江苏省海门中学高一下学期期中考试（数学）注意：本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第.本卷满分160分，考试时间为1.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1．不等式073<+-x x 的解集是 ▲ ．2．已知向量)3,2(=，),4(y -=．若a b ⊥，则y ＝ ▲ ． 3．等差数列{na }中，已知55a =，811a =，则它的通项公式为n a =▲ ．4．在△ABC 中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC ＝ ▲ ． 5．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 ▲ ．6．一船以15km/h 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为▲ km ．7．数列{an}中，a1=2，a2=1，11112-++=n n n a a a (n ≥2，n ∈N*)，则其通项公式为an= ▲ ．8．已知1,2a b ==，与的夹角为3π-= ▲ ．9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列．若1a =1，则4S = ▲ ．10．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等差数列，且2sin sin sin B A C =，则ABC ∆的形状为 ▲ ．（填“等腰三角形”、“ 等边三角形”、“直角三角形”、“ 等腰直角三角形”中之一）11．已知变量x,y 满足236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(2)cos cos b c A a C -=，则A = ▲ ． 13．若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则)(PD PB AP +⋅的取值范围是 ▲ ． 14．设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则数列{}n a 的通项公式n a = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知关于x 的不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围．16．（本小题满分14分） 已知等差数列{n a }的前n 项和为nS ，且3a =5，15S =225.（1）求数列{na }的通项na ；（2）设22n a n b n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．（本小题满分15分）已知 、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）. ⑴若||52=，且//，求的坐标；⑵若||=,25且2+与2a b -垂直，求与的夹角θ．18．（本小题满分15分）设ABC △的内角AB C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且320tan =B a ，sin 4b A =．（1）求B cos 的值；（2）求边长a ；（3）若ABC △的面积10S =，求C 4cos 的值．19．（本小题满分16分）如图ABC ∆中，已知点D 为AB 边中点，点E 为BC 边靠近点B 的三等分点，点F 是AE 上一点，且满足53=，记b AC a AB ==,．（1）用,表示AE ；（2）求证：C F D ,,三点共线；（3）过点F 作直线l 与AC AB ,分别交于点Q P ,．设n m ==,（,m n R ∈）.求证：215m n +=．本小题满分16分）已知等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，其前n 项的和为n S ．数列2{}n a 的前n 项的和为n A ， 数列1{(1)}n n a +-的前n 项的和为n B ．（1）若25A =，21B =-，求{}n a 的通项公式； （2）①当n 为奇数时，比较n n B S 与n A 的大小； ②当n 为偶数时，若1q ≠，问是否存在常数λ（与n 无关），使得等式()0n n n B S A λ-+=恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．C。
江苏省扬州中学2014—2015学年第二学期期中考试 高一数学试卷 2015.4一、填空题（14570''⨯=） 1．不等式201xx -<+的解集是 ．2．已知α为锐角，cos 5α=，则tan()4πα+= ．3．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = ． 4．已知不等式210ax bx +->解集为{|34}x x <<，则实数a = ．5．在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,，75,45,32,A B c ===则b = ．6．在ABC ∆中，已知 ()()a b c a b c ab +++-=，则C ∠的大小为 ． 7．已知3sin cos 8αα=且0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-的值是 ． 8．等比数列}{n a 中，若121=+a a ，943=+a a ，那么54a a +等于 ． 9．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ． 10．已知正数,x y 满足21x y +=，则11x y+的最小值为 ． 11．数列{}n a 满足)(511,311++∈=-=N n a a a nn 则=n a ．12．函数2()2sin ()2()442f x x x x πππ=+-≤≤的最小值为 ． 13．在正项等比数列}{n a 中3438a a +=，61a =，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ． 14．若实数,x y 满足221x y +=，则11xy x y ++-的取值范围是 ．二、解答题（15、16每题14'， 17 、18每题15'，19、20每题16'）15．已知(,)2παπ∈，且sin cos 22αα+= （1）求cos α的值；（2）若3sin()5αβ-=-，(,)2πβπ∈，求cos β的值。
