2019-2020学年天津市静海区高二上学期11月月考数学试卷及答案

2021-2022学年天津市静海区四校高二（上）段考数学试卷（11月份）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知直线l在x轴上的截距是−5，在y轴上的截距是6，则直线l的方程是()A. 6x−5y−30=0B. 6x+5y−30=0C. 6x−5y+30=0D. 6x+5y+30=02.已知向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，那么|b⃗ |=()A. 3√6B. 6C. 9D. 183.直线x−y+1=0与圆x2+(y+1)2=4相交于A、B，则弦AB的长度为()A. √2B. 2√2C. 2D. 44.设平面α的一个法向量为n1⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−2)，平面β的一个法向量为n2⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,k)，若α//β，则k=()A. 2B. −4C. −2D. 45.已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+2ay−6=0(a>0)的公共弦长为2，则实数a的值为()A. √33B. √3 C. √22D. √26.已知过点P(2,2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0平行，则a=()A. 2B. 1C. −12D. 127.对于向量a⃗、b⃗ 、c⃗和实数λ，下列命题中真命题是()A. 若a⃗⋅b⃗ =0，则a⃗=0或b⃗ =0B. 若λa⃗=0⃗，则λ=0或a⃗=0⃗C. 若a⃗2=b⃗ 2，则a⃗=b⃗ 或a⃗=−b⃗D. 若a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，则b⃗ =c⃗8.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A到平面MBD的距离是()A. √63a B. √36a C. √34a D. √66a9. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ B. a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ C. a ⃗ −12b ⃗ −c ⃗ D. a ⃗ +12b ⃗ −c ⃗10. 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A. √3−1B. √2−1C. √33 D. √22二、单空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 直线kx −y +1=3k ，当k 变化时，所有直线都通过定点______12. 已知两条平行直线l 1：2x −y +1=0，l 2：x +ay =0(a ∈R)，则l 1与l 2间的距离为______．13. 已知直线l 1：x +ay +6=0和l 2：(a −2)x +3y +2a =0，若l 1⊥l 2，则a =______． 14. 若椭圆C ：x 28+y 24=1的右焦点为F ，且与直线l ：x −√3y +2=0交于P ，Q 两点，则△PQF 的周长为______．15. 已知圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2−6x +2y +6=0关于直线l 对称，则直线l 方程______ ．16. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M与DN 所成角的大小是__________．17. 已知动点A 在圆x 2+y 2=1上运动，则点A 与定点B(4,0)连线的中点的轨迹方程是______． 18. 已知点P 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2=120∘，且|PF 1|=2|PF 2|，则椭圆的离心率为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）19. 已知关于x ，y 的方程C ：x 2+y 2−2x −4y +m =0．(1)若方程C 表示圆，求m 的取值范围；(2)若圆C 与圆x 2+y 2−8x −12y +36=0外切，求m 的值； (3)若圆C 与直线l ：x +2y −4=0相交于M ，N 两点，且|MN|=4√55，求m 的值．20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为√32，且过点P(−√3,12).(1)求椭圆的标准方程；(2)已知斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A.B 两点，求弦AB 的长．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，且CD =2，AB =1，BC =2√2,PA =1，AB ⊥BC ，N 为PD 的中点． (1)求证：AN//平面PBC ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为√2626，若存在，求出DMDP 的值；若不存在，说明理由．22. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =12，过点(2,0)．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设左、右焦点分别为F 1，F 2，经过右焦点F 2的直线1与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线1方程．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线l在x轴上的截距是−5，在y轴上的截距是6，则l的方程为x−5+y6=1，即6x−5y+30=0．故选：C．利用截距式方程即可得出．本题考查了截距式方程，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：根据题意，向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，则设b⃗ =k a⃗，即(3,x,y)=k(−1,2,1)，则有k=−3，则x=−6，y=−3，则b⃗ =(3,−6,−3)，故|b⃗ |=√9+36+9=3√6；故选：A．根据题意，设b⃗ =k a⃗，即(3,x,y)=k(−1,2,1)，分析可得x、y的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查空间向量的平行以及模的计算，关键是求出x、y的值．3.【答案】B【解析】解：圆x2+(y+1)2=4的圆心坐标为(0,−1)，半径为4，圆心(0,−1)到直线x−y+1=0的距离d=√2=√2，∴弦AB的长度为2√r2−d2=2√4−2=2√2．故选：B．由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．4.【答案】D【解析】解：平面α的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−2)，平面β的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,k)，∵α//β，由题意可得−21=−42=k−2，∴k =4． 故选：D ．两个平面平行，可得法向量共线，列出关系式求出k 即可． 