辅助角公式专题训练

辅助角公式(也称收缩公式，化一公式)专项五星级训练题100道3．(***)将函数f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g (x )的图像关于x ＝π6对称，则φ的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π64．(***)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 满足f ⎝⎛⎭⎫π 5＝f ⎝⎛⎭⎫2π15，则实数a 的值为( )A ． 3B ．33C ．－ 3D ．－335．(***)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a 2－3sin x ＋⎝⎛⎭⎫3a 2＋1cos x ．将f (x )的图象向右平移π 3个长度单位得到函数g (x ) 的图象，若对任意x ∈R ，都有g (x )≤⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫π4成立，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．26．(****)设函数f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0＜φ＜π )的图象的一条对称轴是x ＝1，则sin(2φ)＝( )A ．－45B ．－35C ．45D ．357．(****)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)，若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则实数ω的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤13，32B ．⎣⎡⎦⎤13，23C ．⎝⎛⎦⎤0，13D ．⎝⎛⎦⎤0，238．(*****)若α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π3，则cos(α＋β)＋2cos(α－β)的最小值为( )A ．－32B ．32C ．12D ．－1212.若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值是( )A .13B . 23C . 43 D .3213. (****)函数f (x )＝2cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )－1在区间⎝⎛⎭⎫π3，2π3上是单调函数，则正数ω的取值范围( )A ．0＜ω≤12B ．0＜ω≤2C ．0＜ω≤14或12≤ω≤1D ．14＜ω≤214. (****)已知函数f (x )＝sin πωx －3cos πωx (ω＞0)在(0，1)内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤103，236B ．⎣⎡⎭⎫103，133C ．⎝⎛⎦⎤176，133D ．⎝⎛⎦⎤176，23615．(****)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2二、填空题：16．(*)把3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6化为A sin(α＋β)(A ＞0)的形式 ＝________________ .17．(****)函数y ＝3cos x ＋4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π 6，π3的值域为_____________．18．(***)已知α为锐角，cos α＝cos10°cos10°＋3sin10°，则α＝_________．19．(***)已知方程2sin x ＋cos x ＝c 在(0，π )上有两个根α和β，则sin(α＋β)＝__________． 20．(***)①设x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________． 21．(***)已知sin10°＋m cos10°＝2cos140°，则m ＝__________．22．(***)函数f (x )＝3sin x ＋4cos x ，若直线x ＝θ是曲线y ＝f (x )的一条对称轴，则cos2θ＋sin θcos θ＝________．23．(***)如果函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a ＝____________．24．(**)设φ＞0，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)为偶函数，则φ的最小值为_______． 25．(****)已知函数f (x )＝a sin x ＋3cos x 的图象关于直线x ＝7π 6对称，则函数g (x )＝f (x )－75在⎣⎡⎦⎤－π 2，7π 2上的所有零点之和为_________．27. (****)函数y ＝x ＋1＋4－2x 的最大值为__________.28. (****)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值为_______.29. (***)已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________.30．(***) (2009年安徽高考理科试卷第14题)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ,则x ＋y 的最大值是＝________．三、解答题：32．(*)试将以下各式化为A sin(α＋β)(A ＞0)的形式.(1)32sin α－12cos α (2) sin α＋cos α (3)2sin α＋6cos α (4)3sin α－4cos α33．(**)试将以下各式化为A sin(α＋β)(A ＞0，β∈[－π，π])的形式.(1) sin α－cos α (2) cos α－sin α (3) －3sin α－cos α (4) 6(sin θ ＋cos θ )＋2(sin θ －cos θ )34．(***)若sin(x ＋50°)＋cos(x ＋20°)＝3，且0≤x ＜360°，求角x 的值.35．(***)若3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝23，且 －π2＜x ＜0，求sin x －cos x 的值.36. (**)关于x 的方程2sin x ＋5cos x ＝1k 有解，求实数k 的取值范围.37. (**)已知sin x －3cos x ＝4m －64－m，求实数m 的取值范围.38． (****)y ＝2sin x ＋3cos x 是由y ＝sin x ＋a cos x (a ＞0)右移φ(φ＞0)个单位得到的，求sin φ．39．(***)已知正实数a ，b 满足a sin π 5＋b cosπ 5a cos π 5－b sinπ 5＝tan 8π 15，求ba 的值．40． (***)1cos290°＋13sin250°41. (***)3tan12°－3sin12°·(4cos 212°－2)42. (***)cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°43．(***)利用辅助角公式化简：sin80°cos50°•()1＋3tan10°47．(****)cos40°＋sin50°(1＋3tan10°)sin70°1＋cos40°．48．(****) [2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°．49．(****)求2sin130°＋sin100°(1＋3tan10°)1＋cos10°的值.50．(***)求f(x)＝2－cos x2＋sin x的值域．51．(****)解方程：1＋x2x＋1＋x2＝22.52．(***)当0＜x＜π2时，函数f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x的最小值是多少？53．(***)求y ＝cos2xcos x ＋sin x ＋sin2x 的值域．54．(***)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋3cos x 的最小值是多少？55．(***)求函数y ＝3sin(x ＋10°)＋5sin(x ＋70°)的最大值．56．(***)已知函数f (x )＝34sin x －14cos x ．(1)若cos x ＝－513，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，求f (x )的值；(2)将函数f (x )的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0＜m ＜π，求m 的值.57. (***)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图像过点⎝⎛⎭⎫π6，12．