3.2.2函数的奇偶性

3.2.2奇偶性【知识梳理】知识点一函数奇偶性的定义前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称知识点二用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b ，－a ]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )．知识点三奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．【基础自测】1．下列函数中奇函数的个数为()①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．42．设函数f (x )2＋x ，x ≥0，(x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于()A ．6B ．－6C ．2D ．－23．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.4．函数f (x )为偶函数，若x >0时，f (x )＝x ，则x <0时，f (x )＝________.5．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<fx 的取值范围是________．【例题详解】一、判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1.(4)()33f x x =+-；(5)()(1f x x =-(6)()f x =(7)()2223,00,023,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩.(8)（多选）已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（）A ．()y f x =B ．()=y xf xC ．()()y f x f x =+-D ．()y f x x=+跟踪训练1判断下列函数的奇偶性(1)1()f x x x=+；(2)()2||f x x =-；(3)()f x =；(4)()1xf x x =-；(5)()()()2254,6154,16x x f x x x ⎧+--<≤-⎪=⎨--≤<⎪⎩.(6)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数二、由奇偶性求解析式命题角度1求对称区间上的解析式例2(1)已知()y f x =是奇函数，当0x <时，()()1f x x x =-+，则当0x >时，()f x =（）A ．()1x x -B ．()1x x -+C ．()1x x --D ．()1x x +(2)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()(1)f x x x =-+．求当0x <时，()f x 的解析式．(3)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式．跟踪训练2(1)若函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x x =+，则当0x <时，()f x =______．(2)若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()12f x x x =+-．则当0x <时，()f x =______，若()()12f m f m +<-，则实数m 的取值范围是_______.(3)已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =-.(i)求()f x 在(,0)-∞上的解析式；(ii)解不等式()2f x <.命题角度2构造方程组求解析式例3若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足2()()31f x g x x x +=++．则()f x =_______．跟踪训练3设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．三、由奇偶性求参数例4(1)若函数(),0()(2),0x x b x f x ax x x -≥⎧=⎨+<⎩，（a ，b ∈R ）为奇函数，则()f a b +的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．4(2)若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.(3)已知2()(3)f x ax b x b =+++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则a b +=________.跟踪训练4(1)已知定义域为[12,1]a a -+的奇函数32()(1)f x x b x x =+-+，则a b +=_______.(2)若函数21xxy a =+是偶函数，则正数a 的值为________．四、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例5(1)若偶函数()f x 在(],1∞--上是增函数，则（）A ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭C ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()12120,,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则()2f -、()2.7f 、()3f -的大小关系为（）A ．()()()2.732f f f <-<-B ．()()()2 2.73f f f -<<-C ．()()()32 2.7f f f -<-<D ．()()()3 2.72f f f -<<-(3)定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)上的图象与f (x )的图象重合，设a >b >0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f (a )>f (－b )；②f (－a )>f (b )；③g (a )>g (－b )；④g (－a )<g (b )；⑤g (－a )>f (－a )．跟踪训练5(1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是()A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (1)和f (－10)的大小关系为()A ．f (1)>f (－10)B ．f (1)<f (－10)C ．f (1)＝f (－10)D ．f (1)和f (－10)关系不定五、由函数奇偶性解不等式例6(1)已知函数()f x 为偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()0x f x ⋅<的解集是（）A ．{}1x x >-B ．{}1x x <C ．{01x x <<或}1x <-D ．{}11x x -<<(2)设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+单调递增，则()()14f x f -<的解集为（）A ．(),5-∞B ．()3,5-C ．()2,4-D ．()0,4(3)已知()y f x =是R 上的奇函数，且当0x >时，()23f x x x =-，则不等式()0f x ≤的解集为______．