高考圆锥曲线经典大题

【高考数学】圆锥曲线经典习题解答题集—双曲线大题合集1未命名一、解答题1．已知双曲线 C 经过点 (2,3)，它的渐近线方程为 y．椭圆 C 1与双曲线 C 有相同的焦点，椭圆 C 1的短轴长与双曲线 C 的实轴长相等． （1）求双曲线 C 和椭圆 C 1 的方程；（2）经过椭圆 C 1 左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 1 交于 A 、B 两点，是否存在定点 D ，使得无论 AB 怎样运动，都有∠ADF = ∠BDF ？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=；2215x y += （2）存在点D 5(,0)2-【解析】 【分析】（1）双曲线C 的方程为：223x y λ-=，则223233λ=⨯-=．设椭圆1C 的方程；22221(0)x y a b a b+=>>椭圆1C 的短轴长与双曲线C 的实轴长相等，椭圆1C 与双曲线C 有相同的焦点(20)?即可得b 、c 、a（2）直线l 垂直x 轴时，A 、B 两点关于x 轴对称，要使ADF BDF ∠=∠，则点D 必在x 轴上，设(,0)D m ，直线l 不垂直x 轴时，l 的方程设为：(2)y k x =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22(2)55y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(15)202050k x k x k +++-=．要使ADF BDF ∠=∠，即直线AD 、BD 的斜率互为相反数，即1112(2)(2)0k x k x x m x m+++=--，求得a【详解】解：（1）双曲线C 方程为：223x y λ-=，则223233λ=⨯-=．∴双曲线C 的方程为2213y x -=．设椭圆1C 的方程；22221(0)x y a b a b+=>>椭圆1C 的短轴长与双曲线C 的实轴长相等，∴椭圆1C 的短轴长为22b =，椭圆1C 与双曲线C 有相同的焦点(20)?，即2c =，a ∴=1C 的方程为：2215xy +=；（2）直线l 垂直x 轴时，A 、B 两点关于x 轴对称， (2,0)F -，∴要使ADF BDF ∠=∠，则点D 必在x 轴上，设(,0)D m ，直线l 不垂直x 轴时，l 的方程设为：(2)y k x =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22(2)55y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(15)202050k x k x k +++-=． ∴2212122220205,1515k k x x x x k k --+==++．ADF BDF ∠=∠，∴直线AD 、BD 的斜率互为相反数，即1112(2)(2)0k x k x x m x m+++=--，0k =时恒成立．0k ≠时，12121222()542x x x x m x x ++==-++；∴存在定点5(2D -，0)，使得无论AB 怎样运动，都有ADF BDF ∠=∠．【点睛】本题考查了双曲线的方程，及存在性问题，转化思想是解题关键，属于中档题． 2．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求一个焦点为()5,0，渐近线方程为34y x =?的双曲线标准方程． 【答案】（1）22195x y +=；（2）221169x y -= 【解析】 【分析】（1）设椭圆标准方程，由长轴长知3a =；由焦距得到2c ==，解出2b 后，代入椭圆方程即可得到结果；（2）设双曲线标准方程，由渐近线斜率可得34b a =5=，从而求得22,a b ，代入双曲线方程可得到结果. 【详解】（1）设椭圆标准方程为：()222210x y a b a b+=>>由长轴长知：26a = 3a ∴=由焦距知：24c = 2c ∴===，解得：25b =∴椭圆标准方程为：22195x y +=（2）双曲线焦点在x 轴上 ∴可设双曲线标准方程为()222210,0x ya b a b-=>>∴双曲线渐近线方程为：34=±=±b y x x a 34b a ∴=又焦点为()5,0 25=，解得：216a = 29b ∴=∴双曲线标准方程为：221169x y -=【点睛】本题考查椭圆方程、双曲线方程的求解，椭圆和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题.3．对于双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，定义22122:1x y C a b +=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B ．（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若12c c =，求双曲线C 的渐近线方程．（2）若双曲线C 的方程为22142x y -=，弦PQ x ⊥轴，记直线PA 与直线QB 的交点为M ，求其动点M 的轨迹方程．（3）过双曲线22:1C x y -=的左焦点F ，且斜率为k 的直线l 与双曲线C 交于12,N N 两点，求证：对任意的1144[2,2]k --∈-，在伴随曲线1C 上总存在点S ，使得212FN FN FS ⋅=．【答案】（1）y =；（2）22142x y +=；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的a 、b 、c 的关系及椭圆的a 、b 、1c 的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出；（2）设出点P 、Q 的坐标，利用点斜式得出直线PA 、QB 的方程，联立即可得出交点M 的坐标，反解出点P 的坐标，利用代点法即可求出轨迹；（3）设出直线l 的方程，并与双曲线的方程联立，利用根与系数的关系及已知条件求出12FN FN ⋅的范围，再求出伴随曲线1C 上的任意一点到点F 的距离的平方的取值范围，即可判断出结论是否成立． 