(1)求的φ值；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最值.58．(***)已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－32.(1)求函数f (x )的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合；(2)求函数f (x )图像的对称轴方程.59．(***)已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f ⎝⎛⎭⎫π4＝12．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？60．(***)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋2cos 2x2，x ∈R ．(1)求f (x )的值域；(2)求函数f (x )图像的对称中心坐标.61．(***)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域.62．(***)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin2x －14.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．63．(****)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1，若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，函数y ＝g (x )的最大值．64．(***)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2．(I)求f (x )的最大值和最小值； (II)若不等式|f (x )－m |＜2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．65．66．(***)求函数y ＝x ＋4＋5－x 2 的最大值和最小值.67．(***)已知x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0，求x －2y 的取值范围.68．(***)已知函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[－1，1]，且2a 2＋6b 2＝3，求证：|f (x )|≤2.69．(****)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0 ，求证：23≤x 2＋y 2＋3≤213.70．(****)解方程22x 2＋x －1－x 2－2＝0.71．(***)由沿河城市A 运货到城市B ，B 离河岸最近点C 为30km ，C 和A 的距离为40km ,如果每公里运费水路比公路便宜一半，如图，计划沿BD 修一条公路，则A 、D 之间距离为多少时，运费最低？72. (****)如图1，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0，x ∈[0，4])的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为拆线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A 、ω的值和M 、P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使拆线段MNP 最长？73．(****)如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为π4，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP＝θ，(1) 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；(2)求矩形PQRS 的面积y 的最大值．74．(****)如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．75．(****)如图，现在要在一块半径为1 m ，圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S . (1)求S 关于θ的函数关系式；(2)求S 的最大值及相应θ的值．76．(****)半圆O 的半径为1，A 为直径延长线上一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，在△ABC 中AB ＝AC ，设∠AOB ＝θ，求线段OC 长度的最大值，并指出此时θ的值.77．(***)当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 取得最大值，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4的值．78．(***)已知tan19x °＝cos99°＋sin99°cos99°－sin99°，求x °.79．(***)已知函数f (x )＝22sin x 2cos x 2＋22cos 2x2－2，若方程f (ωx )＝3(ω＞0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求实数ω的取值范围．80．(****)已知在△ABC 中，a 2－ab ＋b 2＋2c 2＝8，求△ABC 面积的最大值．81．(*****)已知△ABC 中，锐角A 、B 满足sin 2A ＋sin 2B ＝sin 3(A ＋B )，求证：A ＋B ＝π2．82.(*****)已知a ，b ，A ，B ∈R ，若对于一切实数x ，都有f (x )＝1－a cos x －b sin x －A cos2x －B sin2x ≥0.求证：a 2＋b 2≤2，A 2＋B 2≤1.83. (****)(1995年全国高考试题)若a ，b ∈R ，A ＝{}(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z ，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋15，m ∈Z }，C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤144}是平面xoy 内的点集.讨论是否存在a ，b ，使得：(1)A ∩B ≠ø，(2)(a ，b )∈C 能同时成立？84. (****)求证：已知△ABC 三边长为a ，b ，c ，面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S (威森伯克不等式)． 89. (****)已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252．92．(****)已知a 、b 是不同时为0的实数，且a sin x ＋b cos x ＝0，A sin2x ＋B cos2x ＝C ，求证：2abA ＋(b 2－a 2)B ＋(a 2＋b 2)C ＝0．93. (***)(2020·全国2卷文17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋A ＋cos A＝54. (1)若a ＝3，求△ABC 周长的取值范围； (2).若a ＝3，求2b ＋c 的最大值. (3) 若a ＝3，求bc 的取值范围.94．(****)求f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．95. (***)若关于x 的方程3＋2sin x ＋cos x1＋2sin x ＋3cos x＝k 恒有实数解，求实数k 的取值范围．96. (***)设θ为锐角，求y ＝(1＋3)sin2θ＋(1－3)cos2θ的最大值及此时θ的值.97. (**)求函数y ＝2sin x －33cos x －4的最大值与最小值.98. (***)若α、β为方程a cos x ＋b sin x ＝c (a 2＋b 2≠0)在区间(0，π)上的两个相异根，求证：sin(α＋β)＝2ab a 2＋b2.99. (***)求函数y ＝sin3x sin 3x ＋cos3x cos 3xcos 22x＋sin2x 的最小值.100. (****)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：x＋y＋z≤3.∴a ＜a 2＜a 2＋b 22＜b 2＜b选A3．