本题考查平面的法向量，涉及平面与平面的位置关系，属基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+2ay −6=0(a >0)， 则有{x 2+y 2=4x 2+y 2+2ay −6=0，联立可得：y =1a ，即两圆公共弦所在直线的方程为y =1a ， 圆C 1：x 2+y 2=4，其圆心为(0,0)，半径r =2，若公共弦的弦长为2，则圆C 1的圆心C 1到公共弦的距离d =√4−1=√3， 又由a >0，则有1a =√3，解可得a =√33， 故选：A ．根据题意，联立两个圆的方程可得公共弦所在直线的方程，由直线与圆的位置关系可得点C 1到公共弦的距离d =√3，即可得1a =√3，解可得a 的值，即可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆公共弦方程的计算，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：已知过点P(2,2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切， 将点P(2,2)代入圆(x −1)2+y 2=5恒成立，则点P 在圆上．即过点P(2,2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切的切线只有一条， 令过点P(2,2)的切线的方程为y −2=k(x −2)，即kx −y −2k +2=0， 由此切线与ax −y +1=0平行，两直线的斜率相等且y 轴截距不等， 可得k =a 且−2k +2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r =|k−0−2k+2|√12+k 2=√5，k =−12，即a =−12；故选：C ．设过点P(2,2)的直线的方程为y −2=k(x −2)，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于r 的方程，求出方程的解得到k 的值，由切线与ax −y +1=0平行，可得答案．此题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线与直线平行充要条件，熟练掌握此性质是解本题的关键．7.【答案】B【解析】解：a ⃗ ⊥b ⃗ 时也有a ⃗ ⋅b ⃗ =0，A 不正确； B 正确；设a ⃗ =(2,2)，b ⃗ =(1,√7)，此时a ⃗ 2=b⃗ 2，但a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 不成立，C 错误； ∵a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ 得不到b ⃗ =c ⃗ ，如a ⃗ 为零向量或a ⃗ 与b ⃗ 、c ⃗ 垂直时，D 错误； 故选B ．本题是对几个常见的基本概念的考查，第一个是数量积为零，我们知道向量垂直时也有数量积为零，第二个考的是数乘运算，当一个实数和一个向量的积是零时，有两种情况，一是实数为零，一个是向量是零向量，本选项正确．在实数中，若a ≠0，且a ×b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ⃗ ≠0，且a ⃗ ×b ⃗ =0，不能推出b ⃗ =0.因为其中cosq 有可能为0.在做有关向量问题时，不要凭想当然做事，不然会出错．8.【答案】D【解析】解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，A(a,0,0)，B(a,a,0)，D(0,0,0)，M(a,0,a2)， 则DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,0)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,a 2)， 设平面BDM 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +ay =0n ⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +a 2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−1,−2)， ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0)， ∴点A 到平面MBD 的距离d =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=|a|√6=√66a ． 故选：D ．以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出点A 到平面MBD 的距离． 本题考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．9.【答案】A【解析】解：根据向量的三角形法则得到：CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =c ⃗ +12b ⃗ −a ⃗ −b ⃗=−a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ ． 故选：A ．根据空间向量的几何运算、向量的三角形法则可得结果．本题考查考查空间向量以及线性运算，考查空间向量的几何运算、向量的三角形法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，设点P(c,ℎ)，则c 2a 2+ℎ2b 2=1，ℎ2=b 2−b 2c 2a 2=b 4a2，∴|ℎ|=b 2a，由题意得∠F 1PF 2=90°，∠PF 1F 2=45°， Rt △PF 1F 2中，tan45°=1=PF 22c=a 2−c 22ac，∴a 2−c 2=2ac ，e 2+2e −1=0，∴e =√2−1， 故选：B ．设椭圆的方程和点P 的坐标，把点P 的坐标代入椭圆的方程，求出点P 的纵坐标的绝对值，Rt △PF 1F 2中，利用边角关系，建立a 、c 之间的关系，从而求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用．考查计算能力．11.【答案】(3,1)【解析】解：直线kx −y +1=3k ，即k(x −3)+1−y =0， 由{x −3=01−y =0 得定点的坐标为(3,1)， 故答案为(3,1)．把直线的方程化为k(x −3)+1−y =0，此直线一定过x −3和1−y =0的交点，联立方程组可解得定点坐标(3,1)．本题考查直线过定点问题，直线k(ax +by +c)+(mx +ny +p)=0一定过两直线ax +by +c =0和mx +ny +p =0的交点．12.【答案】√55【解析】解：∵两条平行直线l 1：2x −y +1=0，l 2：x +ay =0(a ∈R)， ∴12=a−1≠01，∴a =−12，∴直线l 1：2x −y +1=0，l 2：2x −y =0， 则l 1与l 2间的距离为√4+1=√55， 由题意利用两条平行直线的性质，求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．本题主要考查两条平行直线的性质，两条平行直线间的距离公式的应用，属于基础题．13.【答案】12【解析】解：∵直线l 1：x +ay +6=0和l 2：(a −2)x +3y +2a =0，l 1⊥l 2， ∴1×(a −2)+a ×3=0，解得a =12． 故答案为：12．根据已知条件，结合两直线垂直，对应系数之间的关系，即可求解． 本题主要考查两直线垂直，对应系数之间的关系，属于基础题．14.【答案】8√2【解析】解：∵直线l过椭圆C的左焦点F′(−2,0)，直线l：x−√3y+2=0经过左焦点F′，∴△PQF的周长|PQ|+|PF|+|QF|=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|=4a=8√2，故答案为：8√2．