跟踪训练6(1)已知函数()244x f x x +=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．233,,4322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()4,+∞D ．()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，若()10f =，则不等式()0xf x <的解集为________.(3)已知函数()32f x x bx x =++为定义在[]21,3a a --上的奇函数，则不等式()()210f x f x b ++->的解集为__________.六、函数奇偶性的应用例7已知函数f (x )对∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，且f (1)＝－2.(1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性；(2)证明函数f (x )在R 上的单调性；(3)当x ∈[1，2]时，不等式f (x 2－mx )＋f (x )＜4恒成立，求实数m 的取值范围.跟踪训练7已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：f (x )是奇函数；（2）求证：f (x )在R 上是减函数；（3）求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值．【课堂巩固】1．下列图象中，不可能是()()1R f x ax a x=+∈的图象的是（）A ．B ．C ．D ．2．函数()f x =）A ．B ．C ．D ．3．若函数2()(2)23f x ax a b x a =++-+是定义在()()22,00,3a a -⋃-上的偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知()f x 是偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，若()3f a =，则=a （）A ．1±B ．3±C ．1-或3D ．1±或3±5．若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()f x 在(),0∞-上单调递增，()10f =，则()0xf x ≥的解集为（）A ．[][)1,01,-⋃+∞B ．[]1,1-C ．(][),11,-∞-⋃+∞D ．(][){},11,0-∞-+∞⋃ 6．若奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，且()10f =，则满足()02f x x <-的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,02,-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()()1,01,2- 7．若()11e 1x a f x +=+-为奇函数，则实数=a ______.8．函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+，则(1)f -=________.9．已知()f x 是偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则当0x <时，()f x 的解析式为______，不等式()0f x x<的解集是______．10．已知函数()211202320233x xf x x =+-+,则不等式()()12f x f x +>的解集为______．11．定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()e xf xg x +=，当()0,x ∈+∞时，()()2g x kf x ≥恒成立，则实数k 的取值范围______．12．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.求,a b 的值.13．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，2()43f x x x =-+．(1)求函数()f x 在R 上的解析式；(2)若函数()f x 在区间[]12a --，上单调递增，求实数a 的取值范围．【课时作业】1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A ．21y x =-+B ．2(1)y x =-C ．3y x =D ．1y x=2．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(21f x x =-，则当0x <时，()f x 的表达式是（）A ．(21x B ．(21x --C ．(21x D ．(21x -+3．()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，那么()f x 的最小值是（）A ．1B ．43C ．427D ．04．函数()221xf x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时()1f x x =-，则不等式()0xf x <的解集是（）A ．()()∞+⋃，10,1-B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(1,1)-6．已知函数()f x 的定义域为R ，若函数()2f x x -为偶函数，函数()2f x x -为奇函数，则()1f =（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-7．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，则下列判断正确的是（）A ．311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．113422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．311242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．函数()()()2e e -=-++x x f x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A ．0b =B ．0ac =C ．0a =且0c =D ．0a =，0c =且0b ≠9．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是增函数，且()10f -=，则使()0f x >的x 的取值范围是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞10．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且是(,0)-∞上的严格减函数，若(1)0f =，则满足不等式(1)()0x f x ->的x 的取值范围为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,)+∞11．（多选）下列函数中是偶函数，且在(1,)+∞为增函数的是（）A ．()||f x x =B ．2()23f x x x =--C ．2()2||1f x x x =--D ．1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨+>⎩12．