辅助角公式专题训练.pptx

辅助角公式》专题(更新版)XXX高一数学组辅助角公式》专题2017年（日期未知）班级姓名XXX从磨砺出，梅花香自苦寒来。

我们知道sin(π/6+x)，那么sin(π/6)cosx+cos(π/6)sinx=13(cosx-sinx)(cosx-3sinx)/(2sinx+cosxsin(π/12)-3cos(π/12))，这就是辅助角公式asinx+bcosx=a^2+b^2sin(x+φ)。

接下来，我们来看如何将asinx+bcosx化为Asin(ωx+φ)的形式。

问题请写出把asinx+bcosx化成Asin(ωx+φ)形式的过程。

asinx+bcosx=a+b(sin x+cos x)/(a^2+b^2)a^2+b^2(sin x+cos x)/(a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2))a^2+b^2(sin x+cosx)/(a^2+b^2)^0.5(a/(a^2+b^2)^0.5+b/(a^2+b^2)^0.5)a^2+b^2(sin x+cos x)/(a^2+b^2)^0.5(sin φ+cos φ)a^2+b^2sin(x+φ)，其中sinφ=b/(a^2+b^2)，cosφ=a/(a^2+b^2)。

辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用。

接下来，我们来试一试将下列各式化成Asin(ωx+φ)的形式，其中A>0，ω>0，|φ|<π。

1)sinx+cosx2^0.5/2)sin(x+π/4)+ (2^0.5/2)cos(x+π/4)A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=π/4.2)sinx-cosx2^0.5/2)sin(x-π/4)- (2^0.5/2)cos(x-π/4)A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=-π/4.3)3sinx+cosx10/2sin(x+0.197)-√10/2cos(x+0.197)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=0.197.4)3sinx-cosx10/2sin(x-0.197)+√10/2cos(x-0.197)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=-0.197.5)sinx+3cosx10/2sin(x+1.373)-√10/2cos(x+1.373)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=1.373.6)sinx-3cosx10/2sin(x-1.373)+√10/2cos(x-1.373)A sin(x+φ)，其中A=√10/2，ω=1，φ=-1.373.接下来，我们来求函数的周期。

精品文档辅助角公式专题训练•知识点回顾as in x b cosx~b 2 ( a- sin xyf a b 2 b 2 sin(x )二.训练1. 化下列代数式为一个角的三角函数2、如 果 函数 y=s in 2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=8()(A ) -.2 ! (B)2 (C ) 1 (D ) -13、已知函数 f(x) 2、.3si nx 2cos x. x [0,],求 f (x)的值域其中辅助角由cossinab确定，即辅助角ba 2b 2的终边经过点（a,b ）=b —cosx) .a 2 b 2..a (1) 1 .sin 2cos ；(2) •. 3 sincos(3) sincos (4)O O线线O O号考订订级O班O名装姓装校O学O 外内O O4、函数y 2COS(2X ), x [,]的值域6 6 45、求5sin 12COS的最值6.求函数ny= COS X + cos X + 3 的最大值7.已知函数f(x) 3 sin X COS X( 0) , y f (X)的图像与直线两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是( )A. [k5丁穆k ZB. 5 11[k ,k ],k Z1212C. [k护評ZD.[k 6'k勺,kZ(果过程y 2的(过程O O 线线O O号考订订级O班O名装姓装校O学O 外内O O精品文档2. ［答案］Cnn［解析］y = 2sin 3- x — cos §+ xn i n i=2cos 6 + x — cos 6+ x n=cos x + 6 (x € R).nx € R , • • • x + 6 € R, y min = — 1.3. 答案：B 解析因为 f(x) (1 ,3 tan x)cosx = cosx 、3sinx = 2cos(x —)3当x是，函数取得最大值为 2•故选B3参考答案 asi nx bcosx1. (6) sin x cosx)、a 2 b 2 sin(x)cos其中辅助角由sina a 2b 2b确定，即辅助角的终边经过点（a,b ）精品文档时，y 取得最值± 1 a 2，即83.n n . =cos x + 3 cos 3 + sin=|cos x + n +*sin x + 二 =书乎cos x + n + 如 n x + n = 3cos x -= 3cos x + ； w 3nn法二: y = cos x + cos x cos 3 — sin x s in 3 =2cos x — 23sin x = 3 23cos x — ；sin x =3cos x +,4.答案C 解析f (X ) 2si n( x ) 6由题设 f(x)的周期为T ,由2k2x — 2k66，k Z，故选C5.解: 可化为 y 1 a 2 sin(2x7.［答案］［解析］ 法一：y = cos n nx + 3 — 3 + cos1 n . nx 十 3 sin 3 +cosrn r当 cos x + 6 = 1 时， y max =寸 3.10.解：f(x) cos(2k2x) cos(2k32x) 2.3si n(— 2x)32 cos(—32x) 2.3si n(— 2x)3精品文档2x)cos 石cos(§ 2x)s in 石］4si n(2x所以函数f(x)的值域是［-4 , 4］。