【详解】（1）∵c，1c =，由12c c =，()22224a b a b+=-可得22 35b a = ，∴C的渐近线方程为5y x =±； （2）设()00,P x y ，()00Q x y -，， 又()20A -，、()20B ，， ∴直线PA 的方程为()0022y y x x =++…① 直线QB 的方程为()0022y y x x -=--…②， 由①②得004 2x xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵()00,P x y 在双曲线2224 1x y -=上，∴222242441y x x -=，整理得22142x y +=． （3）证明：点F的坐标为()F ，直线l的方程为(y k x =， 设1N 、2N 的坐标分别为()111,N x y 、()222,N x y ，则由(221y k x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得(2221x k x +=-，即()()22221210kxx k --+=-，当1k ≠±时， ∵()()4224422841218844440k kkk k k k =+-+=-++=+>，∴21221x x k=+-，2122211k x x k +-=-⋅， ()()(1211221212FN FN x y x y x x y y +=+=+⋅⋅ (((())212121212 12x x k x k x k x xx x =+++=++++⎡⎤⎣⎦()222222221112111k k k k k k ⎛⎫= ⎪ ++=+-+---⎪⎝⎭， 由1144[2,2]k --∈-知202k ⎡∈⎢⎣⎦，，∴221 131k k+⎡∈+⎣-，． ∵双曲线221C x y -=：的伴随曲线是圆2211C x y +=：，圆1C 上任意一点S 到F 的距离11SF ∈+，，∴23SF ⎡∈⎣-+，∵133⎡+⊆-⎡⎣+⎣，∴对任意的1144[2,2]k --∈-，在伴随曲线1C 上总存在点S ，使得212FN FN FS ⋅=． 【点睛】本题主要考查双曲线和椭圆的基本性质，熟练掌握双曲线的渐近线的方程、直线相交问题、代点法求轨迹问题、一元二次方程的根与系数关系、向量的数量积的计算等是解题的关键，计算量较大，有一定难度.4．已知双曲线C 以12(2,0)(2,0)F F -、为焦点，且过点(7,12)P （1）求双曲线C 与其渐近线的方程（2）若斜率为1的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点，且OA OB --→--→⊥（O 为坐标原点），求直线l 的方程【答案】（1）双曲线C 的方程为2213y x -=； 渐近线方程为y =．（2）l 方程为y x =±【解析】 【分析】（1）设出双曲线C 方程，利用已知条件求出c ，a ，解得b ，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；（2）设直线l 的方程为y ＝x +t ，将其代入方程2213y x -=，通过△＞0，求出t 的范围，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用韦达定理，通过x 1x 2+y 1y 2＝0，求解t 即可得到直线方程． 【详解】（1）设双曲线C 的方程为()2222100x y a b a b-=＞，＞，半焦距为c ，则c ＝2，1222a PF PF =-==，a ＝1，所以b 2＝c 2﹣a 2＝3，故双曲线C 的方程为2213y x -=．双曲线C 的渐近线方程为y =．（2）设直线l 的方程为y ＝x +t ，将其代入方程2213y x -=，可得2x 2﹣2tx ﹣t 2﹣3＝0（*）△＝4t 2+8（t 2+3）＝12t 2+24＞0，若设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1，x 2是方程（*）的两个根，所以2121232t x x t x x ++==-，，又由OA OB ⊥，可知x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 1x 2+（x 1+t ）（x 2+t ）＝0，可得()2121220x x t x x t +++=，故﹣（t 2+3）+t 2+t 2＝0，解得t =，所以直线l 方程为y x =± 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力．5．（1）求过点()2,2-且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线22145x y -=的焦点到其渐近线的距离.【答案】（1）22124y x -=；（2【解析】 【分析】（1）设共渐近线的双曲线方程为()2202x y λλ-=≠，代点计算可得.（2）根据双曲线方程求出焦点坐标以及渐近线方程，再根据点到线的距离公式计算可得. 【详解】解：（1）因为所求双曲线与双曲线2212x y -=有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为()2202x y λλ-=≠．因为所求双曲线过点()2,2-，所以()22222λ--=，得2λ=-，所以所求双曲线的方程为22124y x -=．（2）因为双曲线的方程为22145x y -=，所以双曲线的一条渐近线方程为2y x =，20y -=．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且()3,0为双曲线的一个焦点，所以双曲线22145x y -=的焦点到其渐近线的距离为d ===．【点睛】本题考查共渐近线的双曲线方程的计算问题，以及点到线的距离公式，属于基础题.6．（1）已知双曲线与椭圆22184xy +=有相同焦点，且过点(2P ，求双曲线标准方程；（2）已知椭圆()22133x y m m +=>的一个焦点为F ，椭圆上一点P 到焦点F 的最大距离是3，求这个椭圆的离心率.【答案】（1）22122x y -=（2）12【解析】 【分析】（1）设双曲线标准方程22221x y a b-= ，先利用双曲线的的定义求出a ，再利用与椭圆共焦点可得到c ，进而可求出b ，即可得双曲线的标准方程；（2）由椭圆上一点P 到焦点F 的最大距离是3，可得：3a c +=，又223a c -=，解出,a c ，即可得椭圆的离心率． 【详解】解：（1）因为椭圆方程22184x y +=中，222844a b c ==∴=，，，所以焦点坐标为12-2,0),0)((2,F F .