数学·必修1(苏教版)章末过关检测卷(一)第1章集合(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(每题5分，共40分)1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：∵Q＝{x|－2<x<2}，∴Q⊆P.答案：B2．设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,4} B．{1,5} C．{2,4} D．{2,5}解析：∵U＝{1,2,3,4,5，}，A∪B＝{1,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．答案：C3．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为()A．1 B．0 C．0或1 D．以上答案都不对解析：分情况k＝0和k≠0.答案：C4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于() A．{(1,2)} B．(2,1)C．{(2,1)} D．∅解析：A ∩B 是点集，即满足⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝1的解．答案：C5．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )答案：D6．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅解析：⎩⎨⎧ a －1≤3，5≤a ＋2⇒3≤a ≤4.7．已知全集U＝R，集合A＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|－1≤x≤0}，则A∪∁U B等于()A．{x|x<－1或x>0} B．{x|x<－1或x>1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－2或x≥0}解析：∁U B＝{x|x<－1或x>0}，∴A∪∁U B＝{x|x<－1或x>0}．答案：A8．已知A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：A＝{x|x<0或x>2}，∴A∪B＝R.二、填空题(每题5分，共30分)9．设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合{x|x∈A，且x∉A∩B}＝________.解析：A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x>3或x<1}，A∩B＝{x|3<x<4或－4<x<1}，∴{x|x∈A且x∉A∩B}＝{x|1≤x≤3}．答案：{x|1≤x≤3}10．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁U N＝{2,4}，则N＝________.答案：{1,3,5}11．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是________．解析：A 的子集共有26＝64个，而{1,2,3}的子集共23＝8个，这8个均不满足S ∩B ≠∅的条件，所以满足条件的S 共有64－8＝56个．答案：56个12．已知集合A ＝{(x ，y )|ax －y 2＋b ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2－ay ＋b ＝0}，且(1,2)∈A ∩B ，则a ＝________，b ＝__________.解析：∵(1,2)∈A ∩B .∴⎩⎨⎧ a －4＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0⇒a ＝53，b ＝73. 答案：53 7313．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则M 与N 的关系是________．解析：任取x ∈M ，则x ＝k 2＋14＝2k ＋14＝2k －14＋12∈N ，而12∈N ，而12∉M ，∴M N .答案：MN14．某中小城市1 000户居民中，有彩电的有819户，有空调的有682户，彩电和空调二者都有的有535户，则彩电和空调至少有一种的有________户．解析：如图，有彩电无空调的有819－535＝284户；有空调无彩电的有682－535＝147户，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966户．答案：966三、解答题(共80分)15．(12分)A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，当B ＝∅时，即a ＝0时，显然满足条件．当B ≠∅时，则B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2a ，A ＝{1,2}， ∴2a ＝1或2a ＝2，从而a ＝1或a ＝2，故集合C ＝{0,1，2}．16．(12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.(1)求A∪B，(∁R A)∩B；解析：(1)A∪B＝{x|1≤x＜10}，(∁R A)∩B＝{x|x＜1或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|7≤x＜10}．(2)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．解析：(2)当a＞1时，满足A∩C≠∅.因此a的取值范围是(1，＋∞)．17.(14分)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，非空集合B＝{x|(x－a－1)(x －2a)<0}．若B⊆A，求实数a的取值范围．解析：B ≠∅，且B ⊆A ，∴⎩⎨⎧ a ＋1<2a ，2a ≤－1或a ＋1≥1或⎩⎨⎧ a ＋1>2a ，a ＋1≤－1或2a ≥1.解得a >1或a ≤－2或12≤a <1. ∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＞1或a ≤－2或12≤a ＜1.18．