辅助角公式专项训练5(1)若 COSX 石，X i ，，求 f (X )的值;求m 的值。

(1 )求函数f (X)的最小正周期及取得最大值时X 的取值集合; (2)求函数f (X)图像的对称轴方程。

4.已知函数 f (x) 2acos 2 x bsinxcosx 3，且 f (0) 3， f(-)-。

2 2 4 2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f (X)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？1.已知函数f(x)73 . in x 41 COS X 。

4 (2)将函数f (X)的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称, 2.已知函数 f(X )sin 2XS in 2 2 COS XCOS 」si n(— )(0 2 2 )，其图像过点1(6,2)。

(1)求的值; ⑵ 将y f (X )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 一 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数 y g(x)在区间0,— 上的最值。

43.已知函数f (x)2cos xsin(x ——。

4对称，求当x 0, 时，y g(x)的最大值。

329.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。

(1 )求f(§)的值；(2)求f (x)的最值。

10.已知向量 mn (si nA,cosA)，n (、_3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。

(1)求角A 的大小；(2)求函数f(x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。

5.设 f (x) COS (X 2cos 2 X, x 2 (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。

6.已知f(x) COS (2x 扌 2S "(x 4)S "(x (1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一 上的值域。

12 27.已知函数 f (x) cos(- x)cos( x), g(x) 3 3 1sin2x 〕。

辅 助 角 公 式训 练一．知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：y=asinx+bcosx=++++a b x a a b x b a b222222(sin cos )··。

记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则2222(sin cos cos sin )sin()y a b x x a b x θθθ=++=++由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由22cos ,a a bθ=+22sin b a bθ=+来确定。

通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。

二．训练1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1）13sin cos 22αα+； （2）3sin cos αα+； （3）⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 3cos 3sin ππ（4）26sin()cos()6363ππαα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）2cos 6sin x x - 三、升级训练 1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 52.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为( )A ．1B ．2C ．31+D ．32+ 3.（2009安徽卷理）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈D.2[,],63k k k Z ππππ++∈4. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a=( )（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 5．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是________．6.若23sin()cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。

辅 助 角 公 式 专 项 训 练已知函数31()sin cos 44f x x x =-。

对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：y=asinx+bcosx =++++a b x aa b x b a b 222222(sin cos )··。

由于上式中的aa b 22+与b a b22+的平方和为1， 故可记a a b 22+=cos θ，ba b 22+=sin θ，则 。

)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=由此我们得到结论： asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由a a b ba b 2222+=+=cos ,sin θθ来确定。

通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。

1、（1）若5cos 13x =-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。

2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x πϕϕϕ=+-+(0)ϕπ<<，其图像过点1(,)62π。

(1)求的ϕ值；(2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值。

3.已知函数3()2cos sin()32f x x x π=+-。

（1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合；（2）求函数()f x 图像的对称轴方程。

4.已知函数23()2cos sin cos 2f x a x b x x =+-，且3(0)2f =，1()42f π=。

辅助角公式专题训练2013.3一．知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。

记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5.如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a=() （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-16．函数y ＝cos x ＋cos 的最大值是________． 7.2)cos()12123x x ππ+++=，且02x π-<<，求sin cos x x -的值。

8.求函数f x k x k x x ()cos()cos()sin()=+++--++613261322332πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。

6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)3(x f y -=π是（ ） A C 6.D9.若sin(50)cos(20)3x ++=，且0360x ≤<，求角x 的值。

11.π),0)3c π=+,求函数=2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的,sin cos 2a α=参考答案1.（62.[答案] C [解析] y ＝2sin －cos ＝2cos －cos ＝cos(x ∈R )．∵x ∈R ，∴x ＋∈R ，∴y min ＝－1. 3.答案：B解析因为()(1)cos f x x x =+=cos x x =2cos(3x π-当3x π=是，函数取得最大值为2.故选B4.答案C解析()2sin()6f x x πω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，由222262k x k πππππ-≤+≤+得，,36k x k k z ππππ-≤≤+∈，故选C5.知x =7.[答案][＝＝＝＝＝＝当10.。

辅助角公式专题训练一．知识点回顾sin cos ))a xb x x x x ϕ+=+=+其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b二．训练1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1）1sin cos 22αα+； （2cos αα+；（3）sin cos αα- （4sin()cos()6363ππαα-+-．2、 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a= ( )（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-13、已知函数()2cos .f x x x =-[0,],()x f x π∈求的值域。

4、函数2cos(2), [,]664y x x πππ=+∈-的值域5、求5sin 12cos αα+ 的最值6．求函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 （过程( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.[,36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ （果过程。

参考答案1.（6）sin cos ))a xb x x x x ϕ+==+其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b2.[答案] C[解析] y＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )．∵x ∈R ，∴x ＋π6∈R ，∴y min ＝－1.3.答案：B解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x +=2cos()3x π-当3x π=是，函数取得最大值为2. 故选B4.答案 C解析 ()2sin()6f x x πω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，由222262k x k πππππ-≤+≤+得，,36k x k k z ππππ-≤≤+∈，故选C5.解：可化为y a x =++122sin()θ。