温州市名校2020新高考高二数学下学期期末综合测试试题

浙江省温州市2020年高二第二学期数学期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知m n kx y （k 是实常数）是二项式()52x y -的展开式中的一项，其中1m n =+，那么k 的值为 A ．40B ．40-C ．20D ．20-2．已知函数2()cos (1)f x x x a x =+-是奇函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．0x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=3．已知函数211,1,(){42,1,x x f x x x x -+<=-+≥则函数()2()2x g x f x =-的零点个数为（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知X 的分布列为 X－11P1213 16设Y ＝2X ＋3，则E(Y)的值为A ．73B ．4C ．－1D ．15．已知复数z 满足()()122z i i +-=，则复数z 在复平面内的对应点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．函数3lg x y x =的图象大致是A ．B ．C ．D ．7．已知复数34,z i i =+为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则iz=（ ） A ．4355i -+ B ．4355i -- C ．432525i -+ D ．432525i -- 8． “ln ln x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．若数据123,,x x x 的均值为1，方差为2，则数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为（ ） A ．1，2B ．1+s ，2C ．1，2+sD ．1+s ，2+s10．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为11，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（ ）（参考公式：()3322()a b a b a ab b -=-++）A ．2B ．116 C ．4D ．11311．已知函数()ln f x x x =，则()f x 在x e =处的切线方程为（ ） A ．0x y -= B ．10x y --=C ．20x y e --=D ．(1)0e x ey e +--=12．数列中，则，则A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 14．若双曲线的渐近线方程为y=±32x ，则满足条件的一个双曲线的方程为____________ 15．在实数范围内，不等式211x --≤的解集为___________. 16．已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是__________．234f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 234f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ③()023f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭ ④()024f π⎛⎫> ⎪⎝⎭三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率： （1）三次颜色各不相同； （2）三次颜色不全相同； （3）三次取出的球无红色或黄色．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD⊥平面PAC ；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE ；19．（6分）随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐，下表是西南地区某大学近五年的录取平均分与省一本线对比表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年份代码 1 2 3 4 5 省一本线 505 500 525 500 530 录取平均分533534566547580录取平均分与省一本线分差y2834414750（1）根据上表数据可知，y 与t 之间存在线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程；（2）据以往数据可知，该大学每年的录取分数X 服从正态分布(),25N μ，其中μ为当年该大学的录取平均分,假设2019年该省一本线为520分，李华2019年高考考了569分，他很喜欢这所大学，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给李华一个合理的建议.（第一志愿录取可能性低于60%，则建议谨慎报考）参考公式：()()()121ˆnii i ni i tt y y bt t ==-⋅-=-∑∑，ˆˆay b t =-⋅. 参考数据：()0.6826P X μ-δ<≤μ+δ=，(22)0.9544P X μ-δ<≤μ+δ=. 20．（6分）选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.21．（6分）已知数列1111,,,,,112123123n+++++++L L L ，其前n 项和为n S ；（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 22．（8分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-（Ⅰ）解不等式()()216f x f x ++≥；（Ⅱ）对()1,0a b a b +=>及x R ∀∈，不等式()()41f x m f x a b---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，求出m ，n 的值，即可求出k 的值． 【详解】展开式的通项公式为T t+1＝5tC x 5﹣t （2y ）t ＝2t 5tC x 5﹣t y t ， ∵kx m y n （k 是实常数）是二项式（x ﹣2y ）5的展开式中的一项， ∴m+n ＝5， 又m ＝n+1， ∴得m ＝3，n ＝2， 则t ＝n ＝2，则k ＝2t 5t C =2225C =4×10＝40，故选A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m ，n 的值是解决本题的关键． 2．B 【解析】【分析】根据奇函数的定义或性质求出a ，然后可求出导函数，得切线斜率，从而得切线方程 【详解】∵()f x 是奇函数，∴22()cos()(1)()cos (1)f x x x a x x x a x -=--+--=-+-2cos (1)x x a x =---， ∴2(1)0a x -=，1a =，()cos f x x x =是奇函数，'()cos sin f x x x x =-，'(0)1f =，(0)0f =，切线方程为y x =，即0x y -=． 故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，本题难度一般． 3．B 【解析】画出函数()211,1,{42,1,x x f x x x x -+<=-+≥的图像如图，由()()220xg x f x =-=可得2()2xf x =，则问题化为函数()211,1,{42,1,x x f x x x x -+<=-+≥与函数1222x xy -==的图像的交点的个数问题。

