第3课时两角和与差的正弦

第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C(α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))

⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))

⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β)) (2)公式变形 ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α＝2sin_αcos_α， ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，

③tan 2α＝2tan α1－tan2α. (2)公式变形 ①cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2； ②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sinα±π4. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(×) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×) (5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√)

(7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√) (8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y＝1－2cos2x的x无意义．(×)

考点一 三角函数式的给角求值 命题点 1.已知非特殊角求函数式的值 2.已知含参数的角化简函数或求值

[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°； 解：原式＝2cos210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos25°－sin25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°

＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin30°－10°2sin 10°

＝cos 10°－212cos 10°－32sin 10°2sin 10° ＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手) 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)

＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)

＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12 ＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－12 ＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名) 原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－12cos 2α·cos 2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)

－12cos 2α·cos 2β ＝cos2β－sin2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β ＝cos2β－cos 2β·sin2α＋12cos 2α ＝1＋cos 2β2－cos 2β·

sin2α＋121－2sin2α

＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12. 法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.

[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：1观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.2观察名，尽可能使函数统一名称.3观察结构，利用公式，整体化简. 1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)． 解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)

＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10° ＝sin 50°·cos60°－10°cos 60°cos 10° ＝2sin 50°cos 50°cos 10° ＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 2．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2

的值为________． 解析：因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，

所以A＋C＝2π3，A＋C2＝π3，tanA＋C2＝3， 所以tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2 ＝tanA2＋C21－tan A2tan C2＋3tan A2tan C2 ＝31－tan A2tan C2＋3tanA2tan C2＝3. 考点二 三角函数式的给值求值

命题点 1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值 2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值 3.已知三角函数式的值，求三角函数值

[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A．－45 B．－15 C.15 D.45 解析：法一：cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110， 因而cos 2θ＝1－2sin2θ＝45. 答案：D (2)已知tanα＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin2α＋sin 2αcosα－π4等于( )

A．－255 B．－3510 C．－31010 D.255 解析：由tanα＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故2sin2α＋sin 2αcosα－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.

答案：A (3)已知α∈0，π2，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________. 解析：2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0

则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，

由于α∈0，π2，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝213， ∴sinα＋π4sin 2α＋cos 2α＋1 ＝22sin α＋cos αsin α＋cos α2＋－sin2α＋cos2α＝268. 答案：268 [方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：1已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.2已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.3已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.

1．在本例(1)中，已知条件不变，求tanπ6＋θ的值． 解：tanπ6＋θ＝tan π6＋tan θ1－tanπ6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613. 2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin2θ－sin θcos θ－3cos2θ的值．

解：原式＝2sin2θ－sin θcos θ－3cos2θsin2θ＋cos2θ

＝2tan2θ－tan θ－3tan2θ＋1

＝2×－132＋13－3－132＋1＝－115. 3．已知cosπ2－α＋sin2π3－α＝235，则cos2α＋π3＝________. 解析：由cosπ2－α＋sin2π3－α＝235，得 sin α＋sin2π3cos α－cos 23πsin α＝235 ∴32sin α＋32cos α＝235，