21.2 解一元二次方程考点一．直接降次解一元二次方程（1）依据平方根的意义，将形如 2x p = 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤：①将方程转化为2x p =（或()2mx n p +=）的形式； ②分三种情况降次求解：（ⅰ）当0p >时， 1x p =-2x p = ；（ⅱ）当0p =时， 120x x == ；（ⅲ）当0p <时，方程 无实数根 ．考点二．用配方法解一元二次方程（1）定义：通过配成 完全平方 形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边．二除：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为1．三配：方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，将方程左边配成完全平方的形式．四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程：①配方后，化为2()x m n +=型的方程，当0n ≥时，可用直接开方法求解． ②若0n =时，方程有两相等的根，即12x x m ==-，而不是一个根x m =-．③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况．考点三．用公式法解一元二次方程（1）一元二次方程根的判别式：一般地，式子 24b ac - 叫做方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，通常用希腊字母∆表示，即24b ac ∆=-．①当∆>0时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，即x =．②当∆=0时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根，即122bx x a==-． ③当∆<0时，方程()200ax bx c a ++=≠没有实数根． （2）求根公式：当0∆≥时，方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为 x = 的形式，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤：①把方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③计算24b ac -的值；④当240b ac -≥时，把a 、b 、c 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当240b ac -<时，方程 没有实数根 ．考点四．用因式分解法解一元二次方程（1）当方程缺少一次项时，可考虑用 平方差公式 分解因式．（2）当方程缺少常数项时，可考虑用 提公因式法 分解因式，且方程一定有一根为0． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作 整体 ，直接因式分解．考点五．一元二次方程的根与系数的关系如果方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根1x ，2x ，那么12x x += b a - ，12x x ⋅= ca．技巧归纳．选择合适的方法解一元二次方程配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法所有一元二次方程因式分解法若0ab =，则0a =或0b =一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程（1）在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法．（2）如果二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．（3）．涉及两根的代数式的重要变形：（1）()2221212122x x x x x x +=+-； （2）()()221212124x x x x x x -=+-； （3）12121211x x x x x x ++=； （4）()212121221122x x x x x x x x x x +-+=题型一：用配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程27120x x -+=，配方后的方程为（ ）A ．27124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．27124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()2737x -=D ．()2737x +=2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ） A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程： (1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=； (5)2212100x x ++=； (6)()22040x px q p q ++=-≥．题型二：由判别式判断根的情况4．关于x 的一元二次方程2420x x -+=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定5．关于x 的一元二次方程x 2＋kx ﹣2＝0（k 为实数）根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．不能确定6．关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围（ ） A ．k ≥﹣1B ．k ≥﹣1且k ≠0C ．k ＞﹣1且k ≠0D ．k ≤﹣1题型三：估计根的情况判断参数范围7．若方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．28．已知关于x 的一元二次方程()21220k x x -+-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．12k ≥C ．12k >且1k ≠ D ．12k ≥且1k ≠ 9．关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．18k <-B ．18k ≤-C ．18k >-D ．18k ≥-题型四：用公式法解一元二次方程10．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为12x x ==，下列判断一定正确的是（ ） A ．a ＝﹣1B ．c ＝1C ．ac ＝1D ．1ca=-11．若x =是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）A ．23210x x +-=B ．22410x x +-=C ．2230x x -++=D ．23210x x --=12．已知关于x 的一元二次方程()22140mx m x m +-+-=．(1)当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当2m =时，用合适的方法求此时该方程的解．题型五：用因式分解法解一元二次方程13．已知1和2是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根，则关于x 的方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的根为（ ） A ．0和1B ．1和2C ．2和3D ．0和314．若关于x 的方程ax 2+bx +c =0的解是x 1=3，x 2=−5，则关于y 的方程a (y +1)2+b (y +1)+c =0的解是（ ） A ．14y =，24y =- B ．12y =，26y =- C ．14y =，26y =-D ．12y =，24y =-15．用因式分解法解一元二次方程 (1)()()41570x x +-=； (2)2(23)4(23)x x +=+．题型六：一元二次方程的根与系数的关系16．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（ ）A ．7B ．7-C ．6D ．6-17．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m +++=，(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若1x ，2x 是原方程的两根，且12112x x +=-，求m 的值． 18．关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k ---+=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为1x 、2x ，且22121219x x x x ++=，求k 的值．