高一上学期期末考试数学试题 Word版附解析

高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B． 2 C．3 D．42．已知点A（1，2），B（﹣2，3），C（4，y）在同一条直线上，则y的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．3．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A．πB．C．4πD．5π4．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．下列四个数中最小者是（）A．log3B．log32 C．log23 D．log3（log23）6．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A．8πB．C．D． 8π7．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=08．已知函数f（x）=log a（2﹣a x）在（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，1）∪（2，+∞）9．设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4011．（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x3﹣x1的取值范围为（）A．（2，]B．（2，]C．（2，]D．（2，3）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知长方形ABCD中，AB=2，AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=．14．（5分）若点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，则的最大值是。

2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．136．已知函数f(x)=cos(2x −3π4)，先将f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g （x ）的图象，则g （x ）的解析式为（ ）A ．g （x ）＝sin xB ．g （x ）＝﹣sin xC ．g （x ）＝﹣cos xD ．g(x)=cos(4x +π4)7．函数f （x ）＝﹣10x 3ln |x |的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2b a+b（ ）A ．有最大值115B ．有最大值52C ．有最小值115D ．有最小值52二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +110．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜311．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ ． 14．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 ．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ．（填序号）16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 ． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．19．（12分）已知函数f （x ）＝4x ﹣2•2x +1+a ，其中x ∈[0，3]． （1）若f （x ）的最小值为1，求a 的值；（2）若存在x ∈[0，3]，使f （x ）≥33成立，求a 的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x ∈[﹣π，π]时，求f （x ）最大值与最小值及相应的x 的值； （2）是否存在锐角α，β，使a +2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=√|x +1|+|x −3|−m 的定义域为R ． （Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a+b +1a+2b=n 时，求7a +4b 的最小值．22．（12分）（1）已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是{x|x ＜−2或x ＞13}，求cx 2﹣bx +a ≥0的解集；（2）求关于x 的不等式ax 2﹣2x +a ＜0的解集．2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ解：∵集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）． 故选：A ．2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）解：令y ＝2x ﹣4＝0，解得x ＝2． 故选：C ．3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)解：由题意得：{2x −3≥0x −3≠0，解得：x ≥32且x ≠3，故函数的定义域是[32，3）∪（3，+∞）．故选：C ．4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]解：函数f(x)=x 2+(2m −1)x +m =(x +2m−12)2+m −(2m−1)24的单调增区间为(−2m−12，+∞)，∴−2m−12⩽1，∴m ⩾−12．故实数m 的取值范围为[−12，+∞)． 故选：C ．5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．13解：由sin(θ−π6)=13，得sin （π6−θ）=−13，∴sin(2θ+π6)=cos （π3−2θ）＝cos2（π6−θ）=1−2sin2(π6−θ)=1−2×(−13)2=79．故选：B．6．已知函数f(x)=cos(2x−3π4)，先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）＝sin x B．g（x）＝﹣sin xC．g（x）＝﹣cos x D．g(x)=cos(4x+π4)解：先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos(x−3π4)的图象，再向左平移π4个单位长度，则g(x)=cos(x−3π4+π4)=sinx．故选：A．7．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．8．