设双曲线标准方程22221x y a b-=，因为曲线过点(2P ， 所以12||||2PF PF a -=，又2122124,PF F F PF F F =⊥， 所以1PF =2a =，所以22a =，又24,c = 所以22b =，所以双曲线标准方程 22122x y -=；（2）由椭圆()22133x y m m +=>，可知椭圆焦点在x 轴，即22,3a m b == ，因为椭圆上一点P 到焦点F 的最大距离是3， 由椭圆定义可得：3a c +=①， 又因为2223a c b -==②， 由①②解得2,1a c == ， 所以椭圆的离心率12c e a ==． 【点睛】本题考查双曲线和椭圆基本量的计算，关键是要找到,,a b c 之间的关系，是基础题．7．已知命题p ：方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率()1,2e ∈, 若,p q 有且只有一个为真, 求m 的取值范围. 【答案】1153m ≤< 【解析】试题分析：先将方程化成椭圆标准方程,再根据焦点在y 轴上确定m 的取值范围;由双曲线标准方程确定225,0a b m ==> ,再由()1,2e ∈ 确定m 的取值范围;由,p q 有且只有一个为真,得,p q 一真一假，分别求对应方程组的解，可得m 的取值范围.试题解析：将方程22121x y m m -=-改写为22121x y m m +=-， 只有当120m m ->> 即103m << 时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆， 所以命题p 等价于103m <<；因为双曲线2215y x m -=的离心率()1,2e ∈ ， 所以0m > ，且5145m+<< ，解得015m << ， 所以命题q 等价于015m <<;若p 真q 假，则m ∈∅ ；若p 假q 真，则1153m ≤<综上： m 的取值范围为1153m ≤<8．（上海市静安区2017-2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学）设双曲线C ：22123x y -=， 12,F F 为其左、右两个焦点． (1)设O 为坐标原点，M 为双曲线C 的右支上任意一点，求1OM F M ⋅的取值范围； (2)若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，求动点P 的轨迹方程． 【答案】（1）)2⎡++∞⎣；（2）22194x y +=【解析】（1）设(),M x y，x ≥()1F ，∵()()222213,32x OM F M x y x y x y x ⋅=⋅=++=++-2532x =-（x ≥，对称轴为5x =-≤，∴)12OM F M ⎡⋅∈++∞⎣.（2）由椭圆定义得P 点轨迹为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，12F F =122PF PF a +=，2221212121212204220cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--⋅-∠==⋅⋅ 21242012a PF PF -=-⋅，由基本不等式得122a PF PF =+≥当且仅当12PF PF =时等号成立，∴212PF PF a ⋅≤，则21224201cos 129a F PF a -∠≥-=-，∴29a =，24b =， ∴动点P 的轨迹方程为22194x y +=.9．已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是y x =±，双曲线过点(6,6)P(1)求双曲线方程(2)动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问:是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论【答案】(1)所求双曲线方程为="1" ；(2)所求直线l 不存在． 【解析】本试题主要是考查了双曲线方程的求解，已知直线与双曲线的位置关系的综合运用． （1）利用已知中的渐近线方程是y x =，双曲线过点(6,6)P 那么设出双曲线的标准方程，然后代入点和a,b 的关系得到求解．（2）假设存在直线l ，使G(2，2)平分线段MN ，那么利用对称性，分别设出点的坐标，那么联立方程组，可知斜率，得到直线的方程，从而验证是否存在． (1)如图，设双曲线方程为=1 …………1分由已知得2222661{a b b a -==………………………………………3分解得229{12a b ==…………………………………………………5分 所以所求双曲线方程为="1" ……………………6分(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2）…………………………………………………………8分 假设存在直线l ，使G(2，2)平分线段MN ， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2) 则有22121112221212224129108124{,{493129108x x x y y y y y x x x y +=-=-⇒==+=--=，∴k l =43……………………10分∴l 的方程为y =43(x －2)+2,12分 由,消去y ,整理得x 2－4x +28="0"∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在…………………………………………14分10．已知双曲线C 的方程为()222210,0y x a b a b -=>>，离心率2e =顶点到渐近线(1)求双曲线C 的方程;(2)设P 是双曲线C 上的点,A,B 两点在双曲线C 的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若AP PB λ=,1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求AOB 面积的取值范围.【答案】(1) 2214y x -=;(2)82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】(1)根据离心率以及顶点到渐近线的距离表达出,,a b c 对应的关系再求解即可. (2)由双曲线方程与渐近线方程可设001122(,),(,2),(,2)P x y A x x B x x -,再利用AP PB λ=求得00(,)P x y ,再代入双曲线方程求解化简,再代入面积公式求解即可.【详解】(1)由题,一条渐近线方程0by x bx ay a=⇒-=,可知25c c a a ab c ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ , 两式相乘有1b =,又222c a b =+.