求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可．本题考查椭圆的简单性质，是基本知识的考查．15.【答案】3x−y−5=0【解析】解：由于两个圆的圆心分别为O(0,0)、C(3,−1)，由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为(32,−12)，CO的斜率为−13，故直线l的斜率为3，利用点斜式求得直线l的方程为：y+12=3(x−32)，即3x−y−5=0，故答案为：3x−y−5=0．由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为(32,−12)，CO的斜率为−13，可得直线l的斜率为3，利用点斜式求得直线l的方程．本题主要考查两个圆关于一条直线对称的性质，利用点斜式求直线的方程，属于中档题．16.【答案】90°【解析】【分析】本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角求出异面直线A 1M 与DN 所成的角． 【解答】解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2， 则D(0,0,0)，N(0,2,1)，M(0,1,0)，A 1(2,0,2)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,−2) DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即A 1M ⊥DN ，异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是90°， 故答案为90°．17.【答案】(x −2)2+y 2=14【解析】解：设线段AB 的中点为M(x,y)，设点A(x 0,y 0)，则x 02+y 02=1，由中点坐标公式可得，{x =x 0+42y =y 02，即{x 0=2x −4y 0=2y，故(2x −4)2+4y 2=1，即(x −2)2+y 2=14． 故答案为：(x −2)2+y 2=14．设线段AB 的中点为M(x,y)，设点A(x 0,y 0)，则x 02+y 02=1，再结合中点坐标公式可得，{x 0=2x −4y 0=2y，将该式子代入圆的方程中，即可求解． 本题主要考查轨迹方程的求解，考查计算能力，属于基础题．18.【答案】√73【解析】 【分析】根据椭圆定义和已知得：|PF 1|=4a3，|PF 2|=2a 3，然后在三角形中用余弦定理列式可解得离心率．本题考查了椭圆的性质．属中档题． 【解答】解：因为|PF 1|=2|PF 2|，又因为|PF 1|+|PF 2|=2a ，解得：|PF 1|=4a3，|PF 2|=2a 3，在三角形F 1PF 2中由余弦定理得：(2c)2=(4a 3)2+(2a 3)2−2×4a 3×2a 3×cos120°，化简得：c 2=7a 29，∴e =c a=√73， 故答案为：√73．19.【答案】解：(1)关于x ，y 的方程C ：x 2+y 2−2x −4y +m =0．整理得：(x −1)2+(y −2)2=5−m ， 由于方程C 表示圆，所以：5−m >0， 解得：m <5．(2)圆x 2+y 2−8x −12y +36=0的方程转化为：(x −4)2+(y −6)2=16， ∵圆C 与圆x 2+y 2−8x −12y +36=0外切， ∴√(6−2)2+(4−1)2=4+√5−m ， 解得：m =4．(4)圆C 与直线l ：x +2y −4=0相交于M ，N 两点， 则：圆心(1,2)到直线x +2y −4=0的距离d =√5=√55， 且|MN|=4√55， 所以利用垂径定理得：5−m =(√55)2+(2√55)2， 解得：m =4．【解析】本题考查的知识要点：圆成立的充要条件的应用，圆与圆的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用及相关的垂径定理的应用．(1)直接把圆的一般式转化为标准式，进一步求出圆的成立的充要条件． (2)直接利用圆与圆相切的充要条件求出结果．(3)利用直线与圆的位置关系，进一步利用垂径定理求出m 的值．20.【答案】解：(1)设椭圆方程为：x 2a 2+y2b 2=1，(a >b >0)， 由题意得{ c a =√323a 2+14b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1,c =√3， ∴椭圆的标准方程为：x 24+y 2=1；(2)由(1)可知，F(√3,0)，∴直线l 的方程为：y =x −√3， 代入椭圆方程消去y 得， 5x 2−8√3x +8=0， ∴x 1+x 2=8√35， ∴|AB|=2a −e(x 1+x 2) =4−√32×8√35=85．故弦AB 的长为85．【解析】(1)利用离心率和点P 得到a ，b ，c 的方程组，可得标准方程方程； (2)联立直线与椭圆方程得到根与系数关系，代入焦点弦长公式，即可得解． 此题考查了椭圆方程，直线与椭圆的综合等，难度适中．21.【答案】解：过A 作AE ⊥CD 于点E ，则DE =1，以A 为原点，AE 、AB 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，E(2√2,0,0)，D(2√2,−1,0)，C(2√2,1,0)，P(0,0,1)， ∵N 为PD 的中点，∴N(√2,−12,12).(1)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−12,12)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,0)． 设平面PBC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2x =0，令y =1，则x =0，z =1，∴m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−12+12=0，即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ， 又AN ⊄平面PBC ，∴AN//平面PBC ．(2)由(1)知，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,−1,0)， 设平面PAD 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c =0n ⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2a −b =0，令a =1，则b =2√2，c =0，∴n ⃗ =(1,2√2,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2√2×3=23．故平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为23． (3)令DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，设M(x,y,z)，∴(x −2√2,y +1,z)=λ(−2√2,1,1)，∴M(2√2−2√2λ,λ−1,λ)， ∴CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2λ,λ−2,λ)． 由(1)知，平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,1)， ∵直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为√2626，∴√2626=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||=√8λ2+(λ−2)2+λ2×√2，化简得21λ2−50λ+24=0，即(3λ−2)(7λ−12)=0，∵λ∈[0,1]，∴λ=23， 故DMDP =23．