浙江省温州市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x ',22(2)()x f x f x e--=(e 为自然对数的底数),且当1x ≠时, [](1)()()0x f x f x -'->,则 ( )A ．f(1)<f(0)B ．f(2)>ef(0)C ．f(3)>e 3f(0)D ．f(4)<e 4f(0)2．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，1a ，2a ，…，k a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ）A ．14个B ．13个C ．15个D ．12个3．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（ ）A ．1eB ．0C ．44e D ．22e 4．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(),0-∞或()1+∞，B ．()(),01-∞⋃+∞， C ．()1+∞， D ．()0,1 5．设a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是() A ．ab bc > B ．ac bc > C ．a b c b >D ．ab ac >6．已知集合{}(){}22,0,|lg 2xM y y x N x y x x ====-，则()RM C N ⋂为（ ）A ．(]1,2B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 7．下列命题中真命题的个数是（ ） ①若p q ∧是假命题，则p 、q 都是假命题；②命题“x ∀∈R ，3210x x -+≤”的否定是“0x ∃∈R ，320010x x -+>”③若p ：1x >，q :11x<，则p 是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．38．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“ab 0>”是“b a2a b+≥”的充要条件 C ．命题“2x 3x 20-+=，则x 1=或x 2=”的逆否命题为“若x 1≠或x 2≠，则2x 3x 20-+≠” D ．命题p ：x R ∃∈，使得2x x 10+-<，则p ⌝：x ∀∈R ，使得2x x 10+->9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C ．若,m n αβ⊥⊥，αβ⊥，则m n ⊥ D ．若//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则//m n10．设奇函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,)2πωϕ><的最小正周期为π，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π上单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ上单调递减 C ．()f x 在(0,)2π上单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ上单调递增 11．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．直线D ．线段12． “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．曲线1()x f x x e -+=+在1x =处的切线方程为__________. 14．已知函数的图象在点处的切线方程是，则___．15．函数()2f x log x =在点()A 2,1处切线的斜率为______16．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线34x =相切。

浙江省温州市温州中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题1．已知全集U Z =，集合{}1,0,1M =-，{}0,1,3N =，()UM N 等于（ ）A ．{}1-B ．{}3C ．{}0,1D ．{}1,3-2．若α是钝角，2cos 3α=-，则sin()πα-=（ ） A ．23B ．23-C ．5-D ．5 3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S ，则“10a >”是“20210S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若m α⊥，m n ∥，n β∥，则αβ⊥C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥ 5．函数2()()xf x a R x a=∈+的图象不可能是（ ）6．双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ） A ．1B ．9C ．1或9D ．77．已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，1S a =，3S b =，5S c =，则（ ）A ．2a c b +=B ．2ac b = C ．15310a c b +=D ．31510a c b +=8．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．23D ．439．斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧面11ABB A 是矩形，M 是线段AB 上的动点，记直线1A M 与直线AC 所成的角为α，直线1A M 与平面ABC 所成的角为β，二面角1A AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．αβ≤，βγ≤B ．βα≤，βγ≤C ．αβ≤，βγ≥D ．βα≤，βγ≥10．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N 是平面内两两互不相等的向量，121a a -=，且对任意的1,2i =及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．611．若()522410012521x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则5a =___________，1234a a a a +++=___________．12．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于__________，表面积等于__________．13．若正数a ，b 满足225ab a b =++，则ab 的最小值是___________，a b +的最小值是___________． 14．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取2个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为X ，则(3)P X ==___________，()E X =___________． 