故2222154,524c a a c a a +=⇒=⇒==.故双曲线C 的方程：2214y x -=(2)由题,渐近线方程为2y x =±,故设001122(,),(,2),(,2)P x y A x x B x x -因为AP PB λ=,故12001200120120()12(2)21x x x x x x x y x x y x x y λλλλλλ+⎧=⎪-=-⎧⎪+⇒⎨⎨-=---⎩⎪=⎪+⎩,将点00(,)P x y 代入双曲线方程有221212111x x x x λλλλ-+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得()21214x x λλ+=-. 故()1221122221111(2)2112212222AOBSx y x y x x x x x x λλλλ=-=--⨯+⎛⎫==+⎪=+ ⎝⎭. 因为1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由对勾函数性质得1102,3λλ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,故11822,23AOBSλλ⎛⎫⎡⎤++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣=⎦【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解以及设点求双曲线上对应的点代入方程求解的方法等.主要利用向量的关系表达出双曲线上的点的表达式,属于难题. 11．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求与双曲线2212x y -=有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．【答案】()1椭圆的标准方程为22195x y +=；()2双曲线的标准方程为：2212y x -=．【解析】 【分析】()1设出椭圆的标准方程，根据2a ，2c 所表示的几何意义求得a ，c 的值，再根据椭圆222a b c =+ ，求得b 2的值，进而可得到椭圆的标准方程；()2先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，将点代入双曲线方程，结合双曲线222c a b =+，解方程可得a ，b ，进而可得双曲线的方程． 【详解】()1设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则焦距为4，长轴长为6，3a ∴=，2c =，25b ∴=，∴椭圆标准方程为22195x y +=；()2双曲线2212x y -=双曲线的焦点为()，设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，可得223a b +=，将点代入双曲线方程可得，22221a b-=，解得1a =，b =即有所求双曲线的方程为：2212y x -=．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.12．已知F 是双曲线G ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，1l ，2l 是双曲线的两条渐近线，过F 且垂直1l 的直线与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若三角形AOB 的面积2AOB S ab ∆=（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D 【答案】C 【解析】 【分析】分为0b a >>和0a b >>两种情况，画出图像分别计算离心率得到答案. 【详解】有如下两种情况：（1）0b a >>；（2）0a b >>．（1）如图甲，可求出A ，B 的坐标分别为222222a ab a c abc A B c c a b b a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，，所以2211222AOBBOFAOFabc ab SSSc c ab e b a c =-=⨯-⨯=⇒=-同理可得当0a b >>时，满足条件的离心率e = 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，分类讨论是解题的关键，漏解是容易发生的错误.13．已知命题p ：“方程：222214x y a a-=-表示焦点在x 轴上的双曲线”；命题q ：“关于x 的不等式x 2+2ax +1≥0在R 上恒成立”． （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（﹣2，0）∪（0，2） （2）（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0} 【解析】 【分析】（1）由题意可得关于a 的不等式组，求解得答案；（2）求出命题q 为真命题的a 的取值范围，由“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，可得p 真q 假，或p 假q 真．然后利用交、并、补集的混合运算求解． 【详解】解：（1）方程：222214x y a a -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， ∴240a a ≠⎧⎨->⎩，解得20a -<<或02a <<． ∴实数a 的取值范围为()()2,00,2-；（2）当命题q 为真时，2440a ∆=-…，解得11a -剟． “p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，p ∴真q 假，或p 假q 真．若p 真q 假，则200211a a a a -<<<<⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得21a -<<-或12a <<；若p 假q 真，则22011a a a a -=⎧⎨-⎩或或剠剟，解得0a =．∴实数a 的取值范围为()(){}2,11,20--．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查计算能力，是中档题．14．