(14分)已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；解析：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}．B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}. ∴A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解析：(2)∵A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}．B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又A ∪B ＝R ，∴⎩⎨⎧ a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3.∴所求实数a 的取值范围是(1,3).19.(14分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 取何值时，A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立．解析：∵B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}，由A ∩B ≠∅且A ∩C ＝∅知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，∴a 2－3a －10＝0，解得a ＝－2或a ＝5，当a ＝－2时，A ＝{3，－5}，适合A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立， 当a ＝5时，A ＝{2,3}，A ∩C ＝{2}≠∅，故舍去．所求a 的值为－2.20．(14分)已知两个正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a21，a22，a23，a24}满足：(1)A∩B＝{a1，a4}；(2)a1＋a4＝10；(3)a1<a2<a3<a4；(4)A与B的所有元素之和为124.求a1，a2，a3，a4.解析：∵a1，a2，a3，a4∈N*，∴a21≥a1，由A∩B＝{a1，a4}，必有a21＝a1，即a1＝1，而由a1＋a4＝10得a4＝9，此时B＝{1，a22，a23，81}，由A∩B ＝{1,9}可知a22＝9或a23＝9，可得a2＝3或a3＝3.(1)若a2＝3，则3<a3<9，由所有元素之和为124可得a3＝4.(2)若a3＝3，则a2＝2，此时所有元素之和为110≠124，不合题意．综上，即得a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝9.。
2021-2022学年江苏省南通市海门区高一上学期第一次学情调研数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}1,3A ={}2,3B =A B ⋃=A ．3B ．C ．D ．{}3{}1,2,3{}1,2C【分析】根据集合并集定义即可得出答案.【详解】解：已知集合，，得{}1,3A ={}2,3B ={}1,2,3.A B ⋃=故选：C.2．函数的最小值为（ ）()40y x x x =+>A ．2B ．4C ．8D ．1B【分析】利用基本不等式求解即可【详解】，当且仅当时取得最小值44y x x =+≥=2x =故选：B3．下列一定正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则0x y <<11x y >21x =1x =C ．若D ．若，则x y ==x y <22x y <A 【分析】利用不等式的性质即可判断求解.【详解】因为，因为，故，，即，所以，故A11y x x y xy --=0x y <<0y x ->0xy >110x y ->11x y >正确；由，得，不一定为1，故B 错误；21x =1x =±x若C 错误；0x y =<若，，故D 错误．0x y <<22x y >故选:A.4．设全集，集合，，则的值是（ ）{}1,3,5,7,9U ={}1,5,9A a =-{}5,7U A = a A ．B ．C ．D ．22-88-C【分析】由已知条件可得出关于的等式，由此可解得实数的值.a a 【详解】已知全集，集合，，则，解得.{}1,3,5,7,9U ={}1,5,9A a =-{}5,7U A = 53a -=8a =故选：C.5．已知不等式的解集为，则的值为（ ）20x ax b ++<()1,2-a b -A ．B ．C ．D ．31-3-1D 【分析】由题意可知，、为方程的两根，利用韦达定理求出、的值，即可求1-220x ax b ++=a b 得结果.【详解】由题意可知，、为方程的两根，1-220x ax b ++=由韦达定理可得，解得，因此，.1212a b -=-+⎧⎨=-⨯⎩12a b =-⎧⎨=-⎩1a b -=故选：D.6．已知，，则的取值范围是（ ）14a b ≤+≤12a b -≤-≤3a b -A ．B ．C ．D ．51922⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,[]81-,[]1,8-[]1,8C 【分析】由不等式的性质可求解【详解】()()32a b a b a b -=-++，，()224a b -≤-≤14a b ≤+≤()()128a b a b -≤-++≤故选：C 7．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案.已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为（ ）A ．20B ．C ．40D．D【分析】根据面积得，结合基本不等式与重要不等式求得周长的最小值．100ab =【详解】设两直角边分别为，a b 所以该直角三角形的面积为，则1502S ab ==100ab =周长为20a b +≥=+当且仅当时等号成立，故周长的最小值为10a b ==故选：D易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．8．已知实数a ，b 满足，，则的值为（ ）20-+=a 20-+=b a b +A ．3B ．C ．D ．4B【分析】根据题意得a ，b 是方程的两个根.20-=x【详解】实数a ，b 满足，，20-+=a 20-=b所以a ，b 是方程的两个根，20-=x根据韦达定理+=a b 故选:B.二、多选题9．