第3章 3.1 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质

)
3
的离心率为 2 ，则m=(
)
D．23
【做一做3】在Rt ∆中， = = 1，如果一个椭圆通过A､B两点，它的一个焦点为点C，
另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率e=（
A． 3 − 2
B． 2 − 1
C． 3 − 1
）
D． 6 − 3
（三）典型例题
1.利用椭圆的方程研究几何性质
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
2 = 5 × 2
=5
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1；
25
=5
=1
2
若焦点在y轴上，设其标准方程为 2

+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
y2
2 = 5 × 2
= 25
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为25 + 625＝1.
1．通过观察图象，你发现椭圆C1、椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的？
[提示] 椭圆C1上的点：－5≤x≤5，－4≤y≤4.椭圆C2上的点：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
2
2.椭圆2
+
y2
=1(a>b>0)上任意一点P(x，y)满足方程，则另一点P1(－x，y)也满足方程．这说明椭圆
2
的图形有什么性质，类似地还有什么性质？
②形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁，形如一；
e越趋向于0越圆，形如O.
（二）椭圆的简单几何性质
2
【做一做1】已知椭圆C:2
1
A.3
B.

x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准

l
= > > ，可知
2
2
=1− 2 点的横坐标都适合不等式


≤ ，即 − ≤ ≤

同理有

≤ ，即− ≤ ≤
这说明椭圆位于直线 x =±a，y=±b所围成的矩形框里。
结论：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.
=1或



=1.

+

=1.

方法技巧：利用几何性质求椭圆方程的方法和步骤
1.方法：通常采用待定系数法。
2.步骤：
课堂小结
椭圆的简单几何性质
标准方程
焦点位置
x2 y 2
2＋ 2＝1(a>b>0)
a
b
焦点在 x 轴上
y2 x2
2＋ 2＝1(a>b>0)
a
b
焦点在 y 轴上
图形
范围

3
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率 = =

5
，两个焦点坐标分别是F1（-3，0）和F2（3，0），四个顶点坐标分别是A1(-5,0)，
A2(5,0)，B1(0,-4)和B2(0,4).
练习
练习.求下列条件的椭圆的标准方程.
4
(1)长轴长是10，离心率是 ；
5

(2) 离心率e＝ ，焦距为12.
4、4.离心率


(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率。用表示，即 = 。

(2)性质：①
②形象记忆：因为a>c>0,所以0<e<1.e越趋向于1越扁，形如

44 2
于是直线l的方程为y-2=- 1 (x-4).
2
即y=- 1 x+4.
2
第1讲 描述运动第的三基章本概圆念锥曲线的方程
解题模板 求直线被椭圆截得的弦长,一般思路是将直线方程与椭圆方程联立,得到关于x (或y)的一元二次方程,然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记 公式的形式并能准确运算.
第1讲 描述运动第的三基章本概圆念锥曲线的方程
对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆 x2 +y2=1的位置关系.
4
思路点拨 联立两个方程 消去y,得到关于x的一元二次方程 求Δ 讨论Δ,得结论.
第1讲 描述运动第的三基章本概圆念锥曲线的方程
解析
y x m,①
联立方程,得
x2 4
y2
第1讲 描述运动第的三基章本概圆念锥曲线的方程
与椭圆有关的最值、定值以及定点问题
1.解决与椭圆有关的最大(小)值问题的常用方法: (1)利用定义转化为几何问题,利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何 中的定理、性质等进行求解; (2)利用三角换元法转化为三角函数的最值问题处理; (3)利用代数法,运用函数最大(小)值的研究方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时, 应注意椭圆中x、y的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解. 2.解决定点问题,需要注意两个方面: 一是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特 殊情况入手找出定点,为解题指明方向.
(2)利用点差法求直线斜率或方程:弦的端点在曲线上,端点坐标满足椭圆方程,将端点坐标
分别代入椭圆方程,然后作差,得到中点坐标和斜率的关系,即若椭圆方程为 x2 + y2 =1(a>b>