江苏省东台市实验中学教育集团9年级数学上册《三角形的内切圆》和《切线的判定与性质》练习题(无答案)

三角形的内切圆复习讲义

一、知识点

1.阐述概念：三角形的内切圆是和三角形各边都相切的圆

举例：如图三角形ABC为⊙O的内切圆。

2.知识点产生的条件：△ABC的三条角平分线的交点为圆的圆心，交点到三边的距离为半径。

3.结构和本质

4.特征[位置关系]①⊙O和△ABC的三边都相切

②点O为△ABC内心

③点O到△ABC 的三边距离相等。

[角的数量关系]①∠BOC=90+21∠BAC

②∠AFO=∠AEO=90→∠FOE=180-∠BAC→∠FDE=90-21∠BAC

[半径]设三角形ABC的面积为S→cbasr2

5.下位[三角形形状]等腰三角形的内切圆

6.应用①判断三角形形状

②求角的大小

7.重要下位：直角三角形的内切圆∠C=90→)(21cbacbaabr

cbaCbA22tan2tan

二、知识点配题

例1、如图在Rt△ABC中，直角边AC=4，BC=3，⊙O内切于Rt△ABC,则⊙O的半径r= 。（A）

分析：2cbar，AB=5,∴r=1

练习1、已知等腰三角形的外接圆半径为5，则内切圆半径为 。（B）

答案：525

2、在△ABC中，∠C=90°，a+b-2=c，则△ABC的内切圆的半径为 。（B） 答案：1

例2、已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为 。

分析：角度直角三角形的边，直角三角形的斜边 为直角三角形外接圆直径，2cbar，所以r=525。

练习1、正三角形的外接圆与它的内切圆的半径之比为 。

第18讲 从三角形的内切圆谈起

数学是一个非常美的领域，这是因为它的主要部分是由人类的心灵构成的，你可以自由探索自己心中的数学世界，这不是很美吗？那里有真正自由，正是这种自由才是数学美的力量所在。

-----瑟斯顿

知识纵横

和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：

1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；

2.圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有内切圆的主要方法。

当圆外切三角形、四边形是特殊三角形、四边形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：

例题求解

【例1】如图，⊙O是ABCRt内切圆，切点为FED、、，若BEAF、的长度是方程030132xx的两个根，则ABC的面积是

（第18届江苏省竞赛题）

思路点拨 连OFOE、，易证四边形OECF为正方形，解题的关键是求出CFCE、的长.

【例2】如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB于点E，则DAE与直角梯形EBCD的周长的比值为（ ）

A.43

B.54

C.65 D.76

（杭州市中考题）

思路点拨 本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为了求出周长，需引入字母或赋值。

【例3】如图，已知过原点O和)2,2(M的动圆⊙1O交坐标轴于BA、两点，设BOA的内切圆⊙I的直径为d，求ABd的值.

思路点拨 OBOAABABOBOAABd22，只需求出OBOA的值，注意点M的坐标特点。

【例4】如图，在ABCRt中，其中3,4,90BCACC，其中⊙1O、⊙2O，...、⊙nO为n个相等的圆，⊙1O与⊙2O相外切，⊙2O与⊙3O相外切，……，⊙1nO与⊙nO相外切，⊙1O、⊙2O，...、⊙nO都与AB相切，且⊙nO与BC相切，⊙1O与AC相切，求这些等圆的半径r（用n表示）.

第3课时 切线长定理

1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．

2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．

3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．

一、情境导入

新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．

二、合作探究

探究点一：切线长定理

【类型一】利用切线长定理求三角形的周长

如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在AB︵上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．

解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB，因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4.

【类型二】利用切线长定理求角的大小

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．

解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.

方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.

【类型三】切线长定理的实际应用

为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．

三角形的内心与内切圆解析

三角形是几何学中基础的图形之一，其内心与内切圆是三角形独特的性质之一。在本文中，我们将探讨三角形的内心与内切圆的定义、特性以及相关定理的证明。通过深入理解三角形的内心与内切圆的解析，我们可以更好地理解和应用三角形的相关概念。

一、内心与内切圆的定义

在讨论内心与内切圆之前，我们先来了解一下什么是内心和内切圆。对于任意三角形ABC，我们将其三边的角平分线交点称为三角形的内心I。而内切圆是唯一一个与三角形的三边都相切的圆，圆心恰好是三角形的内心I。

二、内心与内切圆的性质

1. 内心到三角形三边的距离相等

由于内心I是三角形ABC的角平分线的交点，所以内心到三角形的三边的距离相等，即IA=IB=IC。

2. 内角平分线与三角形边的关系

内心I到三角形各个顶点A、B、C的连线分别与三角形边BC、AC、AB相交，这些分割线称为内角平分线。内角平分线将三角形的边等分，即∠BAI=∠CAI=∠CBI=∠ABI=∠BCI=∠ACI。

3. 内切圆的切点 内切圆与三角形的三边的切点分别为D、E、F。这些切点将三角形的各边平分，即BD=DC=CE=EA=AF=FB。

三、内心与内切圆定理的证明

1. 内心到三边的距离相等的证明

设内心I到三角形的三边AB、BC、CA的距离分别为d₁、d₂、d₃。由于内心是角平分线的交点，根据角平分线的性质，可得

d₁/d₂=BA/AC， d₂/d₃=CB/BA， d₃/d₁=AC/CB

将上述三个等式联立并整理，可得

(d₁/d₂)·(d₂/d₃)·(d₃/d₁)=1

即 (d₁/d₂)²·(d₂/d₃)²·(d₃/d₁)²=1

由于三个等式中的分子与分母均为相邻边的长度，故它们是等长的。因此，d₁=d₂=d₃，证明了内心到三边的距离相等。

2. 内角平分线与三边的关系的证明

设∠BAC=a，∠ABC=b，∠BCA=c。根据三角形内角和为180°的性质，可得