【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 同角、和差倍三角函数的应用(真题为例)

1
同角、和差倍三角函数的应用
典型例题：
例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知为第二象限角，3sincos=3，则cos2=【 】
A．53 B．59 C．59 D．53
【答案】A。
【考点】两角和差的公式以及二倍角公式的运用。
【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为
单角的正弦值和余弦值的问题：
∵3sincos=3，∴两边平方，得11sin2=3，即2sin2=3。
∵为第二象限角，∴因此sin0 cos0><，。

∴

2
215
cossin=cossin=1sin2=1=33
。

∴223155cos2=cossin=cossincossin==333。故选A。
例2. （2012年全国大纲卷文5分）已知为第二象限角，sin=35，则sin2=【 】
A.2425 B.1225 C.1225 D.2425
【答案】A。
【考点】同角三角函数和倍角三角函数的应用。
【解析】∵为第二象限角，∴cos0<。又∵sin=35，

∴294cos=1sin=1=255。
∴3424sin2=2sincos=2=5525。故选A。
例3. （2012年山东省理5分）若,42 ，37sin2=8，则sin=【 】
A 35 B 54 C 74 D 34
【答案】D。
2

【考点】倍角三角函数公式的应用。
【解析】由42，可得],2[2，

∵37sin2=8，∴812sin12cos2。
∴4322cos1sin，故选D。
例4. （2012年江西省理5分）若1tan4tan，则sin2【 】
A.15 B.14 C.13 D.12
【答案】D。
【考点】三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想。

【解析】∵221sincossincos1tan41tancossinsincossin22，∴1sin22。故选D。

例5. （2012年江西省文5分）若sincos1sincos2，则tan2=【 】
A. －34 B. 34 C. －43 D. 43
【答案】B。
【考点】二倍角的正切，同角三角函数间的基本关系。
【解析】将等式左边分子分母同时除以cos得tan11tan12，解得tan3。

∴22232tan3tan21tan413。故选B。
例6. （2012年辽宁省理5分）已知sincos2，(0，π)，则tan=【 】
(A) 1 (B) 22 (C) 22 (D) 1
【答案】A。
【考点】三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质。
【解析】∵sincos2，∴2(sincos)2。∴sin21。
又∵(0)，，∴2(0,2)。∴322，即34。
3

∴tan1。故选A。
另析：sincos22sin()2sin()144，
3
(0)tan14，
。

例7. （2012年辽宁省文5分）已知sincos2，(0，π)，则sin2=【 】
(A) 1 (B) 22 (C) 22 (D) 1
【答案】A。
【考点】三角函数中的倍角公式。
【解析】∵sincos2，∴2(sincos)2。∴sin21。故选A。

例8. （2012年重庆市文5分）sin47sin17cos30cos17=【 】

（A）32（B）12（C）12 （D）32
【答案】C。
【考点】两角和的正弦函数，特殊角的三角函数值。
【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，
合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值：
sin47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17


sin30cos17cos30sin17sin17cos30sin30cos171sin30cos17cos172

。

故选C。
例9. （2012年江苏省5分）设为锐角，若4cos65，则)122sin(a的值为 ▲ ．
【答案】17250。
【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。
【解析】∵为锐角，即02<<，∴2=66263<<。

∵4cos65，∴3sin65。
4

∴3424sin22sincos=2=3665525。
∴7cos2325。
∴sin(2)=sin(2)=sin2coscos2sin12343434aaaa[
2427217
==225225250
。

例10. （2012年广东省文12分）已知函数()cos(),46xfxAxR,且()23f．
（1）求A的值；
（2）设],2,0[,1730)344(f，58)324(f，求)cos(的值．

【答案】解：（1）2coscos2312642fAAA，解得2A。
（2）43042cos2cos2sin336217f，即
15
sin17

28
42cos2cos3665f




，即4cos5

∵0,2，∴28cos1sin17，23sin1cos5。
∵8415313cos()coscossinsin17517585。
【考点】特殊角三角函数值，诱导公式，同角三角函数关系式，两角和的余弦公式。
【解析】（1）将()23f代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得A的值。
（2）先将1730)344(f，58)324(f代入函数解析式，利用诱导公式即可得
sin

、cos的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得cos、sin的值，最后利用两

角和的余弦公式计算所求值即可。
例11. （2012年福建省理13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一
个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
5

(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
（I）请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【答案】解：（I）选择(2)式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34。

（II）三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34。证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋
sin30°sinα)

＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α
＝34sin2α＋34cos2α＝34。
【考点】同角函数关系式、倍角公式和差的余弦公式的应用。
【解析】（I）选择(2)式，应用同角函数关系式和倍角公式即可得出结果。
（II）三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34。应用差的余弦公
式和同角函数关系式即可证明。