关于x的方程x2﹣ax+b﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2ba+b（）A．有最大值115B．有最大值52C．有最小值115D．有最小值52解：因为关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根， 所以{a ＞0b −1＞0Δ=a 2−4(b −1)=0，故b ＝1+a 24，a ＞0， 则3a+2b a+b=2+a a+b =2+a 1+a+a24=2+11+1a +a 4≤1+2√a 4⋅1a2=52， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以3a+2ba+b 有最大值52． 故选：B ． 二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +1解：对于A ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝|﹣x |＝f （x ），为偶函数， 对于B ，f(x)=x +1x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且f(−x)=−x −1x=−f(x)，为奇函数，对于C ，f （x ）＝x 3+2x 的定义域为R ，关于原点对称，且f （﹣x ）＝（﹣x ）3+2（﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，对于D ，f （x ）＝x 2+x +1的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝x 2﹣x +1≠﹣f （x ），不是奇函数， 故选：BC ．10．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜3解：2x 2−5x −3＜0⇔(2x +1)(x −3)＜0⇔−12＜x ＜3，即2x 2﹣5x ﹣3＜0的充要条件是−12＜x ＜3，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合， 观察选项发现{x|−12＜x ＜3}是{x |﹣2＜x ＜3}，{x |﹣1＜x ＜4}的真子集．故选：BD ．11．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 解：由图象可知函数f （x ）的最大值为2，最小值为﹣2，所以A ＝2，T 2=2π3−π6=π2，故T ＝π；又T =2πω⇒ω=2，又f(π6)=2⇒2cos(2×π6+φ)=2，所以π3+φ=2kπ(k ∈Z)，φ=2kπ−π3，(k ∈Z)；又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2cos(2x −π3)，故A 正确，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得g(x)=2cos(2x +π6)+1，故B项错误． 由2x +π6=π2+kπ(k ∈Z)，x =π6+kπ2，(k ∈Z)；所以g （x ）的图像关于点(π6，1)对称，故C 错误． 由2kπ≤2x +π6≤2kπ+π，(k ∈Z)，即−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，(k ∈Z)； 故选项D 正确． 故选：AD ．12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22解：由α是锐角，cosα=√55，则sinα=√1−cos 2α=2√55， 又α，β是锐角，则−β∈(−π2，0)，得α−β∈(−π2，π2)，又cos(α−β)=3√1010，则sin(α−β)=±√1010， 则cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sin αsin （α﹣β）=√55×3√1010±2√55×√1010=3√2±2√210得cos β=√22或cos β=√210．故选：AC ． 三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ 2 ． 解：函数f （x ）=a⋅3x +4−a4(3x−1)是奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）＝0， 即有a⋅3−x +4−a4(3−x −1)+a⋅3x +4−a4(3x −1)=0，则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a2+3x1−3x +13x −1=0，即a 2=1，故a ＝2．故答案为：214．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 [19，+∞） ．解：∵t ＝1+2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+2≤2，且y =(13)t 为定义域内的减函数，∴y =(13)1+2x−x 2≥(13)2=19．即函数y =(13)1+2x−x 2的值域是[19，+∞）．故答案为：[19，+∞）．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a ；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ①④⑤ ．（填序号）解：∵tan （θ+π4）=sinθ+cosθcosθ−sinθ=1+sin2θcos2θ=cos2θ1−sin2θ=b 1−a =1+ab，∴①④是正确的，将sin2θ＝a ，cos2θ＝b 代入⑤验证知，此代数式也是正确的答案． 故答案为：①④⑤．16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ √3 ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 3 ．解：由已知，函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx =√a 2+1sin （ωx ﹣φ），其中tan φ=1a（a ＞0，ω＞0），由于f （x ）的最大值为2，所以√a 2+1=2，得a =√3（a =−√3舍去）； tanφ=13，取φ=π6，则f （x ）＝2sin （ωx −π6），由ωx −π6=kπ+π2（k ∈Z ），得ωm π=kπ+2π3（k ∈Z ），即ω=m(k +23)，k ∈Z ， 由于m ∈N *，则正数ω的最小整数值为2，从而f(x)=2sin(2x −π6)，当2x −π6=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π3+kπ，k ∈Z 时， 函数f （x ）取得最大值， 若k ＝0，则x =π3∈(0，10)， 若k ＝1，则x =4π3∈(0，10)， 若k ＝2，则x =7π3∈(0，10)， 若k ＝3，则x =10π3＞10， 从而有3次取得最大值． 