第二章 数 列2.1 数列的概念与简单表示法知识1．数列的相关概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做__________），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成123,,,,,,n a a a a L L 简记为{}n a ．2．数列的分类（1）根据数列项数的多少分有穷数列 项数_______的数列，例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列项数_______的数列，例如数列1，2，3，4，5，6，L 是无穷数列（2）根据数列项的大小分递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项_______的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的__________．我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项．4．数列表示方法的优缺点通项公式法 优点：便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 缺点：一些数列的通项公式表示比较困难列表法 优点：内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项缺点：表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 _______法 优点：能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势 缺点：数列项数较多时用图象表示比较困难递推公式法优点：可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系缺点：不容易了解数列的全貌，计算也不方便5．递推公式的定义如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项)，且从第2项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1n a - (或前n 项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的__________． 注意：递推公式也是数列的一种表示方法．知识参考答案：1．首项2．有限 无限 相等3．通项公式4．图象5．递推公式重点重点 数列的表示方法、通项公式及其应用，根据递推公式写出数列的前几项 难点 根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 易错对递推公式变形时注意n 取值的变化根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：（1）观察数列的前几项是否具有以下几个特征：各项的符号特征、各项能否分拆、分式的分子与分母的特征、相邻项的变化规律等；（2）寻找各项与对应的项的序号之间的规律．根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）1，3，5，7，9，…； （2）32，154，356，638，9910，…； （3）0，2，0，2，0，2，…；（4）1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； （5）3，5，9，17，33，…． 【答案】见解析．【解析】（1）数列的各项是连续的正奇数，它的一个通项公式为a n ＝2n -1； （2）分子是连续的正偶数，分母为分子的平方减去1，它的一个通项公式为a n ＝2241nn -；（3）将数列变形为1234561(1),1(1),1(1),1(1),1(1),1(1)+-+-+-+-+-+-，…，易知它的一个通项公式为a n ＝1(1)n+-；（4）将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，类似于（3）可得它的一个通项公式为a n ＝n ＋2)1(1n-+；（5）将数列变形为1234521,21,21,21,21+++++，…，可得它的一个通项公式为a n ＝21n +． 【名师点睛】寻找各项与对应的项的序号之间的规律的方法：（1）熟记一些特殊数列的通项公式，如2=,21,2,n n n n n a n a n a a n =+==等；（2）将数列的各项分解成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项；（3）当数列各项的符号出现“+”“-”相间时，可用(1)n -或1(1)n +-来实现．数列1，579,,,81524--的一个通项公式是A ．1*221(1)()n n n a n n n ++=-∈+NB ．1*221(1)()3n n n a n n n --=-∈+N C ．1*221(1)()2n n n a n n n+-=-∈+ND ．1*221(1)()2n n n a n n n-+=-∈+N 【答案】D 【解析】A 中132a =，B 中114a =，C 中113a =，D 中11a =，因此排除A 、B 、C ，故选D ．数列中项的判断与求解（1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项；（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n 的值．若求出的n 为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．已知数列{}n a 的通项公式(1)(21)nn a n =--，则（1）12a a +=_____________；（2）12310a a a a ++++=L _____________． 【答案】（1）2；（2）10．【解析】（1）因为121,3,a a =-=所以122a a +=．（2）观察可知12349102,2,,2,a a a a a a +=+=+=L 故12310a a a a ++++=L 10．已知数列{}n a 的通项公式是2=2n a n n -，那么A ．30是数列{}n a 的一项B ．44是数列{}n a 的一项C ．66是数列{}n a的一项D ．