【解析】本题考查空间中线与面的位置关系、二面角和线面角的求法，熟练利用空间向量处理二面角、线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．过A 作AE ⊥CD 于点E ，以A 为原点，AE 、AB 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，依次写出A 、B 、E 、D 、C 、P 、N 的坐标．(1)根据法向量的性质求得平面PBC 的法向量m ⃗⃗⃗ ，由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0以及线面平行的判定定理即可得证；(2)同理求得平面PAD 的法向量n ⃗ ，由空间向量数量积的坐标运算求出cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >即可得解；(3)设M(x,y,z)，由DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，可用含λ的式子表示出点M 的坐标，由题可知，√2626=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||，于是列出关于λ的方程，解之即可．22.【答案】解：(Ⅰ)由e =c a =12，且a =2，则c =1，b =√a 2−c 2=√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(Ⅱ)F 1(−1，0)，F 2(1,0)，设经过右焦点F 2的直线1的方程为x =my +1，与椭圆方程3x 2+4y 2=12联立，可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AF 1⊥BF 1， k AF 1⋅k BF 1=y 1x1+1⋅y 2x2+1=−1，即有(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=(1+m 2)⋅(−94+3m 2)+2m ⋅(−6m4+3m 2)+4=0， 解得m =±√73，则直线l 的方程为x =±√73y +1，即为y =±3√77(x −1)．【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b ，c 的值，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)设经过右焦点F 2的直线1的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，解方程可得m ，即可得到所求直线方程．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

天津市静海区第六中学2020-2021学年高二上学期第二次月考试卷说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟.注意：答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在试卷左边的密封线内.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题 1. 过点()1,1A 且与直线310x y +-=平行的直线的方程为（ ）A. 340x y +-=B. 320x y --=C. 340x y +-=D. 320x y -+=『答案』A『解析』设与直线310x y +-=平行的直线方程：30x y b ++=，过点()1,1A ，所以310b ++=，解得：4b =-，所以直线方程为：340x y +-=. 故选：A 2. 圆()()221:124C x y -+-=与圆222:4210C x y x y +--+=交于A ､B 两点，则过A ､B 两点的直线方程为（ ） A. 0x y -=B. 0x y +=C. 220x y +-=D. 2310x y --=『答案』A 『解析』圆()()221:124C x y -+-=，一般方程为：222410x y x y +--+=①， 圆222:4210C x y x y +--+=②，①-②得：220x y -=，即0x y -=. 故选：A3. 圆2220x y x +-=和2240x y y ++=的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切『答案』C『解析』圆2220x y x+-=的标准方程为()2211x y-+=，圆心为()11,0C，半径为11r=，圆2240x y y++=的标准方程为()2224x y++=，圆心为()20,2C-，半径为22r=，圆心距为12C C==121212r r C C r r-<<+，因此，圆2220x y x+-=和2240x y y++=相交.故选：C.4. 若点()1,a到直线10xy-+=的距离是2，则实数a为（）A. 1-B. 5C. 1-或5D. 3-或3『答案』C2=，解得：1a=-或5本题正确选项：C.5. 过点()()1,1,1,1A B--，且圆心在直线20x y+-=上的圆的方程是（）A.()()22314x y-++=B.()()22314x y++-=C.()()22114x y-+-=D.()()22114x y+++=『答案』C『解析』本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y+-=上，排除B、D，点()1,1B-在圆上，排除A，故选C.6. P是椭圆221169x y+=上一点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF=，则12F PF∠的大小为（）A. 30B.60 C. 120 D. 150『答案』B『解析』P 是椭圆221169x y +=上一点，1F 、2F分别是椭圆的左、右焦点，128PF PF ∴+=，12F F =1212PF PF ⋅= ，()21264PF PF ∴+= ，221240PF PF ∴+= ，在12F PF ∆中，1240281cos 2122F PF -∠==⨯，1260F PF ∴∠= ，故选B ．7. 已知曲线2224x y +=，则以()11，为中点的弦所在直线方程为（ ） A. 230x y +-= B. 230x y +-= C. 230x y -+=D. 230x y -+=『答案』A『解析』设直线l 与椭圆交于()11A x y ，，()22B x y ，，因为()11，为AB 中点，则121222x x y y +=+=，， 则：221124x y +=，①222224x y +=，②①-②得：()()()()1212121220x x x x y y y y +-++-=，即()()1212420x x y y -+-=，2k ∴=-，l ∴的方程：()121y x -=--，即230x y +-=．故选：A ． 8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，1ABBC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A. 15 B.6C. D. 2『答案』C『解析』以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=,因为111111cos ,52AD DBAD DB AD DB ⋅===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为，选C.9. .已知点()3,4P 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若120PF PF ⋅=，求椭圆的方程（ ）A. 2213620x y +=B. 2211636x y +=C. 2212510x y += D. 2214520x y +=『答案』D 『解析』因为1F 、2F 是椭圆的两个焦点，所以不妨设1F 为左焦点坐标为(,0)c -、2F 为右焦点坐标为(,0)c .