如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点.(1)求双曲线Γ的方程；(2)求点M 的纵坐标M y 的取值范围；(3)是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l的方程；若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214y x -=；（2）()0,1；（3）存在直线12x =满足题意，详见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到1,2a c b ===，即可求得双曲线Γ的方程；（2）由24444M k y k k k==++在(0,2)上单调递增，即可求得点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）求出0OM BP k k +=，可得直线BP 与OM 关于直线12x =对称，即可求解． 【详解】（1）由题意，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为(1,0),(1,0)A B -，双曲线Γ以A 、B为顶点，焦距为1,a c ==2b ==，所以双曲线Γ的方程2214y x -=．（2）由题意，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 直线AP 的方程为(1)(02)y k x k =+<<，代入椭圆方程，整理2222(4)240k x k x k +++-=，所以11x =-或22244k x k-=+，所以222222484(,),(,)4444k k k k Q M k k k k --++++， 所以24444M k y k k k==++在(0,2)上单调递增，所以(0,1)M y ∈．（3）由（1）双曲线Γ的方程2214y x -=，可得1111411AP BP y yk k x x ⋅=⋅=+-，同理4AP OM k k ⋅=-, 所以0AP BP AP OM k k k k ⋅+⋅=，即0OM BP k k +=，设直线:OM y k x '=，则直线:(1)BP y k x '=--，解得12x =，所以直线BP 与OM 关于直线12x =对称． 【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程及几何性质的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系及斜率计算等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．15．已知命题22:114x y p m m +=-- 表示双曲线，命题2:,2q x R x m ∃∈+<。

高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题（含答案解析）1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.(1)求动点的轨迹E 的方程；(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设， 所以, 得,所以， 所以直线方程为:,联立，得 由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一：令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以， 所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:， 当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率因为一个焦点为，所以，则由可得：，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立方程组，整理可得：，则有， 由条件可知：直线所在直线方程为：， 因为直线与直线相交于 所以，同理可得：， 则， 若为锐角，则有， 所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++，则，解得：或， 所以或或， 故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.【解析】（1），，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）设，令，则. 当时，； 当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值2，即.，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即，所以直线的方程为，即. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．(1)若的面积为的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，记四边形的面积为，求的最大值．【解析】（1），∴，，解得的标准方程为：. （2），∴，椭圆，令，直线l 的方程为：， 联立方程组： ，消去y 得，由韦达定理得，，()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有 ，因为：，所以， ， 将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时： . 令，所以直线 ， 令得 ， 由韦达定理化简得，，而， O 点到直线l 的距离， 所以：，，因为点P 在椭圆内部，所以 ，得，即令 ，求导得 ，当，单调递增； 当 ，即，单调递减.所以：，即5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【解析】（1）由题意得F ，，所以椭圆C 的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理. 联立，得. ，从而（定值） （2）结合图象，不妨设，，，， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得 代入，有，则， 解得 ，，设，则，设，则，令，解得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，，所求椭圆的方程为；（2）由（1）得.