ， 2
∴ AC=DC= 3 6 ， 2
∴ AB= 9 6 ，此时 AB 3 ．
4
AC 2
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性
质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．
3．如图，以 O 为圆心，4 为半径的圆与 x 轴交于点 A，C 在⊙O 上，∠ OAC=60°． （1）求∠ AOC 的度数；
在 Rt△ DMC 中，DC=AC=3k，MC= 1 BC= 6 k， 2
∴ DM= CD2 CM 2 3k ， ∴ OM=OD﹣DM=3﹣ 3 k，
在 Rt△ COM 中，由 OM2+MC2=OC2 得（3﹣ 3 k）2+（ 6 k）2=32，
解得：k= 2 3 或 k=0（舍）， 3
∴ BC=2 6 k=4 2 ；
2．如图，△ ABC 是⊙O 的内接三角形，点 D 在 BC 上，点 E 在弦 AB 上（E 不与 A 重
合），且四边形 BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE； （2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC； （3）已知⊙O 的半径为 3．
①若 AB = 5 百度文库求 BC 的长； AC 3
②当 AB 为何值时，AB•AC 的值最大？ AC
再证明 BDO ∽ BCA ，利用相似比得到 r： 3 5 r ：5，解得 r 15 ，接着利用勾
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股定理计算 BD 5 ，则 CD 3 ，利用正切定理得 tan 1 1 ，然后证明
2
2
2
1 EDB，从而得到 tan EDB 的值．
【详解】
1 证明：连接 OD，如图，
AD 平分 BAC ， 1 2，
【解析】 【分析】 （1）由于∠ OAC=60°，易证得△ OAC 是等边三角形，即可得∠ AOC=60°． （2）由（1）的结论知：OA=AC，因此 OA=AC=AP，即 OP 边上的中线等于 OP 的一半，由 此可证得△ OCP 是直角三角形，且∠ OCP=90°，由此可判断出 PC 与⊙O 的位置关系． （3）此题应考虑多种情况，若△ MAO、△ OAC 的面积相等，那么它们的高必相等，因此 有四个符合条件的 M 点，即：C 点以及 C 点关于 x 轴、y 轴、原点的对称点，可据此进行 求解． 【详解】 （1）∵ OA=OC，∠ OAC=60°， ∴ △ OAC 是等边三角形， 故∠ AOC=60°． （2）由（1）知：AC=OA，已知 PA=OA，即 OA=PA=AC；
180
3
④当 C、M 重合时，C 点符合 M 点的要求，此时 M4（2，2 3 ）；
优弧 MA 的长为： 300 4 20 ；
180
3
综上可知：当 S△ MAO=S△ CAO 时，动点 M 所经过的弧长为 4 , 8 , 16 , 20 对应的 M 点坐 33 3 3
标分别为：M1（2，﹣2 3 ）、M2（﹣2，﹣2 3 ）、M3（﹣2，2 3 ）、M4（2，
CF=CG=AC=CE=CD，证△ BEF∽ △ BGA 得 BE BG ，即 BF•BG=BE•AB，将 BF=BC-CF=BCBF BA
AC、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得；
（3）①设 AB=5k、AC=3k，由 BC2-AC2=AB•AC 知 BC=2 6 k，连接 ED 交 BC 于点 M，
∵ ∠ ADC=∠ B，∠ B=60°， ∴ ∠ ADC=60°， ∵ CD 是直径， ∴ ∠ DAC=90°， ∴ ∠ ACO=180°-90°-60°=30°， ∵ AP=AC，OA=OC， ∴ ∠ OAC=∠ ACD=30°，∠ P=∠ ACD=30°， ∴ ∠ OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即 OA⊥AP， ∵ OA 为半径， ∴ AP 是⊙O 切线． （2）连接 AD，BD，
∴ AC= 1 OP，因此△ OCP 是直角三角形，且∠ OCP=90°， 2
而 OC 是⊙O 的半径， 故 PC 与⊙O 的位置关系是相切． （3）如图；有三种情况：
①取 C 点关于 x 轴的对称点，则此点符合 M 点的要求，此时 M 点的坐标为：M1（2，﹣
2 3 ）；
劣弧 MA 的长为： 60 4 4 ； 180 3
【答案】（1）见解析；（2） tanEDB 1 ． 2
【解析】 【分析】
1 连接 OD，如图，先证明 OD / /AC ，再利用 AC BC得到 OD BC ，然后根据切线
的判定定理得到结论；
2 先利用勾股定理计算出 AB 5，设 O 的半径为 r，则 OA OD r ， OB 5 r ，
Rt△ DMC 中由 DC=AC=3k、MC= 1 BC= 2
6 k 求得 DM=
CD2 CM 2 =
3 k，可知 OM=OD-
DM=3- 3 k，在 Rt△ COM 中，由 OM2+MC2=OC2 可得答案．②设 OM=d，则 MD=3-d，
MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知 BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由 （2）得 AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于 d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 详解：（1）∵ 四边形 EBDC 为菱形， ∴ ∠ D=∠ BEC， ∵ 四边形 ABDC 是圆的内接四边形， ∴ ∠ A+∠ D=180°， 又∠ BEC+∠ AEC=180°， ∴ ∠ A=∠ AEC， ∴ AC=CE； （2）以点 C 为圆心，CE 长为半径作⊙C，与 BC 交于点 F，于 BC 延长线交于点 G，则 CF=CG，
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3） DE 9 . 2
【解析】 【分析】 （1）连接 AD，如图 1，设∠ BDC=α，∠ ADC=β，根据圆周角定理得到∠ CAB=∠ BDC=α，由 AB 为⊙O 直径，得到∠ ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到∠ ACE=∠ ADC，等量代换得到∠ ACE=∠ CAE，于是得到结论； （3）如图 2，连接 OC，根据圆周角定理得到∠ COB=2∠ CAB，等量代换得到 ∠ COB=∠ ABD，根据相似三角形的性质得到 OH=5，根据勾股定理得到
②取 C 点关于原点的对称点，此点也符合 M 点的要求，此时 M 点的坐标为：M2（﹣2，
﹣2 3 ）；
劣弧 MA 的长为： 120 4 8 ； 180 3
③取 C 点关于 y 轴的对称点，此点也符合 M 点的要求，此时 M 点的坐标为：M3（﹣2，
2 3 ）；
优弧 MA 的长为： 240 4 16 ；
2
【点睛】 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆
的切线垂直于经过切点的半径 .判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条
直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 为 AB 下方⊙O 上一点，点 C 为弧 ABD 的中点，连接 CD，CA． （1）求证：∠ ABD=2∠ BDC； （2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，交 AD 于 E，求证：EA=EC； （3）在（2）的条件下，若 OH=5，AD=24，求线段 DE 的长度．
2 3 ）．
【点睛】 本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．
4．如图，在 ABC 中， ACB 90 ， BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE AD交 AB 于点 E，以 AE 为直径作 O ．
1 求证：BC 是 O 的切线； 2 若 AC 3， BC 4，求 tanEDB的值．
∵ CD 是直径， ∴ ∠ DBC=90°， ∵ CD=4，B 为弧 CD 中点，
∴ BD=BC=
，
∴ ∠ BDC=∠ BCD=45°，
∴ ∠ DAB=∠ DCB=45°，
即∠ BDE=∠ DAB，
∵ ∠ DBE=∠ DBA，
∴ △ DBE∽ △ ABD，
∴
，
∴ BE•AB=BD•BD=
．
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=4
2
；②
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【解析】
分析：（1）由菱形知∠ D=∠ BEC，由∠ A+∠ D=∠ BEC+∠ AEC=180°可得∠ A=∠ AEC，据此得 证；
（2）以点 C 为圆心，CE 长为半径作⊙C，与 BC 交于点 F，于 BC 延长线交于点 G，则
∵ BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC， ∴ （BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即 BC2﹣AC2=AB•AC； （3）设 AB=5k、AC=3k， ∵ BC2﹣AC2=AB•AC，
∴ BC=2 6 k，
连接 ED 交 BC 于点 M， ∵ 四边形 BDCE 是菱形， ∴ DE 垂直平分 BC， 则点 E、O、M、D 共线，
②设 OM=d，则 MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2， ∴ BC2=（2MC）2=36﹣4d2， AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2， 由（2）得 AB•AC=BC2﹣AC2 =﹣4d2+6d+18
=﹣4（d﹣ 3 ）2+ 81 ， 44
∴ 当 d= 3 ，即 OM= 3 时，AB•AC 最大，最大值为 81 ，