因为120PF PF ⋅=，所以有2(3,4)(3,4)0(3)(3)16025c c c c c +⋅-=⇒+-+=⇒=， 因此2225(1)a b -=，又因为点()3,4P 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，所以229161(2)a b +=，由(1)(2)解得：224520a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的方程为：2214520x y +=，故选：D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题10. 已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________． 『答案』5『解析』因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =6==5r ．故答案为：5．11. 设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为，则椭圆的方程为________.『答案』22154x y +=『解析』由题意可得245b ca b =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 因此，该椭圆的方程为22154x y +=. 故答案为：22154x y +=.12. 设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是____． 『答案』『解析』由22230x y x +--=得22(1)4x y -+=，所以圆的圆心为(1,0)， 根据圆的相关性质，可知所求的直线过圆心，由直线垂直可得所求直线的斜率为32，根据直线的点斜式方程化简可得结果为．13. 过点A (3,4)-与圆2225x y +=相切的直线方程是 ． 『答案』34250x y --=『解析』由题意易知点A 在圆上，圆的圆心坐标为()0,0O ，且43OA k =-，由直线垂直的充分必要条件可得切线斜率为3'4k =，切线方程为：()3434y x +=-，整理为一般式即：34250x y --=. 14. 平面α的法向量是()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为______.『答案』103『解析』由题意知：(1,2,4)PA =-，则cos ,PA n PA n PA n ⋅=⋅<>,设点P 到平面α的距离为d ，则10cos ,3(PA n d PA PA n n⋅=<>===-，故答案为：10315. 椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________『答案』544-或『解析』椭圆的离心率满足c e a ==当椭圆焦点在x 12=，解得4k =.当椭圆焦点在y 12=，解得54k =-.故填544-或.三、解答题16. 根据下列条件求解. （1）过点()1,6P -且与圆()()22324x y ++-=相切的直线方程；（2）在平面直角坐标系中，经过三点()0,0、()1,1、()2,0的圆的方程，并求圆心坐标和半径.『解』（1）若切线斜率不存在，则切线的方程为1x =-， 此时，圆心()3,2-到直线1x =-的距离为2，即直线1x =-与圆()()22324x y ++-=相切；若切线的斜率存在，可设切线的方程为()61y k x -=+，即60kx y k -++=，2==，解得34k =，此时，切线方程为336044x y -++=，即34270x y -+=.综上所述，所求切线方程为1x =-或34270x y -+=；（2）设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=， 由题意可得20240F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，所求圆的方程为2220x y x +-=， 该圆的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1.17. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，4=AD ，15AA =，60DAB ∠=︒，160BAA ∠=︒，160DAA ∠=︒，M ，N 分别为11D C ，11C B 的中点.（1）{},,a b c 构成空间的一个基底，用它们表示MN ，1AC ，设AB a =，AD b =，1AA c =.（2）求1AC 与MN 的夹角.『解』（1）因为111111111111++222222MN MC C N D C C B AB AD a b ===-=-， 1++++AC AB BC CC a b c ==，所以1122MN a b =-，++AC a b c =；（2）因为()11++22MN AC a b a b c ⎛⎫⋅=-⋅=⎪⎝⎭2211111++2222212a a a b a c c b b b =--⋅⋅⋅-⋅ 22111111114+44+4544222222114422225=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯0=，所以MN AC ⊥，所以1AC 与MN 的夹角为2π.18. 椭圆的两个焦点坐标分别为()1F ，)2F ，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于4，设AB 过椭圆右焦点2F交椭圆于A ，B ，且AB 的倾斜角为4π.（1）求椭圆方程； （2）求AB 的弦长.『解』（1）因为椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于4，所以24a=，即2a = 因为两个焦点坐标分别为()1F ，)2F ，所以c =所以2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=．（2）因为AB 的倾斜角为4π，所以1AB k =因为AB 过椭圆右焦点)2F ，所以:ABlyx =设()()1122,,,A x y B x y ，联立得：22215804x y x y x ⎧+=⎪⇒-+=⎨⎪=-⎩，由韦达定理，有121285x x x x +==，所以AB的弦长为1285AB x =-===．19. 如图，PC ⊥平面ABC ，//DA PC ，90ACB ∠=，E 为PB 的中点，1AC AD BC ===，2PC =.（1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：PD ⊥平面BCD ；（3）设Q 为棱PB 上一点PQ PB λ=，试确定λ的值使得二面角Q CD B --为45. 『解』（1）取BC 的中点F ，连接AF 、EF ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则//EF PC 且12EF PC =，//AD PC 且12AD PC =，//AD EF ∴且AD EF =，所以，四边形ADEF 为平行四边形，//DE AF ∴，DE ⊄平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，//DE ∴平面ABC ；（2）PC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,0,0C 、()1,0,1D 、()002P ,,，()1,0,1PD =-，()0,1,0CB =，()1,0,1CD =，所以，0PD CB PD CD ⋅=⋅=，PD BC ∴⊥，PD CD ⊥， 因为BC CD C ⋂=，PD ∴⊥平面BCD ； （3）()0,1,2PB =-，则()0,,2PQ PB λλλ==-，其中01λ≤≤，()()()0,0,20,,20,,22CQ CP PQ λλλλ=+=+-=-，设平面CDQ 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n CD n CQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()0220x z y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令z λ=，则x λ=-，22y λ=-，所以，平面CDQ 的一个法向量为(),22,n λλλ=--，由（2）可知，平面BCD 的一个法向量为()1,0,1PD =-，由题意可得cos 4522n PD n PDλ⋅===⋅，整理可得2420λλ-+=，01λ≤≤，解得2λ=. 