第1讲 集合与逻辑联结词
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第1讲 集合与逻辑联结词——“集合”重“算”，“逻辑”重“词” 自然语言、符号语言、图形语言是数学的三种语言，之间可以相互转化，掌握好数学语言，是学好数学的基础．集合集三种语言于一身，是描述数学对象的重要工具．明白集合的意义，特别是用描述法表示的集合，清楚代表元素是什么，集合的元素究竟是什么，将符号语言转译为自然语言，是解决集合问题的先决条件． 1．对集合的复习要做到：把握元素的三性、明确两种关系、熟练三种运算． (1)把握集合元素的确定性、互异性、无序性，洞察集合的隐含条件．集合的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素，要么不是，两种关系有且只有一种成立．集合的元素互不相同，如集合{a，2a－1}，一定有a≠2a－1，不能认为当a≠2a－1时，该集合才有两个元素．集合的元素是无序的，在考察元素与集合、集合与集合的关系时，注意不同的对应． 【温故知新1】 设集合A＝{1，2，3}，B＝{a＋2，a2}，问是否存在实数a，使A∩B＝{1}？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由． 说明：A∩B＝{1}⇒1∈B，但A∩B＝{1}与1∈B不是等价关系，除检验元素互异性外，还要检验计算结果． (2)明确元素与集合、集合与集合的关系，搞清“∈”与“⊆”的区别．判断元素是否属于集合，就看该元素能否化成集合中代表元素的形式．A⊆B有两层含义：AB(A是B的真子集)，A＝B，两种关系有且只有一种成立．不等式2解，但{x|2集合的真子集． (3)熟练运用数轴、Venn图进行集合的运算．破解集合运算需掌握两招：①明确元素的性质，确定集合的元素，化简集合．②以形助数，与不等式有关的无限集的运算常利用数轴，注意端点值的取舍，有限集的运算常用Venn图(或直接运算)．掌握集合的交、并、补运算的性质及∅的运算性质． 2．明确命题的条件与结论，结合具体问题理解充分条件、必要条件的含义． (1)明确命题的条件与结论，是抓住命题的四种形式与相互关系的关键，清楚一个命题与它的逆否命题等价． (2)理解充分条件、必要条件的含义，是判断、求解充分条件、必要条件的根本．充分条件好理解，可以结合实例具体理解必要条件，如：x>1⇒x>0，显然x>1是x>0的充分条件，为什么说x>0是x>1的必要条件呢？如果x≤0，那么不会有x>1，故x>0就是必要的．判断语句p是语句q的什么条件，实质上是判断命题“若p，则q”与“若q，则p”的真假．
【温故知新2】 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________． 3．含有简单逻辑联结词的命题要两准：判准命题的构成形式，判准构成它的简单命题的真假． 清楚逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，掌握含有简单逻辑联结词的命题的真值表，会对含有一个量词的命题进行否定，清楚命题的否命题与命题的否定的区别，否命题是对原命题条件、结论的分别否定，命题的否定是对结论的全盘否定． 4．体会逻辑联结词、量词的作用，体会转化思想． 逻辑联结词、量词在数学中比比皆是，好多数学概念都含有逻辑联结词、量词，如集合的交、并、补运算，子集、真子集，函数的概念，函数的奇偶性、单调性、最值等．这部分内容还蕴含着处理问题的思想方法．如求补集的运算，一个集合和它的补集是对立的，又是统一的，知此可求彼．它启示我们：在一定范围内直接求解一个问题较困难时，可转而求解它的对立面，从而解决原问题．又如，一个命题与它的逆否命题等价，命题可转化为它的逆否命题．再如，一个命题与它的否定必有一真一假，这是反证法的理论基础．
例1 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 解后反思 1．集合间的关系最终要转化为元素与集合的关系，由元素与集合的关系才能确定集合间的关系，元素与集合的关系与集合间的关系有着内在的联系； 2．求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素与集合的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论． 说明：在解题时，容易利用数轴将B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}表示为如下图所示的情形，犯了两个错误：一是默认了集合B是非空数集但忽略了前提：m＋1＜2m－1；二是忽略了B是空集的情形，在数轴上只能表示非空数集．