解析：f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π6＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋12＝cos2x ＋12∴ g (x )＝cos(2x －2φ)＋12∵此函数的图像关于x ＝π6对称∴ 2×π6－2φ＝kπ (k ∈Z )∴ φ＝π6－12k π (k ∈Z )且φ＞0∴ 当k ＝0时，φ＝π6最小选A4．解析：依题意，函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的对称轴为x ＝π6∴函数f (x )在x ＝π6时取得最值又f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，其最值为±1＋a 2 ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋a cos ⎝⎛⎭⎫π6＝±1＋a 2即 12＋32a ＝±1＋a 2 解得a ＝ 3 选A5．解析：函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a 2－3sin x ＋⎝⎛⎭⎫3a 2＋1cos x ＝12a sin x ＋32a cos x ＋(cos x －3sin x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 2＋4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ式中的辅助角φ满足sin φ＝2a 2＋4，cos φ＝aa 2＋4依题意，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝a sin x ＋2cos x ＝a 2＋4·sin(x ＋φ)且π4为g (x )的最值点∴ a sin π4＋2cos π4＝±a 2＋4a •22＋2×22＝±a 2＋4 解得a ＝2 选D6．解析：f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)＝5sin(πx ＋φ＋θ )，其中sin θ＝－25，cos θ＝15已知f (x )的图象的一条对称轴是x ＝1⇒π＋φ＋θ＝k π＋π2⇒φ＝k π－π2－θsin(2φ)＝sin(2k π－π－2θ )＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×⎝⎛⎭⎫－25×15＝－45选A7．解析：函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)＝32sin2ω＋12(1＋cos2ωx ) ＝32sin2ω＋12cos2ωx ＋12＝sin ＋12由函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减且2ωx ＋π6∈⎝⎛⎭⎫ωπ＋π6，2ωπ＋π6得⎩⎨⎧ωx ＋π6≥π2＋2kπ2ωπ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )⇒13＋2k ≤ω≤23＋k (k ∈Z ) 又因为12×2π2ω≥π－π2(ω＞0)⇒所以k ＝0所以实数ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，23选B8．解析：cos(α＋β)＋2cos(α－β)＝3cos αcos β＋sin αsin β ＝9cos 2α＋sin 2αsin(β＋φ) ＝8cos 2α＋1sin(β＋φ)其中辅助角φ满足sin φ＝3cos α1＋8cos 2α，cos φ＝sin α1＋8cos 2α∵ α∈⎣⎡⎦⎤0，π3⇒tan α∈[0，3]∴tan φ＝3cos αsin α＝3tan α∈[)3，＋∞ ∴φ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2又β∈⎣⎡⎦⎤0，π3∴β＋φ∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6 ⇒ sin(β＋φ)∈⎣⎡⎦⎤12，1由α∈⎣⎡⎦⎤0，π3⇒8cos 2α＋1的最小值为3∴8cos 2α＋1•sin(β＋φ)的最小值为32 即cos(α＋β)＋2cos(α－β)的最小值为32选B∴S a 2＋4bc的最大值为216故选A∴φ＝k π＋3π4(k ∈Z )，当k ＝－1时，φ＝－π4．选B ．12．解析：f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3∵f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为3π4选B13．解析：f (x )＝2cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )－1＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1 ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6由π3＜x ＜2π3，ω＞0，得2ωπ3＋π6＜2ωx ＋π6＜4ωπ3＋π6 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上递增所以⎩⎨⎧4ωπ3＋π6≤π22ωπ3＋π6≥－π2⇒0＜ω≤14又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减所以⎩⎨⎧4ωπ3＋π6≤3π22ωπ3＋π6≥π2⇒解得12≤ω≤1综上，所述正数ω的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎦⎤12，1故选C14．解析：f (x )＝sin πωx －3cos πωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πωx －π3∵x ∈(0，1)∴πωx －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，ωπ－π3又∵函数f (x )＝sin πωx －3cos πωx (ω＞0)在(0，1)内恰有3个最值点和4个零点 由图像得3π＜πωx －π3≤7π2⇒103＜ω≤236∴实数ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤103，236故选A15．解析：建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ∵ CD ＝1，BC ＝2∴ BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC •CD BD ＝25＝255∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θy 0＝1＋255sinθ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0)∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ) ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中sin φ＝55，cos φ＝255) 当且仅当θ＝π2＋2kπ－φ(k ∈Z )时，λ＋μ取得最大值3故选A16．解析：3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝23⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－32sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝23sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－π3＝23sin ⎝⎛⎭⎫α－π617．解析：y ＝3cos x ＋4sin x ＝5sin(x ＋φ)，其中cos φ＝45，sin φ＝35∴π6＜φ＜π3∴π3＜π6＋φ＜x ＋φ＜π3＋φ＜2π3∴1≥sin(x ＋φ)≥sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝sin π6cos φ＋cos π6sin φ＝12×45＋32×35＝4＋3310∴所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋3310，118．解析：cos10°cos10°＋3sin10°＝cos10°2⎝⎛⎭⎫12cos10°＋32sin10°＝sin80°2sin40° ＝2sin40°cos40°2sin40°＝cos40° ＝cos α ∵α为锐角 ∴α＝40°19．