高一数学函数的奇偶性2

高一数学函数的奇偶性知识点详解1.定义一般地，对于函数fx1如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx就叫做奇函数。

2如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=fx，那么函数fx就叫做偶函数。

3如果对于函数定义域内的任意一个x，f-x=-fx与f-x=fx同时成立，那么函数fx既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

4如果对于函数定义域内的任意一个x，f-x=-fx与f-x=fx都不能成立，那么函数fx 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇或偶函数。

分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与fx比较得出结论③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2.奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

fx为奇函数《==》fx的图像关于原点对称点x，y→-x，-y奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.4.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性如：世界上最高的山2 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}3 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2 集合的表示方法：列举法与描述法。

2,时的函∈，a R所以的特性。

⑵如果这个函数不是偶函数，你如何来判断？例2：判断下列函数是否是偶函数？（1）23f(x)=x（2）1()1xf x x-=+（3）2()f x x x =-提问7：偶函数的图像有什么特点？ 结合f(x)=2x 的图象回答: 对于任意一个偶函数f(x)，图象上的点))(,(x f x P 关于y 轴的对称点'P 的坐标是什么？点'P 是否也在函数f(x)的图象上？由此可得到怎样的结论。

知道了偶函数图像的特点，我们还可以解决这样的问题。

例题：如图，已知偶函数()y f x =,在y 轴左侧的图像，试作出()y f x =在y 轴右侧的图像。

1、定义域关于原点不对称，则函数不是偶函数。

2、定义域关于原点对称，存在某个a ，()()f a f a -≠，则函数不是偶函数。

（突出举具体的反例。

）例2 [学生口答教师板演][学生讨论]（如果函数(),y f x x D =∈是偶函数，那么函数(),y f x x D =∈的图像关于y 轴对称，反之，如果一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数。

）两点：（1）函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质。

（2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为偶函数的必要条件。

教师层层深入地提出问题，学生根据教师的诱导，思考问题并积极回答问题，加深对定义的理解。

类比学习 刚才我们研究了轴对称图形，接下来我们研究中心对称图形。

Ppt 演示先看一个简单的问题：3()f x x = 让学生对照偶函数的定义，用类比的方法讨论分析给出奇函数的定义并给出定义分析，判断函数是奇函数的方法及奇函数的图像特点。

[类比学习，学生讨论教师总结，课件投影列出对照表]学生学习了偶函数后，通过类比，相应的得到奇函数的定义、判断函数是奇函数的方法及奇函数的图像特点。

既减少了重复劳动，又锻炼的学生的类比学习的能力。

形成性练习例3、 判断下列函数的奇偶性 (1) 53)(x x x x f ++= (2) 1)(2+=x x f (3) 1)(+=x x f(4) 2)(x x f = []3,1-∈x(5) 0)(=x f提问：判断函数奇偶性的结果有哪几种？选例3的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行及时纠正，教师要适时引导学生做好总结归纳。

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

高一函数奇偶性知识点总结在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。

而函数的奇偶性是我们在学习和研究各类函数时需要了解和掌握的一项基本特性。

本文将从定义、性质和应用三个部分对高一函数的奇偶性知识点进行总结。

1.定义函数的奇偶性是指函数在定义域内某一点的改变是否与该点的自变量的改变符号相同。

具体来说，如果对于函数f(x)在定义域内的任意x值，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)在定义域内的任意x值，有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。

2.性质2.1 偶函数与奇函数的性质(1) 奇函数在原点对称，即关于原点中心对称；(2) 偶函数关于y轴对称，即关于y轴中心对称；(3) y = f(x)的图像关于原点对称时，则f(x)必为奇函数；(4) y = f(x)的图像关于y轴对称时，则f(x)必为偶函数；(5) 两个奇函数的和（或差）必为偶函数；(6) 两个偶函数的和必为偶函数，差必为偶函数或奇函数。

2.2 常见函数的奇偶性(1) 偶函数：常数函数f(x) = c；幂函数f(x) = x^2；三角函数f(x) = cos(x)等。

(2) 奇函数：零函数f(x) = 0；反比例函数f(x) = 1/x；正弦函数f(x) = sin(x)等。

3.应用3.1 约束条件的简化在解题过程中，函数的奇偶性可以用来简化约束条件。

例如，当一个函数满足奇函数的性质时，我们只需要在定义域的非负部分进行研究，即可以得到整个函数的性质。

3.2 函数图像的判断通过函数的奇偶性，我们可以推断函数图像在平面上的对称性质。

当函数为奇函数时，图像关于原点对称；当函数为偶函数时，图像关于y轴对称。

这样的判断可以帮助我们更直观地理解和绘制函数的图像。

3.3 积分计算中的应用在一些积分计算中，函数的奇偶性可以被用来简化积分式子。

根据奇偶函数的性质，我们可以将积分区间缩小一半，便于求解。

例如，当被积函数为奇函数时，可直接将积分区间由[-a,a]缩小为[0,a]，简化计算步骤。