故答案为：√3，3． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 解：设两个实根分别是x 1，x 2，则有两个正根的条件是：{Δ=4−4(m +1)≥0x 1+x 2=2＞0x 1x 2=m +1＞0解得﹣1＜m ≤0．18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．解：（1）由f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)得：f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx =√32sinωx −32cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3sin(ωx −π3)．由f(π6)=0知(sin π6ω−π3)=0，则ωπ6−π3=kπ，k ∈Z ，故ω＝6k +2，k ∈Z ， 又0＜ω＜3，所以ω＝2．（2）由（1）知f(x)=√3sin(2x−π3)，将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=√3sin（x−π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g（x）=√3sin（x−π12）的图象．由π2+2kπ≤x−π12≤3π2+2kπ，k∈Z解得7π12+2kπ≤x≤19π12+2kπ，k∈Z，所以g（x）的单调递减区间为[7π12+2kπ，19π12+2kπ]（k∈Z）．19．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]．（1）若f（x）的最小值为1，求a的值；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，求a的取值范围．解：（1）因为f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]，令t＝2x，则t∈[1，8]，原式化为g（t）＝t2﹣4t+a＝（t﹣2）2+a﹣4，当t＝2时，g（t）min＝a﹣4＝1，解得a＝5；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，即f（x）max≥33，由（1）可知g（t）＝（t﹣2）2+a﹣4，t∈[1，8]，即g（t）max≥33，当t＝8时，g（t）max＝a+32≥33，解得a≥1，即a∈[1，+∞）．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x∈[﹣π，π]时，求f（x）最大值与最小值及相应的x的值；（2）是否存在锐角α，β，使a+2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f(x)=sin2ωx+sinωxcosωx−12=1−cos2ωx2+12sin2ωx−12=12sin2ωx−12cos2ωx=√22sin(2ωx−π4)，∵f（x）图象相邻对称轴之间的距离为2π，∴T=4π=2π2ω，ω=14，f(x)=√22sin(12x−π4)，∵﹣π≤x≤π，∴−3π4≤12x−π4≤π4，∴−1≤sin(12x−π4)≤√22，∴f(x)min=−√22，此时12x−π4=−π2，x=−π2，f(x)max=12，此时12x−π4=π4，x＝π；（2）存在，理由如下：∵f(α+π2)=√22sinα2，f(2β+3π2)=√22sin(β+π2)=√22cosβ，∴f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=12sinα2cosβ=√38，∴sin α2cosβ=√34，又∵α+2β=2π3，α=2π3−2β，∴sinα2cosβ=sin(π3−β)cosβ=√34，∴(√32cosβ−12sinβ)cosβ=√34，∴√32cos2β−12sinβcosβ=√34，∴√32×1+cos2β2−14sin2β=√34，即√3cos2β−sin2β=0，∴tan2β=√3，又∵β为锐角，0＜2β＜π，∴2β=π3，β=π6，从而α=2π3−2β=π3．21．（12分）已知函数f（x）=√|x+1|+|x−3|−m的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足23a+b +1a+2b=n时，求7a+4b的最小值．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b=14(6a+2b+a+2b)(23a+b+1a+2b)=14(5+2(3a+b)a+2b+2(a+2b)3a+b)≥14(5+2×2√3a+ba+2b⋅a+2b3a+b)=94，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a=310时取等号．∴7a+4b的最小值为9 4．22．（12分）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜−2或x＞13}，求cx2﹣bx+a≥0的解集；（2）求关于x的不等式ax2﹣2x+a＜0的解集．解：（1）由题意知{−2+13=−ba−2×13=caa＜0，则有{b=53ac=−23aa＜0，代入不等式cx2﹣bx+a≥0，得−23ax2−53ax+a≥0(a＜0)，即﹣2x2﹣5x+3≤0，解得x≤﹣3或x≥1 2，所以所求不等式的解集为{x|x≤−3或x≥12 }；（2）①当a＝0时，不等式为﹣2x＜0，解得x＞0，则此时解集为（0，+∞），②当a＞0时，令ax2﹣2x+a＝0，Δ＝4﹣4a2，（i）若Δ＝4﹣4a2≤0，即a≥1时，此时不等式解集为∅，（ii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即0＜a＜1时，ax2﹣2x+a＜0，解得1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a，则此时不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)，③当a＜0时，（i）若Δ＝4﹣4a2＜0，即a＜﹣1时，此时不等式解集为R，（ii）若Δ＝4﹣4a2＝0，即a＝﹣1时，此时不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（iii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)．综上所述，当a＜﹣1时，不等式解集为R；当﹣1≤a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)；当a＝0时，则不等式解集为（0，+∞）；当0＜a＜1时，则不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)；当a≥1时，此时不等式解集为∅．。