解析： 2sin x ＋cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中sin φ＝15，cos φ＝25依题意，5sin(α＋φ)＝5sin(β＋φ)∴α＋φ＝π－β－φ ∴α＋β＝π－2φ∴sin(α＋β)＝sin(π－2φ)＝sin2φ＝2sin φcos φ＝2×15×25＝4520．解析：f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中φ由sin φ＝25，cos φ＝15 确定 ∵x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值∴f (θ)＝5sin(θ＋φ)＝5⇒sin(θ＋φ)＝1⇒θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )∴θ＝2k π＋π2－φ∴cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝25＝25521．解析：sin10°＋m cos10°＝1＋m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋m 2sin10°＋m 1＋m 2cos10° 设sin φ＝11＋m 2，cos φ＝m1＋m 2则sin10°＋m cos10° ＝1＋m 2⎝⎛⎭⎪⎫11＋m 2sin10°＋m 1＋m 2cos10° ＝1＋m 2(cos φcos10°＋sin φsin10°) ＝1＋m 2cos(φ－10°)＝2cos140° ∴φ－10°＝140°⇒φ＝150°其中φ由sin φ＝11＋m 2＞0和cos φ＝m1＋m2＜0共同确定 ∴m ＜0∴1＋m 2＝2⇒m ＝－ 322．解析：f (x )＝3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中φ由sin φ＝45，cos φ＝35共同确定∵直线x ＝θ是曲线y ＝f (x )的一条对称轴 ∴θ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )∴θ＝k π＋π2－φ⇒2θ＝2k π＋π－2φ∴cos2θ＋sin θcos θ＝cos(2k π＋π－2φ)＋12sin(2k π＋π－2φ)＝－cos2φ＋12sin2φ＝2sin 2φ－1＋sin φcos φ＝2⎝⎛⎭⎫452 －1＋45×35＝192523．解析：f (x )＝sin2x ＋a cos2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)，φ为辅助角∵函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称∴函数f (x )在x ＝－π8时取得最值∴sin2×⎝⎛⎭⎫－π8＋a cos2×⎝⎛⎭⎫－π8＝1＋a 2⇒－22＋22a ＝1＋a 2⇒a ＝124．解析：f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π3∵f (x )为偶函数∴φ－π3＝k π＋π2⇒φ＝k π＋5π6(k ∈Z )∴φmin ＝5π625．解析：f (x )＝a sin x ＋3cos x ＝a 2＋3sin(x ＋φ)式中辅助角φ满足sin φ＝3a 2＋3，cos φ＝a a 2＋3∵函数f (x )的图象关于直线x ＝7π6对称∴函数f (x )在x ＝7π6处取得最值∴f ⎝⎛⎭⎫7π6＝a sin 7π6＋3cos 7π6＝±a 2＋3即－12a －32＝±a 2＋3，解得a ＝1∴sin φ＝3a 2＋3＝32，cos φ＝a a 2＋3＝12，可以取φ＝π3∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，g (x )＝f (x )－75＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－75x ∈⎣⎡⎦⎤－π 2，7π 2⇒t ＝∈⎣⎡⎦⎤－π 6，23π 6易知方程2sin t ＝75在⎣⎡⎦⎤－π 6，23π 6上共有4个根，从小到大依次为t 1，t 2，t 3，t 4易知t 1＋t 2＝π，t 3＋t 4＝5π ∴t 1＋t 2＋t 3＋t 4＝6π∴x 1＋π3＋x 2＋π3＋x 3＋π3＋x 4＋π3＝6π∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝6π－4π3＝14π3即函数g (x )＝f (x )－75在⎣⎡⎦⎤－π 2，7π 2上的所有零点之和为14π327．解析：∵(2·x ＋1)2＋(4－2x )2＝6∴设2·x ＋1＝6sin θ，4－2x ＝6cos θy ＝3sin θ＋6cos θ＝3sin ()θ＋φ≤3，式中φ由tan φ＝2且φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2确定∴函数y ＝x ＋1＋4－2x 的最大值为328．解析：则4x 2＋y 2＋xy ＝1⇒154x 2＋14x 2＋xy ＋y 2＝1⇒⎝⎛⎭⎫152x 2 ＋⎝⎛⎭⎫12x ＋y 2 ＝1∴设152x ＝sin θ，12x ＋y ＝cos θ 则x ＝215sin θ，y ＝cos θ－115sin θ ∴2x ＋y ＝415sin θ＋cos θ－115sin θ ＝315sin θ＋cos θ ＝2615⎝⎛⎭⎫64sin θ＋104cos θ＝2615sin(θ＋φ)≤2105(式中tan φ＝153，且可取φ为锐角)即2x ＋y 的最大值为210529．解析：f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]＝a ＋1·sin[(1－a )x ＋φ]依题意，a ＋1＝2⇒a ＝3 ∴f (x )＝3sin(－2x )＋cos(－2x )＝－3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∴f (x )的最小正周期为π30．解析：设∠AOC ＝α，则⎩⎨⎧OC →·OA →＝xOA →·OA →＋yOB →·OA→OC →·OB →＝xOA →·OB →＋yOB →·OB →⇒⎩⎨⎧cos α＝x －12y cos(120°－α)＝－12＋y∴x ＋y ＝2[cos α＋cos(120°－α)]＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6≤231．解析：2xcos x ＋2π2＝a ·2x⇒sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋2π2－x ＝a3cos y ＋sin y ＝2a －2y ＋π3＋1⇒sin ⎝⎛⎭⎫y ＋π3＋2y ＋π3＋1＝a构造函数f (x )＝sin x ＋2x易知f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，故π2－x ＝y ＋π3⇒x ＋y ＝π632．解析：(1)32sin α－12cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6(2) sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4(3) 2sin α＋6cos α＝22⎝⎛⎭⎫12 sin α＋32 cos α＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 (4) 3sin α－4cos α＝5sin(α＋θ)，其中θ由sin θ＝－45，cos θ＝35且θ∈(－π，π)确定33．解析：(1) sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4(2) cos α－sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4(3) －3sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－5π6(4) 6(sin θ ＋cos θ )＋2(sin θ －cos θ )＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4⎣⎡⎦⎤32sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π1234．解析：sin(x ＋50°)＋cos(x ＋20°)＝sin[(x ＋20°)＋30°]＋cos(x ＋20°)＝sin(x ＋20°)cos30°＋cos(x ＋20°)sin30°＋cos(x ＋20°) ＝32sin(x ＋20°)＋12cos(x ＋20°)＋cos(x ＋20°) ＝32sin(x ＋20°)＋32cos(x ＋20°) ＝3⎣⎡⎦⎤12sin(x ＋20°)＋32cos(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°＋60°)＝3sin(x ＋80°)＝ 3 ∴ sin(x ＋80°)＝1且0≤x ＜360° ∴ x ＋80°＝90°，∴x ＝10°35．