90是数列{}n a 的一项【答案】C【解析】注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，则问题就可以解决了.易得1234567=1=615,28,45,66,91a a a a a a a =====，，．故选C ．【名师点睛】若出现的数比较大，可以用解方程的方法加以解决（看求出的解是否为正整数）．根据数列的递推公式求n a由递推公式求通项公式的常用方法：（1）归纳法．根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式； （2）迭代法、累加法或累乘法．已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想n a ．【答案】前五项分别为2,4,8,16,32，猜想2nn a =．【解析】由题可得123452,4,8,16,32a a a a a =====．故前五项分别为2,4,8,16,32．由12a =，22222a =⨯=，233222a =⨯=，…观察，猜想2nn a =．【解题技巧】（1）本题若是求n a ，则由a n +1=2a n 可得a n =2a n －1，即21=-n na a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们相乘，有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a L ×1212n a a -=，所以a n =a 1·2n －1=2n ．这种方法通常叫叠乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项公式的问题中是比较常用的方法，对应的还有叠加法．（2）应注意的是：数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．已知12a =，12nn n a a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =A ．2122n n -+B ．2122n n ++C ．2222n n -+D ．2222n n --【答案】C【解析】由12nn n a a +=可得12n n n a a +=，当2n ≥时，2212122112122222n n n n n n n n n a a a a a a a a -+-----=⋅⋅=⋅⋅=，经检验，12a =也符合上述通项公式．故选C ．数列的单调性数列单调性的判断方法和应用思路：（1）比较数列{}n a 中任意相邻两项+1n a 和n a 的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法； （2）利用数列的单调性：数列{}n a 递增+1n a ⇔>n a ，数列{}n a 递减+1n a ⇔<n a ． 对于通项较复杂的数列问题，常采用“特值探路”的策略，并结合数列的单调性求解．已知数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n =+∈*N ，判断数列{}n a 的单调性．【答案】数列{}na 是递增数列．【解析】方法1：221,(1)(1),n n a n n a n n +=+=+++ 则221(1)(1)()2n n a a n n n n n +-=+++-+=+20>，即+1n n a a >()n ∈*N ，故数列{}n a 是递增数列．方法2：221,(1)(1),n n a n n a n n +=+=+++则212(1)(1)21n n a n n n a n n n+++++==>+， 又0n a >，故+1n n a a >，即数列{}n a 是递增数列．方法3：令2y x x =+，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为112x =-<，则函数2y x x =+在[1)+∞，上单调递增，故数列{}n a 是递增数列．【名师点睛】方法3借助于数列对应的函数，运用我们熟知的函数的单调性进行求解，更加简捷．数列的最大（小）项的求法数列的最大（小）项问题有如下两种求法： （1）利用数列的单调性确定数列的最大（小）项．当数列不单调时，还需解不等式+10n n a a ->（或+11n na a >，此时应注意n a 的符号）； （2）通过解不等式组来确定．设第(1)k k k ∈>*N ，项是数列的最大（小）项，则11k k k k a a a a -+≥⎧⎨≥⎩11()k k kk a a a a -+≤⎧⎨≤⎩，求出k 的正整数值即得最大（小）项，这样就不必再判断数列的单调性了．已知数列{}n a的通项公式4()5nna n=⋅()n∈*N，试问数列{}n a是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由．【答案】数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．【解析】方法1：作差比较+1na与na的大小，判断{}na的单调性．1+14444=(1)()()()5555n n nn nna a n n+--+⋅-⋅=⋅，当4n<时，+10n na a->，即+1n na a>；当4n=时，+1n na a-=，即+1n na a=；当4n>时，+10n na a-<，即+1n na a<．故12345678a a a a a a a a<<<=>>>>L，所以数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．方法2：作商比较+1na与na的大小，判断{}na的单调性，1+14(1)()445=.45()5nnnnna na nn++⋅+=⋅令+11nnaa>，解得4n<；令+11nnaa=，解得4n=；令+11nnaa<，解得4n>．故12345678,a a a a a a a a<<<=>>>>L所以数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．方法3：假设{}n a中有最大项，且最大项为第n项，则11n nn na aa a-+≥⎧⎨≥⎩，即1144()(1)()5544()(1)()55n nn nn nn n-+⎧⋅≥-⋅⎪⎪⎨⎪⋅≥+⋅⎪⎩，即54nn≤⎧⎨≥⎩，故数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．对递推公式变形时忽略n的取值已知数列{}n a满足3123=()na a a a n n∈*NL，则数列{}na的通项公式na=_____________．