《微分方程解法》PPT课件

2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
第14页/共21页
四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
第7页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
第9页/共21页
定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
第10页/共21页
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
第15页/共21页
故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
第8页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。

2021/3/10
11
谢谢观看
2021/3/10
12
常微分方程常见形式及解法
2021/3/10
知行1301 13275001
毕文彬
1
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在 初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一 自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个 实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函 数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成 的系统。微分方程的表达通式是：
非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
3
2021/3/10
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如 ： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
2021/3/10
5
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
2021/3/10
6
02 二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况 ，然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):

例 函数 y 3e2x是微分方程 y - 4 y 0
的什么解?
解: y 6e2x , y 12e2x ,
y - 4 y 12e2x - 4 3e2x 0,
y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解。
第11页/共45页
三、可分离变量的微分方程
1.定义 具有如下形式的一阶微分方程:
含有未知函数的导数的方程，如何求解呢？
第4页/共45页
相关知识 一、微分方程的定义
— 积分问题
推广
— 微分方程问题 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些 导数(或微分)之间的关系式。
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分 方程的阶。
第5页/共45页
第3页/共45页
课题分析
根据导数的本质，“课题”中所谓的人口增 长率就是人口总数对于时间的变化率R(t ) 或 dR(t)
dt
由“课题”中所给的条件“人口的增长率与 当时的人口总数成正比”可得方程
dR(t) 0.014R(t) dt
且该方程还满足条件 R(t) |t1990 R(1990 ) 11.6
第42页/共45页
例 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建
立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为
初始
求物体的运动规律
解 位移满足自由振动方程 ,
第43页/共45页
(1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) 方程:
特征方程: 方程通解: 利用初始条件得: 故所求特解:
R
L
K
第23页/共45页
课题分析

应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。