高一数学期末考试试题及答案doc一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 椭圆答案：B2. 函数f(x)=2x^2-4x+3的零点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=-1答案：A3. 集合{1,2,3}与集合{2,3,4}的交集是：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}答案：B4. 如果一个角是直角三角形的一个锐角的两倍，那么这个角是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C5. 函数y=x^3-3x^2+4x-2在x=1处的导数值是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B6. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 + n(n-1)/2C. a_n = a_1 + n^2D. a_n = a_1 + n答案：A7. 圆的面积公式是：A. A = πrB. A = πr^2C. A = 2πrD. A = 4πr^2答案：B8. 以下哪个选项是复数的模？A. |z| = √(a^2 + b^2)B. |z| = a + biC. |z| = a - biD. |z| = a * bi答案：A9. 以下哪个选项是向量的点积？A. a·b = |a||b|cosθB. a·b = |a||b|sinθC. a·b = |a||b|tanθD. a·b = |a||b|secθ答案：A10. 以下哪个选项是三角恒等式？A. sin^2x + cos^2x = 1B. sin^2x - cos^2x = 1C. sin^2x - cos^2x = 0D. sin^2x + cos^2x = 0答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 如果一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么它的公差是______。

高一数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则（）{1,2,3,4,5}U ={1,3},{2,3,5}A B ==()U B A =ðA. B.C.D.{3}{1}{1,4}{2,5}【答案】B 【解析】【分析】求出集合B 的补集，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意全集，集合，{1,2,3,4,5}U ={1,3},{2,3,5}A B ==可得， {1,4}U B =ð故， (){1}U B A =ð 故选：B2. 下列说法正确的是（）A. 命题“”是假命题,n n ∀∈∈N Z B. 命题“”的否定是“” ,n n ∀∈∈N Z ,n n ∃∈∈N Z C. 命题“”是真命题,10x x ∃∈-<RD. 命题“”的否定是“” ,10x x ∃∈-<R ,10x x ∀∈->R 【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的知识确定正确答案.【详解】A 选项，自然数都是整数，所以命题“”是真命题，A 选项错误. ,n n ∀∈∈N Z B 选项，命题“”的否定是“”， B 选项错误.,n n ∀∈∈N Z ,n n ∃∈∉N Z C 选项，当时，，所以“”是真命题，C 选项正确. 0x =110x -=-<,10x x ∃∈-<R D 选项，命题“”的否定是“”， D 选项错误. ,10x x ∃∈-<R ,10x x ∀∈-≥R 故选：C3. 已知函数是奇函数，当时，，若，则（） ()f x 0x <3()1f x ax =+(2)5f ==a A. B.C. D.12-1234-34【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出a 值作答.【详解】函数是奇函数，，则，又当时，()f x (2)5f =(2)(2)5f f -=-=-0x <，3()1f x ax =+即有，解得， 3(2)(2)1815f a a -=-+=-+=-34a =所以. 34a =故选：D4. 已知，且，则的最小值为（） 0,0a b >>111a b+=a b +A. 6 B. 4C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求解最小值作答. 【详解】因为，且，则0,0a b >>111a b+=，()22411)(b a a b a b a a b b +=+=++≥++=当且仅当，即时取等号， b aa b=2a b ==所以的最小值为4. a b +故选：B5. 已知，，则（） 18log 9a =185b =45log 81=A. B.C.D.a a b-+2aab-2aa b+2aa b-+【答案】C 【解析】【分析】先由得到，用换底公式把写出以18为底的对数，即可分185b =18log 5b =45log 81解.【详解】由，， 18log 9a =185b =所以，， 18log 9a =18log 5b =所以.181845181818log 812log 92log 81log 45log 9log 5aa b===++故选：C.6. 已知函数在区间内的零点1222111()log ,(),()222xxxf x xg x xh x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(0,)+∞分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. B. a b c >>b c a >>C. D.c a b >>b a c >>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a ，b ，c 所在区间作答.【详解】函数在上单调递减，函数在上都单1()2xy =(0,)+∞1222log ,,y x y x y x ===(0,)+∞调递增，因此函数在上都单调递减，1222111()()log ,()(,()()222x x x f x x g x x h x x =-=-=-(0,)+∞在上最多一个零点，，即有， (),(),()f x g x h x (0,)+∞13(1)0,(2)024f f =>=-<12a <<，则，而，即，111(0,(1)0242g g =->=-<112b <<1(02h =12c =所以. a b c >>故选：A7. 定义，若，则关于函数的三个结论：{},min ,,a a b a b b a b<⎧=⎨≥⎩{}22()min ,2f x x x =-()f x ①该函数值域为；②该函数在上单调递减；③若方程恰有四个不等的实[1,)+∞[1,0]-()f x m =数根，则m 的取值范围是.