（多选）已知函数()f x 是偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，下列结论正确的有（）A ．()()12f f <B ．()()32f f ->-C ．若()()2f x f =，则2x =或2-D ．若()()1f a f >，则1a >13．已知函数()22x x m f x m-=+是奇函数，则()f m =____________；14．已知函数()()()2223f x x x x ax b =--++是偶函数，则()f x 的值域是__________.15．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____16．若函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，当()1,0x ∈-时，()31f x x =-，则函数()f x 的解析式为_________；若函数()f x 是定义在()1,1-上的偶函数，且在(]1,0-上为增函数．则不等式()1212f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为_________．17．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求函数()f x 的增区间；（2）求出函数()f x 在R 上的解析式；（3）若函数()()22g x f x ax =-+，[]1,2x ∈，求函数()g x 的最小值.18．设a 为实数，函数()()20a f x x x x=+≠.(1)讨论函数()f x 的奇偶性；(2)当2a =时，证明：函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增；(3)在（2）的条件下，若[]1,5x ∃∈，使()22f x m m <-成立，求实数m 的取值范围.19．已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当03x <≤时，()212f x x x =+．(1)求()1f -．(2)求函数()f x 的解析式．(3)若()()31210f a f a ++->，求实数a 的取值范围．20．已知函数()f x 对任意实数x y ､恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时()0f x <，且()12f -=.(1)求()f x 在区间[]2,4-上的最小值；(2)若()222f x m am <-+对所有的][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.。

教学设计：3．2．2函数的奇偶性一、教学内容和内容解析1．内容函数的奇偶性．2．内容解析函数的奇偶性是函数的重要性质之一，从“形”的角度，函数的奇偶性揭示了函数的整体图象与函数在y轴右侧的局部图象之间的关系；从“数”的角度，函数的奇偶性刻画了函数自变量与函数值之间存在的一种特殊的数量规律．用数量关系刻画函数图象的对称性，体现了数形结合的思想．从研究方法上看，它延续了函数单调性的研究思想和方法：用数量关系刻画函数的图象性质，这也为后续进一步研究具体函数的性质提供研究的方法与角度．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的基础．因此，本节课起着承上启下的重要作用．这一节利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学的学习中．从方法论的角度来看，本节教学过程中还渗透了数形结合、化归等数学思想方法．奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，因此本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现．奇偶性是函数的“整体性质”，是某些函数的特殊性质．奇偶性是把函数图象的对称性（几何特性）转化为代数关系，并用严格的符号语言表示，沟通了形与数，实现了从定性到定量的转化．基于以上分析，本单元的教学重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断．二、教学目标（1）借助函数图象，了解函数奇偶性的概念及几何意义；（2）会运用概念判断函数的奇偶性；（3）在抽象函数奇偶性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用．三、教学过程设计3．2．2 函数的奇偶性(一) 情景导入我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，函数性质是“变化中的规律性，变化中的不变性”．上一节课，我们共同学习了函数的单调性与最大（小）值，用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质，本节课，我们继续研究函数的其他性质．（二）概念的形成问题1：平面直角坐标系中的任意一点(,)P a b关于x轴、y轴、坐标原点的对称点Q、R、S的坐标．追问：一般地，若两点关于x轴对称，它们的坐标之间有何关系？若关于y 轴对称呢？关于原点中心对称呢？设计意图：从学生已学知识复习导入，通过具体的点引导学生感受对称与坐标的关系，为后续奇偶性定义中的任意性做一些铺垫．问题2：画出并观察函数2()f x x =和2()g x x =-的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？师生活动：先由学生独立思考，教师利用PPT 展示函数图象．学生观察后，不难发现，这两个函数的图象都关于y 轴对称．那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于y 轴对称”这一特征？所以，教师继续追问．追问：对于上述两个函数，1()f 与1()f -，2()f 与2()f -，3()f 与3()f -，()f x 与()-f x 有什么关系？师生活动：先由学生独立思考，教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．追问：对于定义域内任意的一个x ，都有()()-=f x f x 成立吗？如何验证我们的猜想呢？师生活动：以2()f x x =为例，其定义域为R ．对于定义域R 内任意的一个x ，都有x R -∈，()f x 与()-f x 均有意义．因为22()()f x x x -=-=，所以()()-=f x f x 是成立的．同样的，验证函数2()g x x =-，结论依然成立． 设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果∀∈x I ，都有-∈x I ，且()()-=f x f x ，那么函数()f x 就叫做偶函数．问题3：从偶函数的定义出发，如何证明函数()=yf x 是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称．师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．充分性：设P x y (，)是函数()f x 图象上任意一点，则()=y f x ．因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以点P 关于y 轴的对称点Q x y -(，)也在函数()f x 图象上，即()=-yf x ．所以对任意的x ，都有()()-=f x f x ，所以函数()=y f x 是偶函数．必要性：设P x y (，)是函数()f x 图象上任意一点，则()=yf x ．