已知集合，且，则实数的可能值为（ ）{}22133A a a a =+++,,1A ∈a A ．B ．C ．D ．01-12-ABD【分析】由已知条件可得出关于实数的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.a a【详解】已知集合且，则或，{}22133A a a a =+++,,1A ∈11a +=2331a a ++=解得或或.0a =1a =-2a =-若，则，合乎题意；0a ={}2,1,3A =若，则，合乎题意；1a =-{}2,0,1A =若，则，合乎题意.2a =-{}2,1,1A =-综上所述，或或.0a =1a =-2a =-故选：ABD.10．下列关系中，正确的有（ ）A ．B ．C ．D ．{0}∅⊆13∈Q ⊆Q Z {0}∅∈AB【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的包含关系可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，，A 选项正确；{}0∅⊆对于B 选项，，B 选项正确；13∈Q 对于C 选项，，C 选项错误；⊆Z Q 对于D 选项，，而不是，D 选项错误.{}0∅⊆{}0∅∈故选：AB.11．下列命题为真命题的是（ ）A ．“”是“”的充分不必要条件；1a >11a <B ．命题“，”的否定是“，”；1x ∀<21x <1x ∃<21x ≥C ．若，则；0a b >>22ac bc >D ．设、，则“或”的必要不充分条件是“”.a b ∈R 0a ≠2b ≠2a b +≠AB【分析】本题首先可通过也有可能是负数得出A 正确，然后通过全程命题的否定是特称命题判断a 出B 正确，再然后通过判断出C 错误，最后通过“”是“或”的充分不必要条0c =2a b +≠0a ≠2b ≠件判断出D 错误.【详解】A 项：若，则；若，则也有可能是负数，1a >11a <11a <a 故“”是“”的充分不必要条件，A 正确；1a >11a <B 项：全程命题的否定是特称命题，则命题“，”的否定是“，”，B 正确；1x ∀<21x <1x ∃<21x ≥C 项：若，，则，C 错误；0a b >>0c =22ac bc =D 项：若，则或；2a b +≠0a ≠2b ≠若，，则，1a =1b =2a b +=故“”是“或”的充分不必要条件，D 错误，2a b +≠0a ≠2b ≠故选：AB.12．实数、满足 ，若有解，则实数可以为（ ）x y 13302xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭23123+<--m m x y m A ．B ．C ．D ．3-2-45AD 【分析】由已知可得出，根据已知条件求出的取值范围，利用基本不等式求出33x y =+y 的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可得出合适的选项.()3113633y x y y +=-++--m 【详解】因为实数、满足，则，由可得，x y 13302xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭33x y =+31032y <<+3y >所以，，()311133668333y y x y y y +=++=-++≥+=---当且仅当时，等号成立，4y =所以，，即，解得或.228m m ->2280m m -->2m <-4m >故选：AD.三、填空题13．函数的零点是__________.2y x =-2【分析】解方程即可.20x -=【详解】令，则，解得，所以函数的零点是0y =20x -=2x = 2.故2.14．不等式的解集是__________.231≤-x 或}{|1x x <53x ≥【分析】分式不等式变式成，等价于，求解即可3501x x -+≤-()()135010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩【详解】，所以，解得或，所以不等式的2353011-+-=≤--x x x ()()135010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩1x <53x ≥231≤-x 解集是或}.{|1x x <53x ≥故或}{|1x x <53x ≥15．若命题“”为假命题，则实数a 的取值范围是__________.2,240x x ax ∃∈-+≤R (2,2)-【分析】先求出特称命题的否定，结合二次函数的图象与性质即可列式求解【详解】∵“”是假命题，则“”为真命题，2,240x x ax ∃∈-+≤R 2,240x x ax ∀∈-+>R ，解得，故实数a 的取值范围是24160a ∴∆=-<22a -<<(2,2).-故(2,2).-四、双空题16．函数的图像如图所示，则不等式的解集是__________，不2(0)y ax bx c a =++≠20ax bx c ++<等式的解集是__________.0ax b cx a +<+{}|12x x <<1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据图像求出a ，b ，c 之间的关系，再解不等式 即可.0ax b cx a ++＜【详解】由函数图像知，的解集为；20ax bx c ++<{}|12x x <<从而且，解得且，0,420,a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩0a >3b a =-2(0)=>c a a 所以不等式等价于，等价于 ，解得；0ax b cx a +<+3021x x -<+()()3210x x -+＜132x -<<故；{}|12x x <<1|3.2⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭x x 五、解答题17．设集合，{}|27A x x =<<{}|13513.=<-<B x x (1)求；A B ⋂(2)求().⋃R A B (1)；{}|26⋂=<<A B x x (2)或.()R A B ⋃ {|6x x =<}7x ≥【分析】（1）求得集合，再求交集即可；B （2）根据集合的补运算以及并运算，求解即可.【详解】（1）因为集合，，{}|27A x x =<<{}{}|13513|26=<-<=<<B x x x x .{}|26∴⋂=<<A B x x （2）或，或R A {|2x x =≤}7x ≥()R A B ⋃ {|6x x =<}7.x ≥18．