【错解】由3123=n a a a a n L ，可得31231(1)n a a a a n -=-L ，两式相除可得33=(1)n n a n -．【错因分析】31231=(1)n a a a a n --L 仅适用于n ∈*N 且2n >时的情况，故不能就此断定33=(1)n n a n -就是数列{}n a 的通项公式． 【正解】当1n =时，11a =；当2n ≥时，由3123=n a a a a n L ，可得31231(1)n a a a a n -=-L ，上述两式相除可得33=(1)n n a n -，故331,1,1,(1)n n a n n n n =⎧⎪=⎨>∈⎪-⎩*N． 【名师点睛】在对递推公式变形时，常常会改变n 的取值，因此求出的n a 不一定适用于n ∈*N ．基础训练1．数列1,2,4,8,16,32,的一个通项公式是 A ．21n a n =- B ．12n n a -= C ．2nn a =D ．12n n a +=2．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是A ．1(11)n n a +=+- B ．(1)1nn a =--C ．(1)1nn a =+-D ．1cos n a n =-π3．数列{}n a 中，nn n a )1(-+=，则=+54a aA ．7B ．8C ．9D ．104．在数列{}n a 中，11a =，211(1)n n a a n +=-≥，则12345a a a a a ++++=A ．1-B ．1C ．0D ．25．600是数列12⨯，23⨯，34⨯，45⨯，…的 A ．第20项 B ．第24项 C ．第25项D ．第30项6．数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则{}n a 的通项公式为A ．45n -B ．43n -C ．23n -D ．21n -7．数列{}n x 中，若11x =，1111n n x x +=-+，则2018x = A ．1- B ．12- C ．12D ．18．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A ．21n +B ．3nC ．222n n +D ．2322n n ++9．已知数列{}n a 的通项公式为1(1)nn a =+-，则2018a =______________． 10．数列{}n a 中，276n a n n =-+，那么满足0n a <的有______________项．11．数列{}n a 中，已知(1)nn a n a =-+（a 为常数），且1423a a a +=，则100a =______________．12．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，推测第6行的第3个数字为______________．13．数列{2{}2n n }中的最大项是______________．14．已知数列{}n a ，其通项公式为2*3()n a n n n =-∈N ，判断数列{}n a 的单调性．15．已知数列{}n a 的通项公式为53n a n =+．（1）求9a 的值；（2）试判断80是否为数列{}n a 中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．能力提升16．不能作为数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式的是A ．π|sin|2n n a =B ．(1)π|cos|2n n a += C ．(1)12n n a --=D ．11(1)2n n a ++-=17．在数列{}n a 中，112()2121()2n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，若145a =，则1001a 的值为A ．53B ．54 C ．25D ．1518．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律，第n 个图形中有_____________个正方形．19．若数列{}n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a _____________． 20．已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=，则23a a +=_____________．21．若无穷数列{}n a 满足：只要(,)p q a a p q =∈*N ，必有1p a +=1q a +，则称{}n a 具有性质P ．若{}n a 具有性质P ，且2452,3,2a a a ===，678a a a ++=21，则3a =_____________．22．已知{}n a 是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为_____________．23．已知数列{}n a 的通项公式278n a n n =--．（1）数列中有多少项为负数?（2）数列{a n }是否有最小项?若有，求出其最小项．24．数列{}n a 中，)2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a ．25．已知数列{}n a 中，11a =，*1()()n n n a n a a n +=-∈N ，求数列{}n a 的通项公式．真题练习26．（2018新课标全国Ⅲ文节选）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=，求{}n a 的通项公式.参考答案1．【答案】B【解析】观察数列的前6项知，每一项与项数n 的关系为12-=n n a ，故选B ．2．【答案】C【解析】验证易知，只有C 选项中的式子不能作为已知数列的通项公式．故选C ．3．【答案】C【解析】因为n n n a )1(-+=，所以444(1)5,a =+-=555(1)4,a =+-=所以459.a a +=故选C ．5．【答案】B【解析】由数列12⨯，23⨯，34⨯，45⨯，…可得通项公式为(1)n a n n =+，令(1)600n n +=，求解得24n =，故选B ．6．【答案】A【解析】因为223n S n n =-，所以当2n ≥时，2121))(3(1n S n n -=---，两式相减可得n n a S =-145n S n -=-，又当1n =时，111a S ==-，满足上式，故选A ．