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设， ，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立， 消元得，，，又，， 化简得，解得或（舍去）所求直线的方程为或.7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围；(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.【解析】（1）设的坐标分别为，其中； 由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，设，因为，所以所以，代入椭圆的方程， 所以，解得或.（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，把它代入椭圆的方程，消去整理得： 由韦达定理得则，； 所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是，由解得（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；于是由， 解得综上可得实数的值为8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得 由，得，所以， 设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1），，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为： 联立方程组可解得的坐标为， 在抛物线外，，，2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD .(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为． 将直线的方程代入椭圆方程，整理得，方程的判别式，设， 所以， ∴， 同理可得， ∴四边形ADBC 的面积 ， ∵，当且仅当时取等号，∴四边形ADBC 的面积，综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量 并整理得,由已知，由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．【解析】由题可知，设，，，由，得， 满足，可得，()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足，可得，由，可得， 所以，∴，， 又，∴， 同理可得， ∴， 所以，又，所以.13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆． (1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆，可得．又，，解得：，，， ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故又圆心到直线的距离，令，则，可得，可得：14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围． 【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得， 动点到焦点的距离的最大值为，可得所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线的坐标为.设，连接OA ，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线若，则，故， 故直线的方程为：， 整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：， 满足.故直线的方程为，同理直线的方程为， 又在直线和上，即，故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立，消去得，设，． 则， 从而， 又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，由椭圆的定义得， 所以，由题意可得，即，即椭圆的方程为；（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，舍去；②当直线不垂直轴时，设直线联立，消得，，则，，恒成立.， 又， N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得，，即，解得或（舍去），所以，直线方程的方程为或. （3）是定值，定值为2.设点，，，连接，，，，则有，. ，不在坐标轴上，则，， 则，， 直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，将点代入①②，得，显然，满足方程，直线的方程为，分别令，，得到，，，，又满足，，即.16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值． 【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，， 易得在点处切线为，在点处切线为， 由得，又，，可得，故点的轨迹方程．（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．由韦达定理，得，，所以，因为，直线MN 可设为，同理得， 所以．2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。

高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．132 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C.33[33-D. 33(,33-3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l与C 无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.(2)若Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。

（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。