解析：3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13⇒sin α＋cos α＝23⇒1＋2sin αcos α＝29⇒2sin αcos α＝－79∴1－2sin αcos α＝1＋79＝169⇒ (sin x －cos x )2＝169∵－π2＜x ＜0∴sin x －cos x ＜0 ∴sin x －cos x ＝－4336．解析：∵2sin x ＋5cos x ＝3sin(x ＋φ)＝1k有解∴1|k |≤3⇒|k |≥13⇒ k ≤－13或k ≥13实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞37．解析：sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝4m －64－m∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m －64－m ≤2⇒|2m －3|≤|4－m |⇒4m 2－12m ＋9≤16－8m ＋m 2⇒3m 2－4m －7≤0⇒－1≤m ≤73实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，7338．解析：y ＝2sin x ＋3cos x ＝13(sin x cos α＋cos x sin α)＝13sin(x ＋α)，其中sin α＝313，cos α＝213y ＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2(sin x cos β＋cos x sin β)＝1＋a 2sin(x ＋β) 其中sin β＝a 1＋a 2，cos β＝11＋a 2∵y ＝2sin x ＋3cos x 是由y ＝sin x ＋a cos x (a ＞0)右移φ(φ＞0)个单位得到 ∴13sin(x ＋α)＝1＋a 2sin(x ＋β－φ) ∴1＋a 2＝13⇒a ＝23，且sin β＝a 1＋a 2＝2313，cos β＝11＋a 2＝113∴x ＋α＝x ＋β－φ⇒φ＝α－β∴sin φ＝sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝313×113－213×2313＝3－431339．解析：∵ a sin π 5＋b cosπ 5a cos π 5－b sinπ 5＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫π5＋φa 2＋b 2cos ⎝⎛⎭⎫π5＋φ＝tan ⎝⎛⎭⎫π5＋φ＝tan 8π 15∴π5＋φ＝8π 15＋⇒φ＝k π＋π3 (k ∈Z ) ∵上式中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2∴ b a ＝tan φ＝tan ⎝⎛⎭⎫k π＋π3＝tan π3＝ 340．解析：1cos290°＋13sin250°＝1cos70°－13sin70° ＝3sin70°－cos70°3sin70°cos70°＝4sin40°3sin40°＝43341．解析：3tan12°－3sin12°·(4cos 212°－2)＝3·sin12°cos12°－32sin12°·(2cos 212°－1) ＝3(sin12°－3cos12°)2sin12°cos12°·cos24°＝43sin(12°－60°)2sin24°·cos24°＝－43sin48°sin48°＝－4 342．解析：cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝cos10°cos20°sin20°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°＝cos20°sin20°(3sin10°＋cos10°)－2cos40° ＝2cos20°sin20°sin40°－2cos40°＝2×sin40°cos20°－cos40°sin20°sin20°＝2×sin20°sin20°＝243．解析：sin80°cos50°•()1＋3tan10° ＝sin80°cos50°•⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10° ＝sin80°cos50°•⎝ ⎛⎭⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10° ＝sin80°cos50°•⎝⎛⎭⎫2sin40°cos10°＝2.47．解析：cos40°＋sin50°(1＋3tan10°)sin70°1＋cos40°＝cos40°＋sin50°⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10°sin70°1＋cos40°＝cos40°＋sin50°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10°sin70°1＋cos40°＝cos40°＋sin50°⎝⎛⎭⎫2cos50°cos10°sin70°1＋cos40°＝cos40°＋sin50°⎝⎛⎭⎫2cos50°cos10°sin70°1＋cos40°＝cos40°＋⎝⎛⎭⎫cos10°cos10°sin70°2cos 220° ＝cos40°＋1cos20°2cos20° ＝cos40°＋1 2cos 220° ＝2cos 220° 2cos 220° ＝2.48．解析：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°＝⎣⎡⎦⎤2sin50°＋sin10°⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10°·2sin 280°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin50°＋sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝⎣⎡⎦⎤2sin50°＋sin10°⎝⎛⎭⎫2sin40°cos10°·2cos10° ＝22(sin50°cos10°＋cos50°sin10°) ＝22sin60° ＝ 649．解析：2sin130°＋sin100°(1＋3tan10°)1＋cos10°＝2cos40°＋cos10°⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10°2cos 25°＝2cos40°＋()3sin10°＋cos10°2cos 25°＝2cos40°＋2sin40°2cos 25°＝22cos5°2cos 25°＝250．解析：y ＝2－cos x2＋sin x ⇒2y ＋y sin x ＝2－cos x ⇒ y sin x ＋cos x ＝2－2y ⇒1＋y 2sin(x ＋φ)＝2－2y∴|sin(x ＋φ)|＝|2－2y |1＋y 2≤1⇒|2－2y |≤1＋y2⇒3y 2－8y ＋3≤0⇒y ∈⎣⎡⎦⎤－13，351．解析：∵原方程中的x 的取值范围为非零实数∴作代换：x ＝tan θ且θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2则原方程化为1cos θ＋1sin θ＝2 2 即sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ 2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2sin2θ∴2θ＝2kπ＋θ＝2kπ＋π－⎝⎛⎭⎫θ＋π4∴θ＝2kπ＝23kπk ∈Z )又∵θ∈⎛⎭⎫－π，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2∴θ12＝－5π12∴x 12＝－2－352．解析：∵ f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝1＋cos2x ＋4(1－cos2x )sin2x ＝5－3cos2xsin2x设 y ＝5－3cos2xsin2x ，则y ·sin2x ＋3cos2x ＝5即y 2＋9•sin(2x ＋φ)＝5(其中tan φ＝3y)∵ |sin(2x ＋φ)|≤1∴ y 2＋9≥5⇒y 2≥16⇒y ≤－4或y ≥4由 0＜x ＜π2⇒0＜2x ＜π⇒sin2x ＞0 且5－3cos2x ＞0∴y ＞0 ∴y ≥4故f (x )的最小值为453．解析：y ＝cos2xcos x ＋sin x ＋sin2x ＝cos 2x －sin 2x cos x ＋sin x＋sin2x ＝cos x －sin x ＋sin2x设t ＝cos x －sin x ，则|t |＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ≤ 2∵t 2＝(cos x －sin x )2＝1－sin2x ⇒sin2x ＝1－t 2 ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122 ＋54 (－2≤t ≤2)∴当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1∴y ∈⎣⎡⎦⎤－2－1，5454．