因此，当2λ=时，二面角Q CD B --为45. 20. 已知椭圆C 与22198x y 共焦点，且经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆的方程；高中数学月考试题11 （2）直线l ：1y x =-与曲线C 相交于1P ，2P 两点，Q 是x 轴上一点，若12PP Q △的面积为Q 点的坐标.『解』（1）22198x y 的焦点为()1,0±，设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，又因为椭圆过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以222211914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，所以2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=；（2）设()()()111222,,,,,0P x y P x y Q m因为2213412x y x y =+⎧⎨+=⎩，所以27690y y +-=， 所以121269,77y y y y +=-=-，所以127y y -===，又因为l 经过点()1,0P，所以121211227F F P m S PQ y y -=⋅⋅-=⨯=， 所以17m -=，所以6m =-或8m =，所以Q 的坐标为()6,0-或()8,0.。

天津市静海区2019-2020学年高一数学11月月考试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页。

试卷满分120分。

考试时间100分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（共12题；每题3分，共36分）1. 已知集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.2. 下列四个函数中，在上为增函数的是A. B.C. D.3. 如果，那么下列不等式成立的是A. B. C. D.4. 如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为A. B. C. D.5. 若，则等于6 .函数的定义域是7 .已知函数，则的值为B. C. D.8 .设命题，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，9 .已知集合的子集有个，则实数的取值范围为B. D.10. 已知，，且，则的最大值是C. D.11 .设函数）上的减函数，又若，则A. B.C. D.12. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是B.第Ⅱ卷二、非选择题（共13题；其中填空题8×3=24分，解答题5×12=60分……共84分）13. 已知全集，集合，，则．14. 已知，，若，则实数的取值范围是．15. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是．16. 已知，，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则的取值范围是．17. 不等式的解集为．18. 若定义在上的减函数满足，则实数的取值范围是．19. 已知函数的定义域为的奇函数，且在上有两个零点，则的零点个数为．20. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是．21..求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）．22. 已知不等式的解是，设，．（1）求，的值；（2）求和．23. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?24. 已知不等式的解集为，不等式的解集为．（1）求集合与；（2）若，求实数的取值范围．25.判断函数在区间上的单调性，并给出证明．数学答案一、选择题1—5 CCBDB 6—10 DCCCB 11—12 BA二、填空题13、{x|−1<x<1} 14、[2,+∞) 15、 16、 17、18、 19、5 20、三、解答题21、（1）．（2）．（3）．（4）．22、（1）根据题意知，是方程的两实数根；所以由韦达定理得，解得，．（2）由上面，，；所以，且；所以，；所以．23、设房屋地面相邻两边边长分别为，，总造价为元．因为，所以当时，上式取等号．所以当房屋地面相邻两边边长分别建成和时，造价最低，最低总造价为元．24、（1）由，得，即，解得，所以．由，得．①若，则；②若，则；③若，则．（2）要使，则，且，所以当时，．25、。

天津市静海县第一中学2019-2020学年上学期期末终结性检测高二数学（理）试题考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（134分）和第Ⅱ卷提高题（16 分）两部分，共150分，考试时间为120分钟。

2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

第Ⅰ卷 基础题（共134分）一、选择题: （每小题5分，共40分）1.设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α⊂⊥m m l ,，则α⊥l B ．若m l l //,α⊥，则α⊥m C ．若αα⊂m l ,//，则m l // D ．若αα//,//m l ，则m l //2.已知方程11222=+-+m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,(--∞B ．),2(∞+-C ．)23,(--∞),1(∞+-⋃ D ．)1,23()23,2(--⋃-- 3.设a 为实数，直线1:1=+y ax l ，a ay x l 2:2=+，则“21//l l ” 是“1-=a ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，090=∠ABC ，点F E ,分别是棱1BB AB 和的中点，当二面角B AA C --11为 45时，直线EF 和1BC 所成的角为（ ）A. 45B. 60C. 90D.1205.已知P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D. 15-6．已知21F F ，为双曲线14522=-y x 的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则2AF AP +的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 57．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,()0,(21c F c F ，-，若am c =2且22222c m n +=，则椭圆的离心率是( )A.41 B. 21C. 33D. 228．