函数的奇偶性

函数的奇偶性

一、教材分析

函数是中职数学的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习幂、指、对函数的性质作好了坚实的准备和基础。因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识起到了承上启下的作用。教材从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，层次分明，循序渐进地引导学生回顾自然界和日常生活中具有对称美的事物， 进入数学领域观察、归纳，同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想，形成函数奇偶性概念。

二、学情分析

本节课面对的是高一的学生，他们现在是形象思维向抽象思维转化过程中，他们学习函数奇偶性之前学生学习了函数的单调性，通过对单调性的学习，学生已经能够掌握基础的数形结合思想，但将函数的图像特点具体概括的能力不够，抽象思维还不具备，学生习惯直观思维，被动听从老师的讲解。因此本节课老师要做好引导者的角色。

三、重点难点

重点是函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性；

难点是对函数奇偶性概念的理解与认识。

突破重点的方法：学生如何从身边生活中的实例（老师应再去挖掘）感受对称美，再观察函数图象的对称性，产生函数图象对称性的刻画描述的倾向，努力尝试定量（用式子）刻画进而建立函数奇偶性的定义.这应当是“独立思考、自主探索、师生互动”的学习过程.通过这样的学习过程，领悟的是数学学习的方法，学生得到的是自己探究的结果，体验的是成功的喜悦.努力创设有利于学生“自主探索、合作交流”学习的问题情境，推迟结论（结果）的达成，课堂教学不仅要注重知识的落实和结果，更要注重学生的学习过程。

突破难点的方法：在教学过程设计中，注重了从正反两个方面的强化，并设计了概念在图象、判断、推理等方面的简单应用，以加深学生对所学概念的理解。

四、教学目标

（1）知识目标

了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性。

（2）过程与方法

通过不断设置问题和学生思考问题、解决问题的过程，培养学生观察、类比、归纳的能力，同时渗透“数形结合”及“特殊到一般”的思想方法。

（3）情感态度与价值观

在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力，体验数学既是抽象的，又是具体的，提高学生数学地提出问题、分析问题、解决问题的能力。

五、教法学法

教学方法

根据建构理论与新课程教学理念，我注意结合学生所熟悉的生活实例、已掌握的对称函数的图象，来创设问题情境，启发引导学生自主学习，使学生学会思在问题的疑难处，想在真理的探索中，达到“学”有知“思”，“思”有所得的目的。

学习方法

自主探索、观察发现，合作交流、自主建构、引申升华。

六、教学程序 （一）问题情境

我们有过许多对“美”的感受。如“对称美”就大量存在于我们的生活中，如蝴蝶，螺旋桨，麦当劳标志等。在数学学习中，我们也可以感受到这种对称美。

提问1：什么是中心对称图形。 什么是轴对称图形？（在平面内，如果一个图形绕着一个点旋转180°后与原图形重合，那么这个图形关于这个点成中心对称图形。这个点叫做该图形的对称中心。

如果一个图形绕着一条直线翻折180°后与原图形重合，那么这个图形关于这条直线成轴对称图形。这条直线叫做该图形的对称轴。）

我们来看几个函数的图形。

（1） 2xy y=|x|-1 （2）y=x xy1

首先，观察前两个函数图象 (提问2)：这两个函数图象有什么共同特征吗？

（学生得到函数图象关于y轴对称）

然后，让同学们自己写出函数值对应表，（提问3）：那么如何利用函数值描述这种对称性呢？求下表中的函数值并比较

（就函数2xy来讨论）

（学生会只用一些特殊的值来进行观察）

我们看到两个函数图像都是关于y轴对称，(提问4)：如何利用函数解析式描述函数图像这一特征呢？

（结论：就函数2xy,通过函数观察归纳得到：

f(-3)=9=f(3),

f(-2)=4=f(2),

f(-1)=1=f(1)）

猜想：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值是否相同?

f(-x)=f(x) 设计意图：

高一学生虽已具有一定的抽象思维能力，但在很大程度上还依赖于感性认识。由生活中的“对称美”谈起，并举蝴蝶，螺旋桨，麦当劳标志等图案作为轴对称的实际例子。从学生已有的感性认识出发，创设轻松愉快的探索情境，使学生饶有兴趣；进而转入对函数解析式及数量规律的研究，强调了感性与理性的对比与融合。提高学生的参与热情、发现意识和创造力。

（二）概念形成

给出定义：一般的，对于函数f(x)定义域内任意一个xf(-x)=f(x)，那么就把函数f（x）叫做偶函数。

提问5：如何理解这个定义？

例：判断函数2xy,x∈[-1,2]是否是偶函数？

学生讨论回答从而得出偶函数定义的要点：(1)f(-x),f(x)都有意义.-----定义域关于原点对称。

(2)任意x∈Df(-x)=f(x)(强调“任意性”)

（3）偶函数的图像有什么特征？

偶函数的图像分别关于y轴对称（强调是图形本身的对称）

对教学内容进行“问题化”组织，将教学内容转化为符合学生心理特点的问题，激发学生的学习兴趣，引导学生去主动探索，在对定义的理解过程中，在认知矛盾的碰撞中，通过分析归纳理解偶函数的定义。并促进学生的自主探究与合作交流。

(三）类比学习

刚才我们研究了轴对称图形，接下来我们研究中心对称图形。看之前画出的后面两个函数图象

学生自己归纳得出定义

定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

同样和偶函数一样，可以得出奇函数满足的条件，定义域关于原点对称，函数图像关于原点成中心对称。

学生学习了偶函数后，通过类比，相应的得到奇函数的定义、判断函数是奇函数的方法及奇函数的图像特点。既减少了重复劳动，又锻炼的学生的类比学习的能力。

（四）例题讲解 1、1)(2xxf

2、3)(xxf

3、1)(xxf

4、0)(xf

提问：判断函数奇偶性的结果有哪几种？

学生总结回答：

总结:对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:

① 偶函数, ② 奇函数, ③ 既是奇函数又是偶函数,

④ 既不是奇函数又不是偶函数

过例题解决如下问题

根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称,第二步判断f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

通过例题中的第2题说明有的函数既不是奇函数也不是偶函数.

f(x)=0既是奇函数又是偶函数,可进一步引导学生探究一个函数既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数,前提是定义域关于原点对称。

（五）归纳小结

（1）奇偶性的定义是什么？其图象有什么性质？

（2）判断奇偶性的前提与步骤是什么？

（六）板书设计

函数奇偶性

定义 偶函数图像 奇函数图像 例题

解题步骤 定义得出的过程

总结