第6章 宏观应力测定

1(
3
1+
2
+
3
)
图b
3 -m 图c
单元体的体积改变比能 为:
1- 2
6E
1
+
2
+3
2
形状改变比能或畸变能密度:
1+
6E
1 + 2 2 + 2 + 3 2 + 3 + 1 2
§6-8 应用举例
例题5-1 已知应力状态如图中所示。试： 1.写出主应力 1 、 2 、 3 的表达式；
2时.若针已方知向σ旋x=转63θ.7=M12p0a0，后τ至xy=x‘7、6.4yM’，p求a，当坐 x标' 、轴 yx 、、yxy逆
问题：（1）用什么模型描述一点处的应力状态？（2）如 何确定任一个方向面上的正应力与切应力？
§6-1 一点处应力状态描述及其分类
单元体或称微元： 构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，通常 用正六面体微元。一旦确定了微元三对互相垂直面上的应力，过这一点任意方向面上的 应力均可由平衡方法确定。进而，还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们的 作用面。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其三对互相垂直面上的应力来 描述。在选取代表一点的微元时，应该尽量使其三对互相垂直面上的应力为已知的或容 易由基本变形下的应力公式算出的。
1
3
II 2
xy
3
O
II
1
x
平行于2的方向面－其上之应力与2无关. 由1 、 3可作出应力圆II
2
III 1 3
xy
II
I
3 2
O
III
1
x

2
d d 0 / d 0
——与ε
（8）
ψ 方向垂直的某组晶面的面间距变化
3 dn d0 / d0
——与表面平行的某组晶面的面间距变化
实验时，选择同一组晶面，d0相同。代入（8）式：
d d 0 d0
即：
d n d 0 1 2 sin d0 E
E (2 ) cot 0 2(1 ) 180 sin 2
E cot 0 2(1 ) 180
为常数，定义为应力常数K1,
可查表
(2 ) sin
2
为直线斜率，定义为M
M数值为正表示拉应力；M数值 为负表示压应力。
K1M
用 X 射线从不同 ψ 角入射，并分别测试
（2）0°～45°法
只测定两点的简化方法，习惯上测定 0°、45°两个点。
2 2 21 2 2 21 M 2 2 2 sin 2 sin 1 sin 45
（∵ψ1＝0°，ψ2＝45°）
一 般 钢 铁 材 料 用 CrKα （ λ=0.22909nm ） 测
2θ﹡为计算值，是真实值。
各实验点的误差：
1 21 2 21 2 0 M sin 1
2
1
i 2i 2i 2i 2 0 M sin i
2

误差的平方和：
i 2
2
i
2 0 M sin i


3 sin cos 2 1 sin sin 2 2 sin 2 3
（5）
将（1）、（2）式代入（5）式：
3 1 cos 1 sin 2 sin / E（6）

x
y
2
sin 2
xy cos 2
1.最大切应力的方位（The direction of maximum shearing
stress ）
令
d d


2[
x
y cos 2
2
xy sin 2 ]
0
tan 21


x 2 xy
y
11 90
化简以上两个平衡方程最后得


x

2
y
x

2
y
cos 2
xy sin 2


x
y
2
sin 2
xy cos 2
不难看出 90 x y
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位
（Maximum normal stress and it’s direction）
e
x
xy
α
α n
α
α
e
dA
dAcos α
ayx
f
y
t
a dAsin f
3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为
dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
y
e xy x
解:（1）求 e-f 截面上的应力
f
30°
30
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2

第6章 应力和变形【要点提示】：同学们，本章的重点内容是应力的计算及其分布规律和虎克定律。

通过对本章的学习，你们将掌握杆件四种基本变形的应力和变形的计算方法，为以后章节的学习打下基础！6.1 轴心拉压杆的应力和变形6.1.1 轴心拉压杆横截面的应力1.应力的概念判断构件的强度是否满足要求，仅知道截面上总的内力还不够，还需要引进应力的概念。

在截面abcd 上，围绕点K 取一微小面积ΔA ，作用在微小面积ΔA 上的内力合力为ΔP （图6-1a ），则比值p m 称为A ∆上的平均应力。

AP ∆∆=m p图6-1一般情况下，截面上各点处的内力虽然连续分布，但并不一定均匀，因此p m将随所取A ∆的大小而异，它不能表明内力在K 点处的真实强度。

为消除A ∆带来的影响，可将A ∆无限缩小，令A ∆趋近于零，则得K 点的实际应力。

dA dpA P A p =∆∆→∆=lim 0p 为K 点处的应力。

所以，应力是单位面积上的内力，它表示内力在某点的集度。

应力的单位是牛顿/米2（N/m 2），称为帕斯卡，简称帕（Pa ）。

工程实际中应力数值较大，常用千帕（1KPa=103Pa ），兆帕（1MPa=106Pa ），吉帕（1GPa=109Pa ）作为单位。

应力p 是一个矢量，一般与截面既不垂直也不相切。

通常将应力p 分解成垂直截面的分量σ和切于截面的分量τ（图6-1b ）。

σ称为正应力，τ称为剪应力。

显然：22τσ+=p2.轴心拉压杆横截面上的应力 在求得轴心拉压杆横截面上的内力后，要解决强度问题还需进一步研究横截面上的应力。

如图6-2a 所示的等直杆，在杆件的外表面画上一系列与轴线平行的纵向线和与轴线垂直的横向线。

两端加上轴心拉力P ，直杆即发生变形。

可观测到，所有纵向线均有相同伸长，仍保持为直线且仍与轴线平行，所有横向线仍然为直线且仍然垂直于轴线（图6-2b ）。

图6-2根据以上现象，可作如下假设：杆的横截面在变形前后均为平面，并且与轴线垂直。