15．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________．16．已知||2x ≤，||2y ≤，θ∈R ，则{}(,)cos sin 1x y x y θθ+=∣围成的区域的面积为___________．17．已知函数3()3f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，则实数t 的取值范围__________．18．已知函数2()3sin cos cos (0)f x x xx ωωωω=->的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）若07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()03132f x =-，求0cos 2x 的值． 19．如图，已知三棱锥P ABC -，PC AB ⊥ ，ABC △是边长为2的正三角形，4PB =，60PBC ∠=︒，点F 为线段AP 的中点．（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）求直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足121a a ==，且满足2112nn n na a a a ++++=．（1）求3a ，4a ，并判断1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列？并说明理由． （2）记13n n n a b a ++=，*n N ∈，且12n b b b c ++⋅⋅⋅+<恒成立，求实数c 的取值范围． 21．如图，已知抛物线21:4C x y =与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>交于点A ，B ，且抛物线1C 在点A 处的切线1l 与椭圆2C 在点A 处的切线2l 互相垂直．（1）求椭圆2C 的离心率；（2）设1l 与2C 交于点P ，2l 与1C 交于点Q ，记ABQ △，ABP △的面积分别为1S ，2S ，问：是否存在椭圆2C ，使得122S S =？请说明理由．22．已知函数2()2ln 3f x x x ax =+-+．（1）是否存在实数a 使得01x =为()f x 唯一零点？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； （2）若存在0(1,2)x ∈使得()00f x =，求证：027x a >-．2019-2020学年温州中学高二下学期数学期末试卷答案一、选择题 1-5: BDCBD 6-10: CCCBD二、填空题11．32，210 12．320cm ，297cm 2+13．25，10 14．1033，113 1516．4π- 17．()4,+∞ 三、解答题18．解析：（1）∵1cos 21()2sin 22262x f x x x ωπαα+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴22T cππ==，∴1ω=．（2）∵()0011sin 26232f x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴0sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，又∵0sin 2632x π⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，∵02,62x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴06cos 263x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴00cos2cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭613363+=-⨯⨯=-． 19．解析：（1）∵2AB =，4PB =，60PBC ∠=︒，∴23PC =，∴90PCB ∠=︒，即PC BC ⊥， 又PC AB ⊥，∴PC ⊥平面ABC ，解答：（2）取BC 的中点D ，连结，AD ，分别以DB 、DA 所在的直线为x ，y 轴，以过点D 作PC 的平行线为z 轴，建立直角坐标系如图所示， 则(1,0,0)B ，(0,3,0)A ，(1,0,0)C -，(1,0,23)P -， ∴13,,32F ⎛⎫-⎪ ⎪⎝，33,,32BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝，易知平面PBC 的法向量为()0,1,0n =设直线BF 与平面PBC 所成的角为θ，则33||222sin 4||||936344BF n BF n θ⋅====⋅++．20．解：（1）32a =，44261a -+-．由2112nn n na a a a ++++=可得1211n n n n a a a a ++++=，故1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列． （2）因为1211n n n n a a a a ++++=，于是11(1)s nan n a +=+-=， ∴1n n a na +=． 于是111321(2)(2)(1)n n n n n n n a a a b a n a n n a ++++++===+++111(2)(1)12n n n n ==-++++．故12111111111233412222n b b b n n n ++⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-=-<+++， 于是实数c 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．00222:1x x y y l a b+=，即220222004b x b k a y a x =-=-，又12l l ⊥，所以212221b k k a -⋅==-， 即2222222a b a c ==-， 所以222a c =，即2e =． （2）设椭圆222212x y c c+=，即22222y c x +=，又()20010:42x xl y x x -=-， 即2001:24x x l y x =-代入椭圆，得23422000120228x x x x x c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，300202p x x x x +=+， 所以30002200222p x xx x x x -=-=++，220020124p x y x x -=-+，2200020122p AB p x d y y x x -=-=++， 又()202002:4x l y x x x -=--，即200224x y x x =-++代入抛物线，得2200880x x x x +--=，008Q x x x +=-， 即0008x x x =--，222016444Q Q x x y x ==++，020164Q AB Q d y y x -=-=+， 又122S S =，所以2Q AB P AB d d --=，即22220000222000216142222x x x x x x x ⎛⎫+=+=+ ⎪++⎝⎭， 化简得620024320x x --=，即()()2420004480x xx +--=，所以202x =+又4202002200228212p x c xx x x x --==++， 所以()2222000132481482c x x x =++=+=+221=． 