解析：函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋3cos x＝cos x cos π6－sin x sin π6－cos x cos π6－sin x sin π6＋3cos x＝－sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3∵ x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0⇒∴x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3⇒sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤12，1∴ f (x )的最小值为155．解析：y ＝3sin(x ＋10°)＋5sin(x ＋70°)＝3sin(x ＋10°)＋5sin[(x ＋10°)＋60°]＝3sin(x ＋10°)＋5[sin(x ＋10°)cos60°＋cos(x ＋10°)sin60° ＝3sin(x ＋10°)＋5×12×sin(x ＋10°)＋5×32×cos(x ＋10°)＝112sin(x ＋10°)＋532cos(x ＋10°) ＝12112＋(53)2sin(x ＋10°＋φ) ＝7sin(x ＋10°＋φ)，这里φ为辅助角 ∴y max ＝756．解析：(1)若cos x ＝－513，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π⇒sin x ＝1213∴f (x )＝34sin x －14cos x ＝34×1213－14×⎝⎛⎭⎫－513＝5＋12352(2) f (x )＝34sin x －14cos x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 将函数f (x )的图像向右平移m 个单位，得g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －m －π6由题意知函数g (x )为奇函数 ∴m ＋π6＝k π＋π2由0＜m ＜π，得m ＝π357．解析：(1) f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝12sin2x sin φ＋12cos φ＋12cos2x cos φ－12cos φ ＝12cos ()2x －φ∵ f (x )图像过点⎝⎛⎭⎫π6，12∴ 12＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ ⇒ cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1⇒⎝⎛⎭⎫π3－φ＝0⇒φ＝π3(2) 由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3⇒g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4⇒4x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6∴当4x ＋π6＝π2即x ＝π12时，g (x )取得最大值12当4x ＋π6＝7π6即x ＝π4时，g (x )取得最小值－1458．解析：f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－32＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－32＝sin x cos x ＋3cos 2x －32＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－32＝12sin2x ＋32cos2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∴ (1) 函数f (x )的最小正周期为π当f (x )取得最大值时，2x ＋π3＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π12 (k ∈Z )∴ f (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，(k ∈Z )(2) 由2x ＋π3＝k π＋π2⇒ x ＝12k π＋π12(k ∈Z )∴函数f (x )图像的对称轴方程为x ＝12k π＋π12(k ∈Z )59．解析：由f (0)＝32，得2a －32＝32⇒a ＝32由f ⎝⎛⎭⎫π4＝12，得32＋12b －32＝12⇒b ＝1∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝32(1＋cos2x )＋12sin2x －32＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(1) 2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2⇒k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．(2) 函数f (x )的图像向右平移π6，所得图像对应的函数成为奇函数60．解析：f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋2cos 2x2＝cos x cos 2π3－sin x sin 2π3＋1＋cos x＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1＝12cos x －32sin x ＋1 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋1(1) x ∈R ，∴函数f (x )的值域为[0，2] (2) 令x ＋π3＝k π＋π2⇒x ＝k π＋π6∴函数f (x )图像的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，161．解析：f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－cos2x＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(1) 函数f (x )的最小正周期为π由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z ) 解得函数f (x )的图像的对称轴方程为x ＝12k π＋π3(2) x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2⇒2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6⇒ sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，162．解析：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x＝12cos 2π3＋12cos2x＝12cos2x －14 ∴f (x )的最小正周期为π (2) h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －14－12sin2x ＋14 ＝12cos2x －12sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 当2x ＋π4＝2k π即x ＝k π－π8时，h (x )取得最大值2263．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3依题意，g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4(2－x )－π3＝－3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋5π6当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，π4x ＋5π6∈⎣⎡⎦⎤5π6，7π6∴y ＝g (x )的最大值为3sin5π6＝3264．解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x＝sin2x －3cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1由x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2⇒2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3⇒ sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1∴ f (x )∈[2，3]故 (1) f max ＝3，f min ＝2．