已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2=∙ (其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B .1728 C ．3 D.10二、填空题：（每小题5分，共30分）910．若某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是 . 11. 有下列四个命题：①命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ②“若1=xy ，则y x ,互为倒数”的逆命题；③命题“若B B A =⋂，则B A ⊆”的逆否命题； ④命题“若,1>m 则022=+-m x x 有实根”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）12. 已知直线l 过点)0,4(-且与圆25)2()1(22=-++y x 交于B A ,两点，如果8=AB ，那么直线l 的13. 方程242+-=-k kx x 有两个不等实根，则实数k 14．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以21F F ，为直径的圆交双曲线某条渐近线于N M ，两点，且满足0120=∠MAN ，则该双曲线的离心率三、解答题（本大题共6题，共80分）15. （12分）已知R m ∈命题p ：对任意]1,0[∈x ，不等式m m x 3222-≥-恒成立；命题q ：存在]1,1[-∈x ，使得ax m ≤成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当1=a ，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 16. （12分）如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点N M ， (点M 在点N 的左侧)，且3=MN .(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：422=+y x 相交于B A ,两点，连接BN AN ,，求证：BN AN k k +定值．17．（13分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，ABCD PA 面⊥，M 是棱PD 的中点，且2===PA AC AB ，22=BC ．（I ）求证：PAC CD 面⊥； （Ⅱ）求二面角C AB M --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 成角的正弦值为510，求NBAN的值． 18. （14分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的一个顶点与抛物线y x 342=的焦点重合，21F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率21=e ，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于N M ，两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)若2-=∙ON OM ，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB MN //，求证：||||2MN AB 为定值．19. （13分）已知△ABC 为等腰直角三角形，4==AC AB ，090=∠ACB ，E D ，分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE折起，使平面DEBC ADE 平面⊥，F H ，分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE ，AF 分别交于I ，G 两点．(1)求证：BC IH //；(2)求二面角C GI A --的余弦值； (3)求AG 的长．第Ⅱ卷 提高题（共16分）20. （16分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21F F ，，上顶点为，过点与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2212QF F F =，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线033:=--y x l 相切．过定点），20(M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若实数λ满足λ=，求λ的取值范围．天津市静海县第一中学2019-2020学年上学期期末终结性检测高二数学（理）试题参考答案选择题: （每小题5分，共40分） 1.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ B ） A ．若， ，则 B ．若，，则 C ．若，，则D ．若，，则2.已知方程11222=+-+m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是（D ）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣2，+∞）C ．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）D ．（﹣2，﹣）∪（﹣，﹣1） 3.设为实数，直线：，，则“”是“”的（A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 090=∠ABC ，点4.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，分别是棱1BB AB 和的中点，当二面角B AA C --11为时，直线和1BC 所成的角为（ B ）A.B.C. D.5.已知P 是抛物线x y 42=上一动点，则点到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是( D )A. 3B. 5 C ．2 D. 15-6．已知21F F ，为双曲线14522=-y x 的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则2AF AP +的最小值为(C )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 57 ．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m n y m x 有相同的焦点)0,()0,(21c F c F ，-，若am c =2且22222c m n +=，则椭圆的离心率是( B)A.41 B. 21C. 33D. 228．已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是(C )A ．2B .1728 C ．3 D.10二、填空题：（每小题6分，共30分）910．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是 11. 有下列四个命题：①命题“面积相等的三角形全等”的否命题命题；②“若，则，互为倒数”的逆命题；③命题“若，则”的逆否命题；④命题“若，则有实根”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号） ① ②12. 已知直线l 过点(－4,0)且与圆25)2()1(22=-++y x 交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l02012504=++=+y x x 或13. 