一、单选题19．一元二次方程2480x x +-=的解是（ ）A ．1222x x =+=-B ．1222x x =+=-C ．1222x x =-+=--D ．1222x x =-+=--20．在用配方法解方程2340x x +-=时，可以将方程转化为2325()24x +=其中所依据的一个数学公式是（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．2222()aab b a b ++=+C ．2222()a ab b a b -+=-D ．x =21．一元二次方程2610x ++=的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根22．下列解方程变形正确的是（ ） A ．若23x x =，则3x =B ．若22(31)(56)x x -=+，则3156x x -=+C ．若2410x x ++=，则2(2)3x +=D ．若()()262x x x x +=+，则2x =或23x +=23．已知一元二次方程 220x ax b --= 的两个根分别为 1x 和 2x ，且 22121216x x x x +=-，则 的值为（ ）A ．B ．3C ．D ．424．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22022a b -+的值是（ ） A ．2026B ．2024C ．2022D ．202025．用配方法解方程2230x x --=，配方正确的是（ ） A ．()212x -=B ．()214x -=C ．()212x +=D ．()214x +=26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k2+k ﹣1=0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x2满足x 12+x22=11，求k 的值． 27．按要求解方程．（1）2(32)24x +=（直接开方法） （2）2314x x -=（公式法）（3）()()221321x x +=+（因式分解） （4）223990x x --=（配方法）一：选择题28．设关于x 的方程()2290ax a x a +++=，有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．211a <-B ．2275a <<C ．25a >D ．2011a -<< 29．以下关于一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的说法中，不正确的是（ ） A ．若c ＝0，则方程20ax bx c ++=一定有一根为0； B ．若0b =，则方程20ax bx c ++=一定有两个实数根； C ．若0a b c -+=，则方程20ax bx c ++=必有一根为－1； D ．若0ac <，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根．30．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程27120x x -+=的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A ．12B ．13C ．12或13D ．1531．若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．332．关于x 的一元二次方程2(1)210k x x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≥B ．0k ≤C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤且1k ≠-33．若α、β为方程2x 2-5x -1=0的两个实数根，则2235++ααββ的值为（ ） A ．-13B ．12C ．14D ．1534．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞12B ．k≥12C ．k ＞12且k ≠1D ．k ≥12且k ≠1二、填空题35．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 36．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .37．关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k =0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是_____． 38．如果（2a ＋2b ＋1）（2a ＋2b －1）＝63，那么a ＋b 的值为________．39．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m =3，n 2﹣n =3，那么代数式2n 2﹣mn +2m +2015=_____________． 40．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程220x x --=是“倍根方程”；②若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”，则22450m mn n ++=； ③若,p q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”； ④若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”，则必有229b ac =．41．已知实数a ，b 满足条件2720a a -+=，()2720b b a b -+=≠，则b a a b+=________．42．关于x 的方程mx 2+x ﹣m +1=0，有以下三个结论：①当m =0时，方程只有一个实数解；②当m ≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是__（填序号）．三、解答题43．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=. （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．44．用指定的方法解下列方程： （1）2(21)9x +=；（直接开平方法） （2）23520x x --=；（配方法） （3）22450x x --=；（公式法）（4）2(3)4(3)0x x x ---=．（因式分解法）45．选择适当方法解下列方程 （1）（3x ﹣1）2＝（x ﹣1）2 （2）3x （x ﹣1）＝2﹣2x46．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．47．已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且221212x x +=，求m 的值．48．用因式分解法解下列方程： (1)212350x x -+= ； (2) 23(23)2(23)0x x ---=； (3) 229(2)16(25)x x +=-； (4) 2(3)5(3)60x x +-++=．49．用适当的方法解下列方程： （1）2420x x --=； （2）(1)(2)10x x -+=；（3）211(1)(1)32x x -=-．50．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）已知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值. （3）若已知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.1．A 【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案． 【详解】∵27120x x -+=， ∴2712x x -=-，则2494971244x x -+=-+， 即27124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选：A ．2．B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵23610x x +-=， ∴2361x x +=，2123x x +=，则212113x x ++=+，即()2413x +=，∴1a =，43b =，∴73a b +=． 故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 3．