已知a ＞0，b ＞0且1，12a b +=(1)求ab 最小值；(2)求a +b 的最小值．(1)8(2)3+【分析】（1）由基本不等式直接得出不等关系后可得最小值．ab （2）利用已知凑配出定值后，由基本不等式得最小值．【详解】（1）由已知，当且仅当即时等号成立，121a b =+≥8ab ≥12a b =2,4a b ==所以最小值是8；ab （2）由已知122()()333a b a b a b a b b a +=++=++≥+=+当且仅当，即2a b b a =1,2a b ==+所以的最小值是．a b +3+19．（1）若函数有且仅有一个零点，求的值；268y mx mx m =+++m （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．x 2680mx mx m +++≥R m （1）；（2）．1m =01m ≤≤【分析】（1）讨论不成立，当时令求解即可；（2）根据恒成立确定最高次项系数0m =0m ≠0∆=和，解不等式组即可.∆【详解】解：（1）当时，无零点；0m =8y =当时，有且仅有一个零点，则，即：，0m ≠268y mx mx m =+++()236480m m m -+=20m m -=解得：或（舍），所以.1m =0m =1m =（2）当，恒成立，所以成立；0m =80≥0m =当时，，解得.0m ≠()2036480m m m m >⎧⎨-+≤⎩01m <≤故.01m ≤≤20．已知p ：实数x 满足不等式（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0（a ＞0），q ：实数x 满足不等式|x ﹣5|＜3.（1）当a ＝1时，p ∧q 为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.（1）2＜x ＜3；（2）2≤a ≤.83（1）分解因式化简命题p ，解绝对值不等式化简q ，利用p ∧q 为真命题，求出实数x 的取值范围；（2）利用p 是q 的充分不必要条件，列出不等式，解出实数a 的取值范围．【详解】p ：实数x 满足不等式（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0（a ＞0），解得：a ＜x ＜3a （a ＞0）.q ：实数x 满足不等式|x ﹣5|＜3，解得2＜x ＜8.（1）当a ＝1时，p ：1＜x 3.p3.p ∧q 为真命题，∴，解得2＜x ＜3.1328x x <<⎧⎨<<⎩∴实数x 的取值范围是2＜x ＜3.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，238a a ≤⎧⎨≤⎩解得：2≤a ≤.83∴实数a 的取值范围是2≤a ≤.83本题考查复合命题的真假判断，考查充分必要条件的应用，考查学生计算能力，属于中档题．21．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广245m 0.5m 0.25m 告牌的高为．m x （1）求广告牌的面积y 关于x 的表达式；（2）如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．（1）；（2）设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为451.25(1)1y x x x ⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭7m ．()261.25m 【分析】（1）设广告牌的宽为，则由题意可得，且，从而可求得广告牌的面积m t 451.251t x =+-1x >y 关于x 的表达式；（2）由（1）可得，然后利用基本不等式求解即可45451.25 1.25(1)46.2511x y x x x x =+=-++--【详解】解：（1）依题意设广告牌的宽为，则，m t (1)( 1.25)45x t --=所以，且，451.251t x =+-1x >所以广告牌的面积．451.25(1)1y xt x x x ⎛⎫==+> ⎪-⎝⎭（2）由（1）知，45451.25 1.25(1)46.2511x y x x x x =+=-++--，46.2561.25≥=当且仅当，即时等号成立．451.25(1)1x x -=-7x =所以当时，广告牌的面积最小最小值为．7x =()261.25m答：设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为．7m ()261.25m 22．已知M 是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若0M ∈1M ∈x y M ∈，x y M -∈且，则.x M ∈0x ≠1M x ∈（1）判断是否正确，说明理由；1M -∈（2）证明：；13M ∈（3）证明：若，则且.x y M ∈，x y M +∈xy M ∈（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据定义确定包含元素；M 1-（2）根据定义依次确定包含元素；M 11,2,3,3-（3）根据定义确定包含元素，即得结论；根据定义依次确定包含元素M y -x y M +∈M ,即得结论．2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---xy M ∈【详解】（1）正确，证明如下：由①知，1M -∈0M ∈1M∈由②可得；011M -=-∈（2）证明：由（1）知，又1M -∈1M∈∴，()112M --=∈()213M --=∈由③得；13M ∈（3）证明：由①知0M∈由题知，∴由②可得y M ∈0y y M-=-∈又∵，∴，即；x M ∈()x y M --∈x y M +∈证明：由，，x M ∈y M ∈当时，则；0x =0=∈xy M 当时，则；1x ==∈xy y M 当且时，由②可得，0x ≠1x ≠1x M -∈再由③可得，1M x ∈11M x ∈-∴即，111M x x -∈-()11M x x ∈-∴即，()1x x M -∈2x x M -∈∴即当，2x M ∈x M ∈2x M∈又因为当，，∴，∴,x y M ∈x y M +∈112M x x x +=∈2M x∈∴当，可得,x y M ∈()22222,,,22x y x y x y M ++∈∴．()22222x y x y xy M ++-=∈关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．。