7．【答案】B【解析】将11x =代入1111n n x x +=-+，得212x =-，再将2x 代入1111n n x x +=-+，得31x =，所以数列周期为2，所以2018212x x ==-，故选B ． 8．【答案】D 【解析】由11n n a a n -=+-，再根据累加法得1211(3(34)5)n n n a a a a a a -=+-+-=++++++1n +＝2322n n ++，故选D ． 9．【答案】2【解析】因为1(1)n n a =+-，所以201820181(1)112a =+-=+=．10．【答案】4【解析】由二次函数知识可知，该数列为二次函数276y x x =-+图象上的整数点，当2,3,4,5n =时满足0n a <，故满足0n a <的有4项．11．【答案】97【解析】由(1)n n a n a =-+可得12341,2,3,4a a a a a a a a =-=+=-=+，因为1423a a a +=，所以143(2)a a a -++=+，解得3a =-，所以(1)3n n a n =--，所以100100397a =-=．12．【答案】15【解析】由题图可知，从第3行开始，每个数字都等于其“肩上”的两数之和，那么第6行的数字为1,6,15,20,15,6,1，故第3个数字为15．14．【答案】数列{}n a 是递增数列．【解析】方法1：2*3()n a n n n =-∈N ，2*+13(1)(1)(),n a n n n =+-+∈N则2213(1)(1)(3)6+20,n n a a n n n n n +-=+-+--=> 即*1()n n a a n +>∈N ，故数列{}n a 是递增数列.方法2：2*3()n a n n n =-∈N ，2*+13(1)(1)(),n a n n n =+-+∈N 则2123(1)(1)3n n a n n a n n ++-+==-132 1.31n n n n ++⋅>- 即数列{}n a 是递增数列． （注：这里要确定n a 的符号，否则无法判断+1n a 与n a 的大小）方法3：令23y x x =-，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为116x =<， 则函数23y x x =-在1(,)6+∞上单调递增，故数列{}n a 是递增数列． 15．【答案】（1）32；（2）见解析．【解析】（1）因为数列{}n a 的通项公式为53n a n =+，所以953932a =+⨯=．（2）80是数列{}n a 中的项．理由如下：假设80是数列{}n a 中的项，则8053n =+，解得*25n =∈N ，所以80是数列{}n a 中的项，且为第25项．16．【答案】C【解析】因为数列 ,1,0,1,0,1的前几项为摆动数列，因此通过验证可知A ，B ，D 都适合，C 选项不适合．故选C ．18．【答案】(1)2n n + 【解析】设数列为，由图知，11a =，212a =+，3123a =++，41234a =+++，所以由此猜想：(1)1232n n n a n +=++++=． 19．【答案】12【解析】由已知得111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=，451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=． 20．【答案】34【解析】由211(21)20n n n n a a a a ++---=，令1n =，解得212a =，同理可得314a =，所以2334a a +=． 21．【答案】16【解析】因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==， 于是678332a a a a ++=++，又67821a a a ++=，所以316a =． 22．【答案】(-3，+∞)【解析】由{a n }为递增数列，得a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn =2n+1+λ>0恒成立，即λ>-2n-1在n ≥1时恒成立，令f (n )=-2n-1，n ∈*N ，则f (n )max =-3．只需λ>f (n )max =-3即可.故实数λ的取值范围为(-3，+∞) ．23．【答案】（1）7；（2）当3n =或4时，数列{}n a 有最小项，且最小项3420a a ==-．24．【答案】5432,,,a a a a 的值分别为2121,,,3253，12+=n a n ． 【解析】 )2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ， ∴3222112=+=a a a ， 232221242a a a ===+， 5222334=+=a a a ， 454221263a a a ===+， 由 ,62,52,42,32,22可以归纳出12+=n a n ． 25．【答案】n a n =．【解析】方法1(累乘法)：∵*1()()n n n a n a a n +=-∈N ，即11n n a n a n ++=， ∴2121a a =，3232a a =，4343a a =，…，1(2)1n n a n n a n -=≥-． 以上各式两边分别相乘，得12341231n a n a n =⨯⨯⨯⨯-． 又11a =，∴(2)n a n n =≥，∵11a =也适合上式，∴n a n =．方法2(迭代法)：由11n n a n a n -=-知，2121a a =，3232a a =，4343a a =，…， 则31241123212341112321n n n n n a a a a a n n a a n a a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--． 26．【答案】122-=n a n ． 【思路分析】先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n ，再作差得122-=n a n ，同时应验证1=n 时是否也满足上式． 【解析】因为123(21)2n a a n a n +++-=， 故当2n ≥时，1213(23)22n a a n a n ++++-=-． 两式相减得(21)2n n a -=，所以2(2)21n a n n =≥-． 又由题设可得12a =，从而{}n a 的通项公式为221n a n =-．。