(1)12312x x ==-,(2)121,9x x ==-(3)12651,651x x =-=-(4)12225,225x x =+=-(5)121,5x x =-=-(6)24p p q x -±-=【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2−5x =2移项得：x2-53x =23，配方得：x2-53x +2536=23+2536，合并得：（x -56）2=4936，解得：x 1=56+76=2，x 2=56-76=-13；（2）解：x2+8x =9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x +4）2=25，解得x 1=1，x 2=-9；（3）解：x2+12x −15=0移项得：x 2+12x +36=15+36，配方得：（x +6）2=51解得x 1=-6x 2（4）解：14x2−x −4=0去分母得：24160x x --=，移项得：2416x x -=，配方得：x2-4 x +4=16+4，合并得：（x -2）2=20，解得：x 1=2＋x 2=2－（5）解：2x2+12x +10=0 系数化为1得：2650x x ++=，移项得：265x x +=-，配方得：x2+6x +9=-5+9，合并得：（x +3）2=4，解得：x 1=-1，x 2=--5；（6）解：x2+px +q =0，移项得：2x px q +=-，配方得：x2+px +24p =-q +24p ，合并得：(x +2p )2=244p q -，解得x【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 4．B 【分析】先求出根的判别式∆的值，然后根据∆的值判断即可． 【详解】∵根的判别式224(4)41280b ac ∆=-=--⨯⨯=> ∴该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 5．C 【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求解． 【详解】解：由根的判别式得：Δ=b 2-4ac =k 2+8＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ=b 2-4ac ）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根．上述结论反过来也成立． 6．B 【分析】根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：∵方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根， ∴24b ac ∆=-2(2)4(1)k =--⨯-440k =+≥且0k ≠， 解得k ≥﹣1且k ≠0． 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；∆<0时，方程有没有实数根是解题关键．另外一元二次方程还需二次项系数不为0．【详解】解：方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，∴此方程根的判别式()2340m ∆=-->，解得94m <，观察四个选项可知，只有选项D 符合， 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．8．D 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21220k x x -+-=有实数根，∴()()21024120k k -≠⎧⎨=-⨯-⨯-≥⎩， 解得：12k ≥且1k ≠． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当240b ac -≥时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．9．A 【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程220x x k +-=没有实数根，∴()2Δ1420k =-⨯⨯-<，解得18k <-．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）∆>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）∆=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）∆<0⇔方程没有实数根． 10．D 【分析】根据一元二次方程的求根公式可得答案．【详解】解：根据一元二次方程的求根公式可得：1x 2x =，∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为1x =，2x =∴22a =，44ac =- ∴1a =,1c =-, ∴则1ac =-，1ca=-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．11．D 【分析】根据x =得二次项系数a =3，一次项系数b =-2，常数项c =-1，即可得到方程．【详解】解：根据x a =3，一次项系数b =-2，常数项c =-1，∴这个一元二次方程是23210x x --=， 故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程的求根公式，正确掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 12．(1)112m -＞，且0m ≠ (2)12x =-，212x =【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可知，∆＞0且0m ≠，即可求解； （2）将2m =代入方程，可得22320x x +-=，用公式法即可求解（方法不唯一）．（1）解：由题意得:∆＞0，即：()()221440m m m ---＞，224414160m m m m -+-+＞，解得：112m -＞，∵该方程为一元二次方程，∴0m ≠，∴当112m -＞，且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m ＝2时，方程为22320x x +-=，∵∆＝9＋4×2×2＝25＞0，∴354x -±==，∴22x =-，212x =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程的解法． 13．A 【分析】设1,x y 则2(1)(1)0a x b x c ++++=为：20,ay by c ++= 则1y =或2,y = 从而可得答案． 【详解】解：设1,x y 则2(1)(1)0a x b x c ++++=为：20,ay by c ++=∵1和2是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根，1y =∴或2,y =11x 或12,x解得：120,1,x x ==即2(1)(1)0a x b x c ++++=的根为120,1,x x == 故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握“整体未知数法解方程”是解本题的关键．14．B 【分析】设t =y +1，则原方程可化为at 2+bt +c =0，根据关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=3，x 2=-5，得到t 1=3，t 2=-5，于是得到结论． 【详解】解：设t =y +1， 2∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=3，x 2=-5， ∴t 1=3，t 2=-5， ∴y +1=3或y +1=-5， 解得y 1=2，y 2=-6． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．15．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可； （2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程． 16．B 【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即． 【详解】解：∵一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ， ∴1x +2x =2， ∵11x =-， ∴2x =3，∴1x ·2x =-a =-3， ∴a =3，∴22123917a x x --=--=-．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键． 17．(1)见解析 (2)2m =【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-，证明24b ac ∆=-恒大于0即可得出结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a +=-，12c x x a=，代入即可求出m 的值．（1） 证明：∵22242440b acmm m ∆＞，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题可知，()122m x x =-++，12x x m =，∴()1212122112m x x x x x x m-+++===-， 解得2m =， 经检验m =2有意义．