高考数学一轮复习 课时分层训练24 正弦定理和余弦定理 理 北师大版
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课时分层训练(二十四) 正弦定理和余弦定理
(对应学生用书第243页)
A组 基础达标
一、选择题
1．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
B [由正弦定理知：sin Asin A＝cos Bsin B，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.]
2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
C [由正弦定理得bsin B＝csin C，
∴sin B＝bsin Cc＝40×3220＝3＞1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]
3．△ABC中，c＝3，b＝1，∠B＝π6，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D [根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.]
4．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos
120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]
5．(2018·南昌一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( )
【导学号：79140133】
A.12 B．14
C．1 D．2
A [因为cos 2A＝sin A，所以1－2sin2A＝sin A，则sin A＝12(舍负)，则△ABC的面积为12bcsin A＝12×2×12＝12，故选A.]
二、填空题
6．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则其最大内角的余弦值为________．
－14 [因为c＞b＞a，所以在△ABC中最大的内角为角C，则由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝4＋9－162×2×3＝－14.]
7．如图371所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．
图371
3 [∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝223，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×32×3×223＝3，
∴BD＝3.]
8．(2017·全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin
C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝________.
【导学号：79140134】
π6 [因为a＝2，c＝2，
所以由正弦定理可知，2sin A＝2sin C，
故sin A＝2sin C.
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C
＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C
＝(sin A＋cos A)sin C
＝0.
又C为△ABC的内角，
故sin C≠0，
则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝3π4.
从而sin C＝12sin A＝22×22＝12.
由A＝3π4知C为锐角，故C＝π6.]
三、解答题
9．(2018·银川质检)如图372，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos
C－c＝2b.
图372
(1)求角A的大小；
(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.
[解] (1)∵2acos C－c＝2b，
∴由正弦定理得2sin Acos C－sin C＝2sin B，
2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
∴－sin C＝2cos Asin C.
∵sin C≠0，∴cos A＝－12.
又A∈(0，π)，∴A＝2π3.
(2)在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB＝BDsin A，
∴sin∠ADB＝ABsin ABD＝22.
又AB＜BD，∴∠ADB＝π4.
∴∠ABC＝π6，∠ACB＝π6.
∴AC＝AB＝2，
由余弦定理得
a＝BC＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝6.
10．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．
[解] (1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝12，所以C＝π3.
(2)由已知得12absin C＝332.
又C＝π3，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋7.
B组 能力提升
11．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是( )
A.0，π6 B．π6，π
C.0，π3 D．π3，π
C [由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，
由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，
于是b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，∴cos A≥12，
在△ABC中，A∈(0，π)．
由余弦函数的性质，得0＜A≤π3.]
12．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
A [∵等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin (A＋C)＝sin Acos C＋sin B，
等式左边＝sin B＋2sin Bcos C，
∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B.
由cos C>0，得sin A＝2sin B.
根据正弦定理，得a＝2b.
故选A.]
13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.
【导学号：79140135】
－14 [因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C.
因为asin A＝bsin B＝csin C，
所以a＋c＝2b，
又a＝2c，可得b＝32c，
所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－14.]
14．(2018·兰州模拟)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若tan A＋tan C＝3(tan Atan C－1)．
(1)求角B；
(2)如果b＝2，求△ABC面积的最大值．
[解] (1)∵tan A＋tan C＝3(tan Atan C－1)，
即tan A＋tan C1－tan Atan C＝－3，∴tan(A＋C)＝－3，
又∵A＋B＋C＝π，∴tan B＝3，
∵B为三角形内角，∴B＝π3.
(2)在△ABC中，由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，
∴a2＋c2＝ac＋4，
∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，
∴△ABC的面积S＝12acsin B≤12×4×32＝3，
∴△ABC面积的最大值为3.
