数列求和习题及答案
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只供学习与交流§6.4数列求和
（时间：45分钟满分：100分）
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．在等比数列{a
n} (n∈N*)中，若a
1＝1，a
4＝1
8，则该数列的前10项和为( )
A．2－1
28B．2－1
29
C．2－1
210D．2－1
211
2．若数列{a
n}的通项公式为a
n＝2n＋2n－1，则数列{a
n}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
3．已知等比数列{a
n}的各项均为不等于1的正数，数列{b
n}满足b
n＝lg a
n，b
3＝18，b
6＝
12，则数列{b
n}的前n项和的最大值等于( )
A．126 B．130 C．132 D．134
4．数列{a
n}的通项公式为a
n＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S
100等于( )
A．200 B．－200 C．400 D．－400
5．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·１的和为( )
A.1
6n(n＋1)(n＋2) B.1
6n(n＋1)(2n＋1)
C.1
3n(n＋2)(n＋3) D.1
3n(n＋1)(n＋2)
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．等比数列{a
n}的前n项和S
n＝2n－1，则a2
1＋a2
2＋…＋a2
n＝________.
7．已知数列{a
n}的通项a
n与前n项和S
n之间满足关系式S
n＝2－3a
n，则a
n＝__________.
8．已知等比数列{a
n}中，a
1＝3，a
4＝81，若数列{b
n}满足b
n＝log
3a
n，则数列1
b
nb
n＋1的前n
项和S
n＝________.
9．设关于x的不等式x2－x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为a
n，数列{a
n}的前n项和为
S
n，则S100的值为________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)已知数列{a
n}的各项均为正数，S
n为其前n项和，对于任意的n∈Ｎ*满足关系式
2S
n＝3a
n－3.
(1)求数列{a
n}的通项公式；
(2)设数列{b
n}的通项公式是b
n＝1
log
3an·log
3an＋1，前n项和为T
n，求证：对于任意的
正数n，总有T
n<1.
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只供学习与交流11．(14分)已知单调递增的等比数列{a
n}满足a
2＋a
3＋a
4＝28，且a
3＋2是a
2，a
4的等差
中项．
(1)求数列{a
n}的通项公式；
(2)若b
n＝a
nlog1
2a
n，S
n＝b1＋b2＋…＋b
n，求使S
n＋n·２n＋1>50成立的最小正整数n的
值．
12．(14分)已知等差数列{a
n}的首项a
1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别
是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{a
n}的通项公式；
(2)设b
n＝1
n(an＋3) (n∈Ｎ*)，S
n＝b
1＋b
2＋…＋b
n，是否存在最大的整数t，使得对任
意的n均有Sn>t
36总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
答案1.B 2.C 3.C 4.B 5.A
6. 1
3(4n－1) 7. 1
23
4n－1 8. n
n＋19.10 100
10. (1)解由已知得2S
n＝3a
n－3，
2S
n－1＝3a
n－1－3(n≥2)．
故2(S
n－S
n－1)＝2a
n＝3a
n－3a
n－1，即a
n＝3a
n－1 (n≥2)．
故数列{a
n}为等比数列，且公比q＝3.
又当n＝1时，2a
1＝3a
1－3，∴a
1＝3.∴an＝3n.
(2)证明∵b
n＝1
n(n＋1)＝1
n－1
n＋1.
∴T
n＝b
1＋b
2＋…＋b
n
＝1－1
2＋1
2－1
3＋…＋1
n－1
n＋1
＝1－1
n＋1<1.
11解(1)设此等比数列为a
1，a
1q，a
1q2，a
1q3，…，其中a
1≠0，q≠0.
由题意知：a
1q＋a
1q2＋a
1q3＝28，①
a
1q＋a
1q3＝2(a
1q2＋2)．②
②×7－①得6a
1q3－15a
1q2＋6a
1q＝0，
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只供学习与交流即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝1
2.
∵等比数列{a
n}单调递增，∴a
1＝2，q＝2，∴a
n＝2n.
(2)由(1)得b
n＝－n·２n，
∴S
n＝b
1＋b
2＋…＋b
n＝－(1×2＋2×２2＋…＋n·２n)．
设T
n＝1×2＋2×２2＋…＋n·２n，③
则2T
n＝1×２2＋2×２3＋…＋n·２n＋1.④
由③－④，得－T
n＝1×2＋1×２2＋…＋1·２n－n·２n＋1
＝2n＋1－2－n·２n＋1＝(1－n)·２n＋1－2，
∴－T
n＝－(n－1)·２n＋1－2.
∴S
n＝－(n－1)·２n＋1－2.
要使S
n＋n·２n＋1>50成立，
即－(n－1)·２n＋1－2＋n·２n＋1>50，即2n>26.
∵２4＝16<26,25＝32>26，且y＝2x是单调递增函数，
∴满足条件的n的最小值为5.
12解(1)由题意得(a
1＋d)(a
1＋13d)＝(a
1＋4d)2，
整理得2a1d＝d2.
∵a
1＝1，解得d＝2，d＝0(舍)．
∴a
n＝2n－1 (n∈N*)．
(2)b
n＝1
n(a
n＋3)＝1
2n(n＋1)＝1
21
n－1
n＋1，
∴S
n＝b
1＋b
2＋…＋b
n
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只供学习与交流＝1
21－1
2＋1
2－1
3＋1
n－1
n＋1
＝1
21－1
n＋1＝n
2(n＋1).
假设存在整数t满足Sn>t
36总成立，
又S
n＋1－S
n＝n＋1
2(n＋2)－n
2(n＋1)＝1
2(n＋2)(n＋1)>0，
∴数列{S
n}是单调递增的．
∴S
1＝1
4为S
n的最小值，故t
36<1
4，即t<9.
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.