【点睛】此题考查了一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系是本题的关键． 18．(1)见解析； (2)k =7或k =-3．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k +1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，再将它们代入22121219x x x x ++=，即可求出k 的值． （1）∵b 2-4ac =[-（k -3）]2-4×1×（-2k +2）=k 2+2k +1=（k +1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）由根与系数关系得x 1+x 2=k -3，x 1x 2=-2k +2，∵22121219x x x x ++=，∴()2121219x x x x +-=，∴()232219k k ---+=（），即24210k k --=， 解得：k =7或k =-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x 1+x 2=-b a，x 1•x 2=ca．【详解】解：∵2480x x +-=， ∴248x x +=， ∴24412x x ++=， ∴()2212x +=，∴2x +=±，解得1222x x =-+=-- 故选D ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 20．B 【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可．【详解】用配方法解方程2340x x +-=时，可以将方程转化为2325()24x +=，其中所依据的一个数学公式是2222()a ab b a b ++=+．故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据． 21．C 【分析】先求一元二次方程根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：∵(24610∆=-⨯⨯=，∴方程有两个相等的实数根． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 22．C 【分析】利用因式分解法求解、直接开平方法变形和配方法变形求解即可判断． 【详解】解：A 、若23x x =， 移项得230x x -= -=(3)0x x则30x x ==，，故该选项不符合题意； B 、若22(31)(56)x x -=+开平方得31(56)x x -=±+，故该选项不符合题意； C 、若2410x x ++= 则2443x x ++=2(2)3x +=，故该选项符合题意；D 262x x x x +=+移项得()()6220x x x x +-+= 提公因式得()520x x +=则x =0或x =-2，故该选项不符合题意． 故选C ．【点睛】本题考查了提公因式因式分解法、直接开平方法和配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．23．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得12122,x x b x x a =-+=，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程 220x ax b --= 的两个根分别为 1x 和 2x ， ∴12122,x x b x x a =-+=，∵221212x x x x ()1212x x x x =+2ab =-，22121216x x x x +=-， ∴216ab -=-， ∴8ab =，=故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 24．A 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a 2+a =3，a +b =−1，将其代入即可求出结论． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+x −3=0的两个实数根， ∴a 2+a =3，a +b =−1， ∴b =-a -1，22022a b ∴-+()212022a a =---+ 212022a a =+++312022=++=2026 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键．25．B 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：2230x x --=2214x x -+=，()214x -=．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．26．（1）k≤58；（2）k=﹣1．【详解】【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k ﹣1）]2﹣4×1×（k 2+k ﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1+x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k ﹣1）]2﹣4×1×（k 2+k ﹣1）=﹣8k+5≥0， 解得k≤58；（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=2k ﹣1，x 1x 2=k 2+k ﹣1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（2k ﹣1）2﹣2（k 2+k ﹣1）=2k 2﹣6k+3， ∵x 12+x 22=11，∴2k 2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1， ∵k≤58，∴k=4（舍去）， ∴k=﹣1．【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.27．（1）x 1x 2= ；（2）x 1= x 2（3）x 1=﹣12，x 2=1；（4）x 1=21，x 2=﹣19【详解】解：（1）()23224x +=，32x +=±32x =-±x =12x x ∴== （2）2314x x -=，()()24431161228=--⨯⨯-=+=，x ===12x x == （3）()()221321x x +=+，()()212130,x x ++-= ()()21220,x x +-=210x +=或220x -=， 1211.2x x =-=，（4）223990x x --=， 2 21400x x -+=，()21400x -=，120x -=±， 120x =±， 122119.x x ==-，28．D 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围，再由根与系数的关系求出a 的取值范围，找到公共解集即可解答．【详解】解：根据题意得，0a ≠ ()2Δ2490a a a =+-⨯>2244360a a a ∴++-> 235440a a ∴-++> (52)(72)0a a ∴-++>520720a a -+>⎧∴⎨+>⎩，解得2275a -<<或520720a a -+<⎧⎨+<⎩，无解121x x <<1210,10x x (1)(1)0x x ∴--<1212()10x x x x121229,9a a a x a x x x 29()10a a 21010a 211a211a 综上，2011a -<< 故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 29．B 【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、若c ＝0，则方程为20ax bx +=，即()0x ax b +=，∴方程20ax bx c ++=一定有一根为0，正确，不符合题意；B 、若0b =，则方程为20ax c +=，∵244b ac ac ∆=-=-，∴只有当ac ≤0时，即0∆≥，方程20ax bx c ++=有两个实数根，故原说法错误，符合题意；C 、将x ＝－1代入方程20(a 0)++=≠ax bx c 可得：0a b c -+=，∴若0a b c -+=，则方程20ax bx c ++=必有一根为－1，正确，不符合题意；D 、∵ac ＜0，∴Δ＝b 2−4ac ＞0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根．30．B 【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，最后计算周长即可。
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