(2) |f (x )－m |＜2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立⇔－2＜f (x )－m ＜2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立⇔ m －2＜f (x )＜m ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立∴m ＋2＞3且m －2＜2⇒1＜m ＜4 ∴实数m ∈(1，4)65．解析：f (x )＝－32(1－cos2x )＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2x －32由f ⎝⎛⎭⎫α2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－32 ＝14－32，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝14 又∵α∈(0，π)⇒α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3∵sin π3＝32＞14∴α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π2，π⇒cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝－154∴sinα＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3＝14×12－⎝⎛⎭⎫－154×32 ＝1＋35866．解析：设x ＝5sin θ，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2则y ＝x ＋4＋5－x 2＝5sin θ＋4＋5cos θ＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋4∵θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2⇒θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1 ∴4－5≤10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋4≤4＋10∴y ∈[]4－5，4＋1067．解析：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝(x －1)2＋(y ＋2)2＝5设x －1＝cos θ，y ＋2＝sin θ则x －2y ＝cos θ－2sin θ＋5＝5cos(θ＋φ)＋5∈[5－5，5＋5]68．解析：由2a 2＋6b 2＝3⇒23a 2＋2b 2＝1∴设a ＝62sin θ，b ＝22cos θ |f (x )|＝|ax ＋b |＝⎪⎪⎪⎪62x sin θ＋22cos θ＝32x 2＋12|sin(θ＋φ)|≤32x 2＋12由x ∈[－1，1]⇒x 2≤1⇒32x 2＋12≤ 2 ∴|f (x )|≤269．解析：x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝(x －4)2＋(y ＋3)2≤4∴设x －4＝2cos θ，y ＋3＝2sin θ x ＝2cos θ＋4，y ＝2sin θ－3 ∴x 2＋y 2＋3＝(2cos θ＋4)2＋(2sin θ－3)2＋3 ＝32＋16cos θ－12sin θ ＝32＋20cos(θ＋φ)∈[12，52] ∴23≤x 2＋y 2＋3≤21370．解析：令x ＝sin θ，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2⇒θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π422sin 2θ＋sin θ－cos θ－2＝0 ⇒2(2sin 2θ－1)＋sin θ－cos θ＝0 ⇒2(sin 2θ－cos 2θ)＋sin θ－cos θ＝0 ⇒(sin θ－cos θ)[2( sin θ＋cos θ)＋1]＝0 ⇒(sin θ－cos θ)⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1＝0由sin θ－cos θ＝0及θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得θ＝π4，x ＝22由2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－12及θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2⇒θ＋π4＝－π6⇒θ＝－5π12∴x ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π12＝－6＋2471．解析：设∠BDC ＝θ，则BD ＝30sin θ，AD ＝40－30tan θ ⎝⎛⎭⎫arctan 34＜θ＜π2 设每公里运费水路和公路分别为a 和2a 不妨设由A 到B 的单程运费为y则y ＝a ⎝⎛⎭⎫40－30tan θ＋2a ·30sin θ＝10a ·⎝⎛⎭⎫4＋3·2－cos θsin θ令k ＝2－cos θsin θ，则cos θ＋k sin θ＝2⇒1＋k 2sin(θ＋φ)＝2其中sin φ＝11＋k 2，cos φ＝k1＋k 2于是21＋k 2≤1⇒k ≥ 3 ∴y ≥10(4＋33)a∴当k ＝3即cos θ＋3sin θ＝2⇒θ＝60°时，y 有最小值10(4＋33)a ，此时AD ＝40－103(km ) 答：当A ，D 之间距离为40－103km 时，运费最低72．解析：(1)∵图象的最高点为S (3，23)∴A ＝2 3由图象知y ＝A sin ωx 的最小正周期T ＝12 又T ＝2πω，所以ω＝π6，于是y ＝23sin π6x且M (4，3)，P (8，0)故MP 两点间的距离为|MP |＝(8－4)2＋(－3)2＝5 (2)在△MNP 中，设∠NMP ＝θ ∵∠MNP ＝2π3∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3由正弦定理得5sin120°＝NP sin θ＝MNsin(60°－θ)∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)∴线段MNP 的长度为L ＝1033sin(60°－θ)＋1033sin θ＝1033[sin(60°－θ)＋sin θ] ＝1033(sin60°cos θ－cos60°sin θ＋sin θ) ＝1033⎝⎛⎭⎫32cos θ＋12sin θ BADCθ＝1033sin(θ＋60°)≤1033∴ 当∠NMP ＝30°时，折线段MNP 的长度最大值为103373．解：(1)在直角三角形OPS 中，SP ＝2sin θ，OS ＝2cos θ 矩形的宽SP ＝2sin θ∵∠ROQ ＝π4∴OR ＝RQ ＝SP ＝2sin θ矩形的长RS ＝OS －OR ＝2cos θ－2sin θ ∴面积：y ＝(2cos θ－2sin θ)2sin θ ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π4(2) y ＝2sin θcos θ－2sin 2θ＝sin2θ－(1－cos2θ)＝ sin2θ＋cos2θ－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－1∵ 0＜θ＜π4⇒2θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4∴当2θ＋π4＝π2即θ＝π8时，矩形PQRS 的面积y 的最大值为2－174．解析：因为CP ∥OB ，所以∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ∴∠OCP ＝120°在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ∴2sin120°＝CP sin θ所以CP ＝43sin θ 又OC sin(60°－θ)＝2sin120°∴OC ＝43sin(60°－θ) 因此△POC 的面积S (θ)＝12CP ·OC sin120°＝12·43•sin θ·43sin(60°－θ)×32 ＝43sin θsin(60°－θ) ＝43sin θ⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θcos θ－23sin 2θ AB PO R S Q。