其中正确结论的个数是（） ()0,1A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先令，求得函数的解析式，再根据二次函数的性质即可判断①②；方222x x ≥-()f x 程实根的个数，即为函数交点的个数，数形结合即可判断③. ()f x m =(),y f x y m ==【详解】令，得或， 222x x ≥-1x ≥1x ≤-则， {}()()()2222,1,1()min ,22,,11,x x f x x xx x ∞∞⎧∈-⎪=-=⎨-∈--⋃+⎪⎩则函数在上递减，()f x (]1,0-又当时，，所以该函数在上单调递减，故②正确； =1x -2221x x =-=[1,0]-当时，，11x -<<()[)20,1f x x =∈当或，，1x ≥1x ≤-()(]22,1f x x =-∈-∞所以函数的值域为，故①错误；()f x (],1-∞方程实根的个数，即为函数交点的个数， ()f x m =(),y f x y m ==作出两个函数的图象如图所示，由图可知两函数图象有4个交点时，m 的取值范围是，故③正确， ()0,1所以正确结论的个数是2个.故选：C . 8. 已知，记，则x ，y ，z 的大小关系31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos log ,log sin ,log tan x y z αααααα===正确的是（） A. B. x y z <<y x z <<C. D.z x y <<x z y <<【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，结合三角函数的性质可得，再利用对数函0cos sin 1tan ααα<<<<数单调性结合“媒介数”判断作答. 【详解】依题意，，则有，且， π3π1422α<<<<0cos sin 1tan ααα<<<<tan αα>因此，，， sin log 0αα<cos cos 0log sin log cos 1αααα<<=log tan log 1αααα>=所以. x y z <<故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（） A. 幂函数的图象都过点(1,1)B. 函数与是同一函数 2y x =4y =C. 函数的最小正周期为 sin2xy =4πD. 若为三角形的一个内角，且，则αtan 0α≥ππ,32α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据幂函数性质判断A ；根据函数的三要素判断B ；求出函数的周期判断sin 2xy =C ；根据三角形内角范围结合正切函数性质判断D.【详解】由幂函数的性质可知幂函数的图象都过点，A 正确； (1,1)函数的定义域是R ，的定义域为， 2y x=4y =[0,)+∞二者定义域不同，故不是同一函数，B 错误；函数的最小正周期为，C 正确；sin 2x y =2π4π12=为三角形的一个内角，且，即，故，D 正确，αtan 0α≥tan α≥ππ,32α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：ACD10. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（） (1,)+∞A. B. 2()2f x x x =-1()||||f x x x =+C. D.()||1f x x =+2()2||1f x x x =-+【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，逐一判断各选项中函数的奇偶性及在上的单调性作答. (1,)+∞【详解】对于A ，函数定义域为R ，是非奇非偶函数，A 不是； 2()2f x x x =-对于B ，函数的定义域为，是偶函数， 1()||||f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 当时，在上单调递增，B 是； 1x >1()f x x x=+(1,)+∞对于C ，函数定义域为R ，是偶函数，当时，在上单调()||1f x x =+1x >()1f x x =+(1,)+∞递增，C 是；对于D ，函数定义域为R ，是偶函数，当时，在2()2||1f x x x =-+1x >2()21f x x x =-+上单调递增，D 是.(1,)+∞故选：BCD11. 下列命题为真命题的是（） A. 若，则,a c b d >>ab cd >B .若，且，则a b <11a b>0ab >C. 若，则 0a b c >>>b ca b a c>--D. 若，则 0a b <<22a ab b <<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质推理判断B ，C ；举例说明判断A ，D 作答.【详解】对于A ，取，满足，而，A 错2,1,2,2a b c d ===-=-,a c b d >>24ab cd =<=误；对于B ，由得，，，因此，B 正确； a b <0b a ->111100b a a b a b ab->⇔->⇔>0ab >对于C ，，于是得，而，因此0a b c a c a b >>⇒->->110a b a c>>--0b c >>，C 正确； b ca b a c>--对于D ，取，满足，有，即，D 错2,1a b =-=-0a b <<224,2,1a ab b ===22a ab b >>误. 故选：BC12. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的π()sin(2)||2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π4()g x ()g x 图象与的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的有（） ()f x A. π4ϕ=B. 函数图象的对称轴过函数图象的对称中心()f x ()g xC. 在区间上，函数与都单调递减 ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x ()f x D. ，使得 ,,,ππ4π84π8m n ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()g m f n =【答案】ABD 【解析】【分析】根据平移得出的解析式，再根据对称关系，得出的取值，再根据三角函数性质()g x ϕ即可判断A 、B 、C 三个选项，D 选项题意为在区间内，的值域是值域的ππ,48x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ()f x 子集，求出两个函数值域即可作出判断.【详解】A ． 的图象向左平移个单位得()sin(2)f x x ϕ=+π4，因为的图象与的图象关于y 轴对称，所以πsin 2cos(2)(4)x g x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()g x ()f x ，A 正确； ()()π004f g ϕ=⇒=B ．