例2 命题p：将函数y＝sin 2x的图象向右平移π3个单位得到函数y＝sin2x－π3的图象；命题q：函数y＝sinx＋π6cosπ3－x的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”为真命题的个数是________． 解后反思 1．通过逻辑联结词可以写出更复杂的命题，要清楚“或”、“且”、“非”的含义．逻辑联结词“且”表示同时满足，逻辑联结词“或”可以“兼有”，与生活中的“或”含义不同．“非”是否定命题的结论； 2．判断命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”的真假，一要了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，二要判断命题p、q的真假，三要掌握真值表． 例3 已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解后反思 1．将问题等价转化是解决问题的基本策略．根据必要不充分条件的含义，转化为集合间的关系，继而转化为元素与集合的关系，得到参数所满足的关系；
2．根据QP寻求参数的不等式时，可以分类讨论：a－4<1a＋4≥3或a－4≤1，a＋4>3.也可以先利用Q⊆P建立参数的不等式组，再剔除Q＝P的情形． 总结感悟 1．元素与集合的关系与集合间的关系有着内在的联系，集合间的包含关系最终要转化为元素与集合的关系，由元素与集合的关系才能确定集合间的关系． 2．对于集合的运算、集合的关系，认识要全面、完整，不要忽略空集．一般来说，含参数的问题要联想到空集．如A∩B＝∅，不要忽略A或B是∅的情形； 3．往往利用数轴、Venn图进行集合的运算，是数形结合的体现； 4．转化是解决问题的基本策略．含有简单逻辑联结词的命题转化为构成它的简单命题，根据命题的等价关系将p⇒q转化为綈q⇒綈p，根据充分、必要条件转化等． 【误区警示】 1．在考察子集关系、集合运算时不要忽略∅.如A⊆B、A∩B＝∅等中，不要忽略A＝∅的情形； 2．不要认为用不等式表示的数集都是非空集合．如A＝{x|a－1时集合A是非空数集，当a≥2a－1时集合A是空集．
A级 1．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q ＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q＝__________． 2．(2016·全国Ⅰ改编)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________． 3．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为____________________． 4．(2016·山东改编)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“必要”) 5．命题“若a________________． 6．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是______________________． B级 7．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________． 8．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为__________． 9．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
10．p：1x－3<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________． 11．下列四个命题： ①∀x∈R，x2＋x＋1≥0；
②∀x∈Q，12x2＋x－13是有理数； ③∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x，y∈Z，使3x－2y＝10. 所有真命题的序号是________． 12．已知集合A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}，求A∪B.
说明：学生易混淆“方程的解集”与“方程的解”这两个概念，将集合A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}误化简为{1，a} 数学 答案精析 第1讲 集合与逻辑联结词 ——“集合”重“算”， “逻辑”重“词” 复习指导 【温故知新1】 解 本小题主要考查集合元素的性质和集合的运算． 由A∩B＝{1}得1∈B，所以有a＋2＝1，或a2＝1，得a＝1或－1.经检验，a＝1时，A∩B＝{1，3}不符合题意；a＝－1时，a2＝a＋2，不符合题意．故不存在实数a，使A∩B＝{1}．
【温故知新2】 若tan α≠1，则α≠π4 解析 根据原命题与其逆否命题的关系求解． 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4. 题型分析 例1 解 当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2；
当B≠∅时，有m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋1<2m－1， 解得2＜m≤4. 综上：m≤4. 例2 2
解析 函数y＝sin 2x的图象向右平移π3个单位后，
所得函数为y＝sin2x－π3 ＝sin2x－2π3， ∴命题p是假命题． 又y＝sinx＋π6cosπ3－x ＝sinx＋π6cosπ2－x＋π6 ＝sin2x＋π6