《辅助角公式》专题2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

我们知道sin()6x π+= 那么sin cos cos sin 66x x ππ+=1cos 22x x - cos x xcos x x + sin π12－3cos π12cos )x x -x xsin15cos15o o +【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b2x x ⎛⎫+⎪⎭ ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 其中φ(a ，b )决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2. (1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝ ；(3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________；(5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________.【当堂训练】【求周期】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最小正周期。

2.求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

小结：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。

辅助角公式练习题辅助角公式练习题在数学中，辅助角公式是解决三角函数的重要工具之一。

它们帮助我们在计算复杂的三角函数问题时，能够简化运算并得到准确的结果。

本文将通过一些练习题来巩固和应用辅助角公式的知识。

题目一：计算sin(75°)解析：我们知道sin(75°)可以表示为sin(45°+30°)。

利用辅助角公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，我们可以将sin(75°)转化为sin(45°)cos(30°)+cos(45°)sin(30°)。

根据三角函数的定义，sin(45°)=cos(45°)=√2/2，sin(30°)=1/2，cos(30°)=√3/2。

代入公式，我们得到sin(75°)=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。

题目二：计算tan(105°)解析：我们可以将t an(105°)表示为tan(45°+60°)。

利用辅助角公式tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)，我们可以将tan(105°)转化为(tan(45°)+tan(60°))/(1-tan(45°)tan(60°))。

根据三角函数的定义，tan(45°)=1，tan(60°)=√3。

代入公式，我们得到tan(105°)=(1+√3)/(1-√3)。

题目三：计算cos(105°)解析：我们可以将cos(105°)表示为cos(45°+60°)。

利用辅助角公式cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，我们可以将cos(105°)转化为cos(45°)cos(60°)-sin(45°)sin(60°)。

辅助角公式例题及解析十道辅助角公式是解决三角函数问题的一种重要工具，它可以将复杂的三角函数表达式化简为更易于处理的形式。

以下是十道辅助角公式的例题及解析：1. 例题：求函数y = 2sin(x + π/3) + cos(x - π/6) 的值域。

解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sinx + cosx + 1，再进一步化简为y = 2sin(x + π/6) + 1。

由于正弦函数的值域为 [-1, 1]，因此原函数的值域为 [-1, 3]。

2. 例题：求函数 y = sin(2x - π/3) + cos(2x - π/6) 的单调递增区间。

解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √3sin(2x - π/6)，再利用正弦函数的性质，求得单调递增区间为[kπ - π/6, kπ + π/3]，其中 k 是整数。

3. 例题：求函数 y = sin(x) + cos(x) 的最大值和最小值。

解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √2sin(x + π/4)，正弦函数的最大值为 1，最小值为 -1，因此原函数的最大值为√2，最小值为 -√2。

4. 例题：已知sinθ + sin(θ + π/3) = 1，求cos(θ + π/6) 的值。

解析：利用辅助角公式和已知条件，将原问题转化为求sin(2θ + π/6) 的值，再利用三角恒等式化简求解。

5. 例题：已知sinαcosβ = 1/2，求cosαsinβ 的取值范围。

解析：利用辅助角公式将原问题转化为求sin(α + β) 的取值范围，再利用三角恒等式和已知条件求解。

6. 例题：求函数 y = sin(x) + cos(x) 在区间[0, π] 上的最大值和最小值。

解析：利用辅助角公式将原函数化简为y = √2sin(x + π/4)，再利用正弦函数的性质求解。

7. 例题：已知sinαcosβ = 1/3，求(sinαcosβ)^2 + (cosαsinβ)^2 的值。