，其对称轴为，，其对π()sin(2)4f x x =+ππππ2π4242k x k x +=+⇒=+πcos(2()4x g x +=称中心为，B 正确；ππ,042k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．当，在此区间单调递减，在此区间单调递增，Cππππ242,0,88x x ⎡⎤⎡⎤∈-⇒∈⎢⎥⎦+⎢⎥⎣⎣⎦()g x ()f x 错误；D ．当时，的值域为，的值域为，ππ,,48πππ2442x x ⎡⎤⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+()g x []0,1()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦因此，使得，正确. ,,,ππ4π84π8m n ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()g m f n =故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知一个扇形面积为16，其圆心角为，则该扇形周长为______.2 rad【答案】16 【解析】【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可. 【详解】根据扇形面积可知，代入题中数据可得，则该扇形周长为212S r α=4r =216C r r α=+=故答案为：1614. 已知______. 9,2m n a a ===【答案】 1.5 32【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算及根式运算求解作答. 【详解】因为，则， 9,2m n a a ==2229()4m m m nn n a a a a a -===. 32=故答案为：3215. 已知角满足，则____________α1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】 79【解析】【分析】根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可. 【详解】因为，所以有：1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭故2217sin 2cos 2cos 2312sin 12(,626369πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案为：. 7916. 如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB 、AD 延长线上的点，，且，则PQ 的最小值为______.,DCQ BCP αβ∠=∠=45αβ+=︒【答案】2 【解析】【分析】根据给定条件，用分别表示，再利用和角的正切及均值不等式求tan ,tan αβ,AQ AP 解作答.【详解】依题意，， tan tan ,tan tan DQ CD BP BC ααββ====显然，由得：，tan 0,tan 0αβ>>45αβ+=︒tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-即，整理得， tan tan 1tan tan αβαβ+=-(1tan )(1tan )2αβ++=在中，Rt PAQ A 2PQ ==≥=，当且仅当，即时取等号， tan tan αβ=22.5αβ== 所以PQ 的最小值为2. 故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合. {}22290,{16}A xx ax a B x x =-+-≤=<<∣∣（1）若，求；1a =A B ⋃（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.x A ∈x B ∈【答案】（1） {26}A B xx =-≤<∣ （2） [3,4]【解析】【分析】（1）代入条件，根据并集定义计算即可；（2）根据已知条件可知B 是A 的真子集，根据集合的包含关系计算即可．【小问1详解】若，则 1a ={}2280A x x x =--≤∣{24}x x =-≤≤∣又， {16}B xx =<<∣所以. {26}A B xx =-≤<∣ 【小问2详解】解：， {}22290{33}A xx ax a x a x a =-+-≤=-≤≤+∣∣因为“”是“”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集， x A ∈x B ∈所以（不能同时取等号）， 3136a a -≤⎧⎨+≥⎩解得，所以实数a 的取值范围是.34a ≤≤[3,4]18. 已知函数.()lg(2)lg(2)f x x x =++-（1）求函数的定义域；()f x （2）记函数，求函数的值域.()()103f x g x x =+()g x 【答案】（1）(2,2)-（2） 256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据对数型复合函数定义域的求法求得函数的定义域.()f x （2）化简的解析式，结合二次函数的性质求得函数的值域.()g x ()g x 【小问1详解】要使函数有意义，x 须满足 20,20,x x +>⎧⎨->⎩解得，22x -<<所以的定义域为.()f x (2,2)-【小问2详解】由，()lg(2)lg(2)f x x x =++-得，()()2()lg 422f x x x =--<<又由，()()103f x g x x =+得22()4334g x x x x x =-+=-++， 2325(22)24x x ⎛⎫=--+-<< ⎪⎝⎭因为， 325,(2)624g g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以的值域是. ()g x 256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦19. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 轴的非负半轴，xOy ,αβ终边分别与单位圆O 交于A ，B 两点，且. 5cos()13αβ+=（1）求的值；sin()αβ+（2）若点A 的纵坐标为，求点B 的纵坐标. 45【答案】（1）； 1213（2）. 1665【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定的范围，再利用平方关系求解作答.αβ+（2）利用三角函数的定义，结合差角的正弦公式求解作答.【小问1详解】因为都是锐角，则，而， ,αβ0παβ<+<5cos()13αβ+=所以. 12sin()13αβ+===【小问2详解】因为角终边与单位圆交点纵坐标为，则， α454sin 5α=又因为角为锐角，因此，α3cos 5α===所以， 12354sin sin[()]sin()cos cos()sin 135135βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯1665=所以B 点的纵坐标为. 