22．解：（1）若01x =为()f x 零点，则2(1)2ln1130f a =+-+=，即4a =， 当4a =时，2()2ln 43f x x x x =+-+，2()240f x x x'=+-≥， 所以此时，()f x 在定义域内单调递增， 即01x =为()f x 唯一零点，故存在4a =，使得01x =为()f x 唯一零点． （2）∵()200002ln 30f x x x ax =+-+=，∴20002ln 3x x a x ++=，要证027x a >-，即证22000000002ln 34ln 27627x x x x x x x x +++-+>⋅-=． ∵0(1,2)x ∈，即证2200004ln 276x x x x >+-+， 即证20004ln 760(*)x x x +-+<设2()4ln 76g x x x x -+-+，4()27g x x x'-+- 当(1,2)x ∈时，()0g x '<，即()g x 在(1,2)上递减， 故()(1)0g x g <-，所以(*)式得证，故027x a >-．。

2020年浙江省名校数学高二(下)期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知集合，则 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意，集合，，再根据集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：及格不及格合计很少使用手机20 5 25经常使用手机10 15 25合计30 20 50则有（）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．参考公式:()()()()()22=n ad bcKa b c d a c b d-++++，其中n a b c d=+++()2P K k≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．97.5%B．99%C．99.5%D．99.9%【答案】C【解析】【分析】根据2×2列联表，求出k 的观测值2K ，结合题中表格数据即可得出结论. 【详解】 由题意，可得：222()50(2015105)258.3337.879()()()()302025253n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响. 故选C. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于基础题. 3．曲线()sin x f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1D 【答案】C 【解析】分析：先求函数()sin xf x e x =的导数，因为函数图象在点()()0,0f 处的切线的斜率为函数在0x =处的导数，就可求出切线的斜率．详解：0sin cos 0001xxf x e x e x f e cos sin Q （），（）（），'=+∴'=+= ∴函数图象在点()()0,0f 处的切线的斜率为1． 故选：C ．点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题． 4．已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】分析：由复数的运算，化简得到z ，由实部与虚部的和为1，可求得a 的值． 详解：因为2iz ai =+所以2222221ai i ai a iz a i i i ++-+====-- 因为复数z 的实部与虚部和为1 即()21a +-= 所以3a =点睛：本题考查了复数的基本运算和概念，考查了计算能力，是基础题．5．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C【解析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为，所以所求概率为，故选C ．考点：1、条件概率；2、独立事件．6．ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=，故选C.【考点】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.7．在打击拐卖儿童犯罪的活动中,警方救获一名男孩,为了确定他的家乡,警方进行了调查: 知情人士A 说,他可能是四川人,也可能是贵州人； 知情人士B 说,他不可能是四川人； 知情人士C 说,他肯定是四川人； 知情人士D 说,他不是贵州人.警方确定,只有一个人的话不可信.根据以上信息,警方可以确定这名男孩的家乡是（ ） A ．四川B ．贵州C ．可能是四川,也可能是贵州D ．无法判断【答案】A【分析】先确定B,C 中必有一真一假，再分析出A,D 两个正确，男孩为四川人. 【详解】第一步,找到突破口和的话矛盾,二者必有一假. 第二步,看其余人的话, 和的话为真,因此男孩是四川人.第三步,判断突破口中B,C 两句话的真假, 的话为真, 的话为假,即男孩为四川人. 故选：A 【点睛】本题主要考查分析推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.8．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A ．624B ．264C ．510D ．510-【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =，所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =， 所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===，所以1tan 2α=，所以sin α，所以1sin(3)tan()sin (tan )sin tan 2+⋅-=-⋅-=⋅==παπααααα． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，直线PM ，PN 的斜率分别为1212,(0)k k k k ⋅≠，若12k k +的最小值为2，则双曲线的离心率为( )A B C ．2D ．32【答案】A 【解析】 【分析】先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用12||||k k +的最小值为2，即可求得双曲线的离心率． 【详解】由题意，可设点(,)M p q ，(,)N p q --，(,)P s t ．∴22221p q a b -=，且22221s t a b-=． 两式相减得222222t q b s p a -=-．再由斜率公式得：22212222t q b k k s p a -==-． 122||||bk k a+Q …根据12||||k k +的最小值为2，可知22ba=，所以a=b. 所以c =∴ce a== 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关 键． 10．将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,则函数的单调增区间为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】求出图象变换的函数解析式，再结合正弦函数的单调性可得出结论． 【详解】 由题意，，∴，故选D ． 