记点P 关于y 轴的对称点为Q ，则Q x y -(，)．因为函数()f x 是偶函数，所以()()-=f x f x ，即()-y =f x ，所以点Q 在函数()f x 图象上，所以函数()=y f x 的图象关于y 轴对称．问题4：画出并观察函数()=f x x 和1()g x x =的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？师生活动：教师利用PPT 展示函数图象，学生观察图象后回答问题．不难发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形．那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于原点中心对称”这一特征？所以，教师继续追问．追问：对于上述两个函数，1()f 与1()f -，2()f 与2()f -，3()f 与3()f -，()f x 与()-f x 有什么关系？师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值()f x 与()-f x 也是一对相反数． 追问：对于定义域内任意的一个x ，都有()()f x f x -=-成立吗？如何验证我们的猜想呢？ 师生活动：以()f x x =为例，定义域为R ．对于定义域R 内任意的一个x ，x R -∈，()f x 与()-f x 均有意义．因为()f x x -=-，所以()()f x f x -=-是成立的．同样的，验证函数1()g x x=，结论依然成立． 设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果∀∈x I ，都有-∈x I ，且()()-=-f x f x ，那么函数()f x 就叫做奇函数．当函数()f x 是偶函数或奇函数时，称()f x 具有奇偶性．问题5：从奇函数的定义出发，如何证明函数()=yf x 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．该问题类比问题2的证明过程．充分性：设P x y (，)是函数()f x 图象上任意一点，则()=yf x ．因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以点P 关于原点的对称点为Q x y --(，)也在函数()f x 图象上，即()-=-y f x ．所以对任意的x ，都有()()-=-f x f x ，所以函数()=y f x 是奇函数．必要性：设P x y (，)是函数()f x 图象上任意一点，则()=yf x ．记点P 关于原点的对称点为Q ，则Q x y --(，)．因为函数()f x 是奇函数，所以()()-=-f x f x ，即()y =f x --，所以点Q 在函数()f x 图象上，所以函数()=y f x 的图象关于原点对称．（三）概念的辨析问题6：判断下列函数的奇偶性：（1）2f x x =()； （2）2()f x x =，2 0x ∈-(，]； （3）3()f x x =，2 2x ∈-(，]； （4）3f x x =()，21 1 2(，]∪[，)x ∈--． 师生活动：先由学生独立思考，教师再组织全班交流．答案：（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．设计意图：从同一个函数出发，学生更为容易进行探究活动，得出结论．我们不难发现，（1）、（4）中每一个x 、-x 同时属于定义域，所以()-f x 与()f x 都有意义．而（2）、（3）中则无法满足每一个x 、-x 同时属于定义域，所以()-f x 与()f x 无法满足都有意义．师生共同得出结论：函数具有奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称，如不对称，则可直接判断其为非奇非偶函数．追问：奇函数()f x 若在0x =处有定义，0()?f =师生活动：因为()f x 为奇函数，所以00()()f f -=-，200()f =，00()f =． （四）概念的深化例1 判断下列函数的奇偶性：（1）4()f x x =； （2）5()f x x =； （3）1()f x x x =+； （4）21()f x x =； （5）21()()f x x =-；（6）()=xf x x ． 师生活动：本例由学生独立思考、小组讨论，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善．解：（1）函数4()f x x =的定义域为R ．因为x R ∀∈，都有x R -∈，且44()()()f x x x f x -=-==， 所以，函数4()f x x =为偶函数． （2）函数5()f x x =的定义域为R ．因为x R ∀∈，都有x R -∈，且55()()()f x x x f x -=-=-=-， 所以，函数5()f x x =为奇函数． （3）函数1()f x x x =+的定义域为{}0x x ≠． 因为{}0x xx ∀∈≠，都有{}0x x x -∈≠，且11()()()f x x x f x x x -=-+=-+=--， 所以，函数1()f x x x =+为奇函数． （4）函数21()f x x =的定义域为{}0x x ≠． 因为{}0x x x ∀∈≠，都有{}0x x x -∈≠，且2211()()()f x f x x x-===-，所以，函数21()f x x =为偶函数． （5）函数21()()f x x =-的定义域为R ．因为x R ∀∈，都有x R -∈，且2211()()()()f x xx f x -=--=+≠±， 所以，函数21()()f x x=-为非奇非偶函数． 另解：函数21()()f x x =-为初中阶段所学的二次函数，显然，其对称轴为1x =．函数图象如下：故函数21()()f x x =-为非奇非偶函数．（6）由函数解析式可得定义域为{}0x x ≠．因为x R ∀∈，都有x R -∈，且()()x xf x f x x x --==-=--，所以，函数()f x 为奇函数．另解：()=x f x x 1010,;-,.xx ⎧>=⎨<⎩函数图象如下：从图可知，函数图象关于原点对称，故()f x 是奇函数．追问：你能总结例题的解题过程，归纳一下利用定义判断函数奇偶性的基本步骤吗？设计意图：通过追问，师生共同总结利用定义判断函数奇偶性的基本步骤，教师给出解答示范．第一步，首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；第二步，确定()-f x 与()f x 的关系；第三步，作出相应结论：若()()-=f x f x 或0()()f x f x --=，则()f x 是偶函数；若()()-=-f x f x 或0()()f x f x -+=，则()f x 是奇函数．通过具体的函数，深化学生对判断函数奇偶性的基本步骤的理解，尤其是“首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称”；三是通过例题让学生能够了解有些函数是非奇非偶函数．例2 （1）判断函数3f x x x =+()的奇偶性． （2）如右图，是函数3f x x x =+()图象的一部分，你能根据()f x 的奇偶性画出它在y 轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道()=yf x 为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？师生活动：本例由学生独立思考，完成后教师再进行点评完善．（1）奇函数；（2）图象如下设计意图：通过思考，让学生根据奇（偶）函数的图象的对称性画函数的图象，进一步理解函数的奇偶性。