方程242+-=-k kx x 有两个不等实根，则实数k 14．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以21F F ，为直径的圆交双曲线某条渐近线于N M ，两点，且满足0120=∠MAN ，则该双曲线的离心率三、解答题（本大题共4题，共50分）15.已知R m ∈命题p ：对任意]1,0[∈x ，不等式m m x 3222-≥-恒成立；命题q ：存在]1,1[-∈x ，使得ax m ≤成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当1=a ，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立， ∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2. 解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，即m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．16.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：422=+y x 相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：BN AN k k +定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN ＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3y 1＋y 2ty 1－3ty 2－3＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1ty 1－3ty 2－3＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．17．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，ABCD PA 面⊥，M 是棱PD 的中点，且2===PA AC AB ，22=BC ．（I ）求证：PAC CD 面⊥； （Ⅱ）求二面角C AB M --的大小；（Ⅲ）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为510，求NBAN的值．证明：(I)连结AC ．因为为在中，，， 所以，所以．因为AB //CD ，所以． 又因为地面ABCD ，所以．因为，所以平面PAC ．(II)如图建立空间直角坐标系，则．因为M 是棱PD 的中点，所以．所以，． 设为平面MAB 的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB 的法向量．因为平面ABCD ，所以是平面ABC 的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．(III)因为N 是棱AB 上一点，所以设，．设直线CN 与平面MAB 所成角为， 因为平面MAB 的法向量，所以．解得，即，，所以．18. 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．(1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝－5k 2－123＋4k2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2 ＝12k 2＋13＋4k2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx消去y 并整理得x 2＝123＋4k2， |AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝431＋k23＋4k2，∴|AB |2|MN |＝481＋k23＋4k 212k 2＋13＋4k 2＝4，为定值．19. 已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，使平面ADE ⊥平面DEBC ，H ，F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE ，AF 分别交于I ，G 两点．(1)求证：IH ∥BC ；(2)求二面角A －GI －C 的余弦值； (3)求AG 的长．(1)证明：因为D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，所以ED ∥BC .因为BC ⊂平面BCH ，ED ⊄平面BCH ，所以ED ∥平面BCH . 因为ED ⊄平面BCH ，ED ⊂平面AED ，平面BCH ∩平面AED＝HI ，所以ED ∥HI .又因为ED ∥BC ，所以IH ∥BC .(2)如图，建立空间直角坐标系，由题意得，D (0,0,0)，E (2，0,0)，A (0,0,2)，F (3,1,0)，C (0,2,0)，H (0,0,1)，B (4,2,0)，EA →＝(－2,0,2)，EF →＝(1,1,0)，CH →＝(0，－2，1)，HI →＝12DE →＝(1,0,0)．设平面AGI 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧EA →·n 1＝0，EF →·n 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，x 1＋y 1＝0，令z 1＝1，解得x 1＝1，y 1＝－1，则n 1＝(1，－1,1)． 设平面CIG 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧CH →·n 2＝0，HI →·n 2＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＋z 2＝0，x 2＝0，令z 2＝2，解得y 2＝1，则n 2＝(0,1,2)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝－1＋23×5＝1515，所以二面角A －GI －C 的余弦值为1515. (3)由(2)知，AF →＝(3,1，－2)， 设AG →＝λAF →＝(3λ，λ，－2λ)，0<λ<1，则GH →＝AH →－AG →＝(0,0，－1)－(3λ，λ，－2λ)＝(－3λ，－λ，2λ－1)，由GH →·n 2＝0，解得λ＝23，故AG ＝23AF ＝23 32＋122＝2143.第Ⅱ卷 提高题（共15分）20. 设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切．过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若实数满足，求的取值范围．解析】（Ⅰ）因为，所以为的中点.设的坐标为，因为，所以，，且过三点的圆的圆心为，半径为. 因为该圆与直线相切，所以.解得，所以，.故所求椭圆方程为. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分（Ⅱ）①当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得.由，得. 设，，则，. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分又，所以. 所以.所以，.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分所以. 所以.整理得. 因为，所以，即. 所以. 解得且.又，所以. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，，，，，所以.所以，即所求的取值范围是.┈┈┈┈┈┈┈┈12分。