166520. 已知函数为奇函数. 2()21x f x a =-+（1）求实数a 的值，判断的单调性并用函数单调性的定义证明；()f x （2）解不等式.(ln )0f x >【答案】（1），函数在上是增函数，证明见解析 1a =2()121x f x =-+R （2）(1,)+∞【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数可得，求出，再利用定义法判断函数的单调性即(0)0f =a 可；（2）方法一：利用函数的单调性及，解不等式即可.(0)0f =方法二：将代入函数解析式，化简，再根据指数函数和对数函数的单调性解不等式即ln x x =可.【小问1详解】因为的定义域是，且为奇函数，()f x R 所以，得， (0)0f =1a =当时，， 1a =221122()11()21211221x x x x x x f x f x ------=-===-=-++++所以符合题意，1a =函数在上是增函数， 2()121x f x =-+R 证明：任取，且，12,x x ∈R 12x x <则， ()()121222112121x x f x f x -=--+++()()()12122222121x x x x -=++因为在上是增函数，且，2x y =R 12x x <所以，12220x x -<因为，12210,210x x +>+>所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上是增函数；()f x R 【小问2详解】方法一：由（1）知在上是增函数，且，()f x R (0)0f =所以由，得，(ln )0f x >ln 0x >所以，1x >所以原不等式的解集为.(1,)+∞方法二：由，得，ln 2(ln )1021x f x =->+ln 2121x <+因为，所以原不等式化为，ln 210x +>ln 212x +>即，所以，ln 21x >ln 0x >所以， 1x >所以原不等式的解集为.(1,)+∞21. 已知函数的最大值为， 4411()cos cos sin 22f x x x x x m =+-+32（1）求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；m ()f x x （2）求函数的单调递增区间.()f x 【答案】（1）， 12m =ππ,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣（2） πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简可得，所以π()sin 26f x x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭312m +=，可得的值，令，可得的值； m ππ22π,62x k k +=+∈Z x （2）令，进而解出，即可求解. 222,26πππππ2k x k k -≤+≤+∈Z x 【小问1详解】4411()cos cos sin 22f x x x x x m =-+()()22221cos sin cos sin 22x x x x x m =+-+()221cos sin 22x x x m =-+1cos 222x x m =++. πsin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当时，函数取到最大值， πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 32所以，即， 312m +=12m =令，得， ππ22π,62x k k +=+∈Z ππ,6x k k =+∈Z 所以当函数取到最大值时的集合为. ()f x x ππ,6xx k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣【小问2详解】由（1）得， π1()sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以令， 222,26πππππ2k x k k -≤+≤+∈Z得， ,3πππ6πk x k k -≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间为. ()f x πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 22. 近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的04x ≤≤816y x =--410x <≤152y x =-消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用.（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a （）个单位的消毒剂，要使14a ≤≤接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值.【答案】（1）6小时（2）2 【解析】【分析】（1）根据题意得到，再分类讨论与两种情况下，()4f x y =04x ≤≤410x <≤的解集情况，从而得解；()4f x ≥（2）根据题意得到从第一次喷洒起，经过x （）小时后，浓度为，从而利用610x ≤≤()g x 基本不等式求得，进而解不等式即可得解.()2g x a ≥--24a -≥【小问1详解】因为一次喷洒4个单位的消毒剂，所以空气中释放的消毒剂浓度为，324,04()46202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩当时，，解得； 04x ≤≤32446x-≥-24x ≤≤当时，，解得；410x <≤2024x -≥48x <≤综上求得，28x ≤≤所以一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达6小时.【小问2详解】设从第一次喷洒起，经过x （）小时后，浓度为610x ≤≤ 18()25126(6)g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 88101221212a a x a x a x x=-+-=-+----因为，所以，610x ≤≤120x ->所以，即， 8122212a x a a x-+--≥---()2g x a ≥-当且仅当，即 81212a x x -=-12x =-又，则，满足，等号成立， 14a ≤≤612121210<-≤-≤-<610x ≤≤所以当接下来的4小时中能够持续有效消毒时，可得，24a -≥解得，又，，所以a 的最小值为2.218a ≤≤14a ≤≤ 24a ∴≤≤【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．。