【点睛】本题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的单调性．解题时可结合正弦函数的单调性求单调区间． 11．函数()cos xf x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．22【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．执行如右图所示的程序框图，则输出的s 的值是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．3【答案】B 【解析】1,1k s ==,1s =,判断否,2k =,2s =,判断否,3,6k s ==,判断是,输出6s =,故选B .二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；②122x x +<；③121x x ⋅>；④有极小值点0x ，且1202x x x +<.则正确判断的个数是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】对函数进行求导，然后分类讨论函数的单调性，由题意可以求出a 的取值范围，然后对四个判断逐一辨别真假即可. 【详解】'()()x x f x e ax f x e a =-⇒=-，(0)1f =.当0a ≤时，'()0f x >，函数是单调递增函数，而(0)1f =，所以函数只有一个零点，不符合题意；当0a >时，当ln x a >时，'()0f x >，函数单调递增，当ln x a <时，'()0f x <，函数递减，故函数的最小值为(ln )ln (1ln )f a a a a a a =-=-，要想函数有两个零点，则必有(ln )ln (1ln )0f a a a a a a a e =-=-<⇒>，故判断①不对；对于②：122121212120,0ln()2ln ln()xxe ax e ax x x a x x a x x -=-=∴+=⋅⋅=+⋅Q ，取22e a =，(2)0f =，所以122x x +>，故判断②不对；对于④：构造函数111()()(2ln )F x f x f a x =--，11112ln 2ln '1()220a x a x x x e F x e a ea e a a e -=-+-=+->=，所以函数1()F x 是0(0,)x 上单调递增，故1011()()0()(2ln )0F x F x f x f a x <=⇒--<⇒11()(2ln )f x f a x <-， 而12()()f x f x =，所以21122ln 2ln x a x x x a <-⇒+<，故本判断是正确的；对于③：因为12122ln ln()x x a x x +=+⋅，而122ln x x a +<，所以有121x x ⋅<，故本判断是错误的，故正确的判断的个数为1. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点、极值点，考查了推理论证能力. 14．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为__________． 【答案】12π【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求φ关系式，解得最小值. 详解：因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移(0)φφ>个单位得()2sin(2())6g x x πφ=+-，所以2()()6122k k k Z k Z πππφπφ-=∈∴=+∈ 因为0φ>，所以min .12πφ=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.15．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2=2y （0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的范围为 【答案】0＜r≤1 【解析】【分析】 【详解】设小球圆心（0，y 0） 抛物线上点（x ，y ） 点到圆心距离平方r 2=x 2+（y ﹣y 0）2=2y+（y ﹣y 0）2=y 2+2（1﹣y 0）y+y 02 若r 2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底, 此二次函数对称轴在纵轴左边， 所以1﹣y 0≥0 所以0＜y 0≤1 所以0＜r≤1 故答案为0＜r≤1点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力． 16．极坐标系中，曲线4cos ρθ=-上的点到直线()cos 8ρθθ=的距离的最大值是 . 【答案】7 【解析】试题分析：由线方程化为：24cos ρρθ=-，即2240x y x ++=，化为：22(2)4x y ++=，圆心坐标为（－2,0），半径为r ＝2，直线方程化为：x －8＝0，圆心到直线的距离为：282d --=＝5，所以，最大距离为：5＋2＝7.考点：1、极坐标方程化为普通方程；2、点到直线的距离. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221,,332且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ε分布列；(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).【答案】（Ⅰ）ε的分布列为P(Ⅱ)()243P AB = 【解析】 【分析】 【详解】(Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且32013321222(0)1,(1)1327339P C P C εε⎛⎫⎛⎫==⨯-===⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233233322428(2)1,(3)339327P C P C εε⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-===⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以ε的分布列为 ε 01 2 3P（Ⅱ）用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C ∪D,且C 、D 互斥，又2234222111211110()()13333231323323P C C ⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦333521114()()33323P D C ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭由互斥事件的概率公式得4551043434()()()333243P AB P C P D =+=+== 18．脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在[0.1，0.3）的脐橙是“普通果”，重量在[0.3，0.5）的磨橙是“精品果”，重量在[0.5，0.7]的脐橙是“特级果”，有一果农今年种植脐橙，大获丰收为了了解脐橙的品质，随机摘取100个脐橙进行检测，其重量分别在[0.1，0.2），[0.2，0.3），[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7]中，经统计得到如图所示频率分布直方图。